Tożsamość czterech kwadratów Eulera

W matematyce tożsamość czterech kwadratów Eulera mówi , że iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą czterech kwadratów , sam jest sumą czterech kwadratów.

Tożsamość algebraiczna

Dla dowolnej pary czwórek z pierścienia przemiennego następujące wyrażenia są równe:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} \ prawo )\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left( a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\ left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{wyrównane} }}$$

Euler pisał o tej tożsamości w liście datowanym 4 maja 1748 r. do Goldbacha (ale zastosował inną konwencję znakową od powyższej). Można to zweryfikować za pomocą algebry elementarnej .

Tożsamość została wykorzystana przez Lagrange'a do udowodnienia jego twierdzenia o czterech kwadratach . Mówiąc dokładniej, oznacza to, że wystarczy udowodnić twierdzenie dla liczb pierwszych , po czym następuje bardziej ogólne twierdzenie. Zastosowana powyżej konwencja znakowania odpowiada znakom uzyskanym przez pomnożenie dwóch kwaternionów. $}}$${\ displaystyle -b_ {k}}$ uzyskać, zmieniając dowolne $k$ / lub dowolne $displaystyle a_$ - .

Jeśli $,$$są$ liczbami rzeczywistymi , tożsamość wyraża fakt że wartość bezwzględna iloczynu dwóch kwaternionów równa iloczynowi wartości, w taki sam sposób jak tożsamość dwóch kwadratów Brahmagupty-Fibonacciego dla liczb zespolonych . Ta właściwość jest ostateczną cechą algebr składu .

Twierdzenie Hurwitza stwierdza, że ​​tożsamość formy,

$${\ Displaystyle \ lewo (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + \ kropki + a_ {n} ^ {2} \right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\kropki +b_{n}^{2}\right)=c_{ 1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\kropki +c_{n}^{2}}$$

gdzie do ${i}}$$c_$ są dwuliniowymi funkcjami i są możliwe tylko dla $ja {\ displaystyle a_ {i}$ = 1 2, 4, lub 8.

Dowód tożsamości za pomocą kwaternionów

Komentarz: Dowód tożsamości czterech kwadratów Eulera jest prostym obliczeniem algebraicznym. Kwaterniony wywodzą się z tożsamości czterokwadratowej, którą można zapisać jako iloczyn dwóch iloczynów wewnętrznych wektorów 4-wymiarowych, dając ponownie iloczyn wewnętrzny wektorów 4-wymiarowych: ( a · a ) ( b · b ) = ( a × b ) · ( za × b ) . To definiuje regułę mnożenia kwaternionów a × b , która po prostu odzwierciedla tożsamość Eulera i pewną matematykę kwaternionów. Czwartorzędy są, że tak powiem, „pierwiastkiem kwadratowym” tożsamości czterech kwadratów. Ale niech dowód trwa:

Niech ${\ Displaystyle \ alfa = a_ {1} + a_ {2} i + a_ {3} j + a_ {4} k}$ i ${\ Displaystyle \ beta = b_ {1} + b_ {2} i + b_ {3} j + b_ {4} k}$ być parą czwartorzędów. Ich koniugaty kwaternionów to ${\ Displaystyle \ alfa ^ {*} = a_ {1} -a_ {2} ia_ {3} j-a_ { 4} k}$ i ${\ Displaystyle \ beta ^ {*} = b_ {1} -b_ {2} i-b_ {3} j-b_ {4}k}$ . Następnie

$${\ Displaystyle A: = \ alfa \ alfa ^ {*} = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$$

I

$${\ Displaystyle B: = \ beta \ beta ^ {*} = b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} .}$$

$beta$ tych dwóch $^ {*}}$ β jest liczbą rzeczywistą, więc może dojeżdżać z kwaternionem , uzyskując ${\ Displaystyle \ alpha ^ {*}}$

$${\ Displaystyle AB = \ alfa \ beta \ beta ^ {*} \ alfa ^ {*}.}$$

Żadne nawiasy nie są konieczne powyżej, ponieważ czwartorzędy kojarzą . Koniugat produktu jest równy iloczynowi komutowanemu koniugatów czynników produktu, więc

$${\ Displaystyle AB = \ alfa \ beta (\ alfa \ beta) ^ {*} = \ gamma \ gamma ^ {*}}$$

gdzie ${\ displaystyle \ gamma}$ jest iloczynem Hamiltona i $\$${\ displaystyle \ beta}: γ {\ displaystyle$ beta

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ gamma & = \ lewo (a_ {1} + \ langle a_ {2}, a_ {3}, a_ {4} \ rangle \ prawo) \ lewo (b_ {1} + \langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle \right)\\[3mu]&=a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_ {3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3}, \ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_ {2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{ 4}b_{1}\rangle \\&\qquad -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \ \[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_ {1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{ 4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2 }b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3} -a_{4}b_{4})\\&\qquad +\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_ {3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4} +a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]\gamma &=(a_{1}b_{1}-a_{ 2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_ {4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{ 2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{ wyrównany}}}$$

Następnie

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ gamma ^ {*} & = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad -( a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{ 4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{wyrównane}}}$$

γ $\ vec {u}}}$${\ vec {u}} = \ langle u_ {1}, u_ {2}, u_ {3} \ rangle}$ jest częścią skalarną i $u$$\$ Displaystyle jest częścią wektorową, więc ${\ Displaystyle \ gamma ^ {*} = r- {\vec {u}}}$ tak

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ gamma \ gamma ^ {*} & = (r + {\ vec {u}}) (r - {\ vec {u}}) = r ^ {2} -r {\ vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u }}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}\\&=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2 }+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.\end{wyrównane}}}$$

Więc,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} AB = \ gamma \ gamma ^ {*} & = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}) ^{2}\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2 }+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.\end{wyrównane}} }$$

tożsamość Pfistera

Pfister znalazł inną kwadratową tożsamość dla dowolnej parzystej potęgi:

Jeśli są $to$ tylko wymierne funkcje ${ \displaystyle n=2^{m}}$ zestawu zmiennych, tak że każdy ma mianownik $n$ jest dla wszystkich .

Zatem kolejna tożsamość czterech kwadratów jest następująca:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ { 2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu ]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2} +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\ quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{ 2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+ \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{ 2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{wyrównane} }}$$

gdzie ${\ displaystyle u_ {1}}$ i ${\ displaystyle u_ {2}}$ są podane przez

$${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_ {2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{wyrównane}}}$$

Nawiasem mówiąc, prawdziwa jest również następująca tożsamość:

$${\ Displaystyle u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} = \ lewo (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\prawo)^{2}\lewo(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\prawo)}$$

Zobacz też

• Tożsamość Brahmagupty – Fibonacciego (suma dwóch kwadratów)
• Tożsamość Degena z ośmioma kwadratami
• Szesnastokwadratowa tożsamość Pfistera
• kwadrat łaciński

Linki zewnętrzne

• Zbiór tożsamości algebraicznych
• [1] List CXV od Eulera do Goldbacha