Szesnastokwadratowa tożsamość Pfistera

W algebrze szesnastokwadratowa tożsamość Pfistera jest niedwuliniową tożsamością formy

$${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + \ cdots + x_ {16} ^ {2} \ prawo) \ lewo (y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} + \ cdots + y_ {16} ^ {2} \ prawej) = z_ {1 }^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+\cdots +z_{16}^{2}}$$

Po raz pierwszy udowodnili to H. Zassenhaus i W. Eichhorn w latach 60. XX wieku, a mniej więcej w tym samym czasie niezależnie Albrecht Pfister . Istnieje kilka wersji, z których jedna jest zwięzła

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ scriptstyle {z_ {1} = {\ kolor {niebieski} {x_ {1} y_ {1} -x_ {2} y_ {2} -x_ {3} y_ {3} -x_ {4} y_ {4} -x_ {5} y_ {5} -x_ {6} y_ {6} -x_ {7} y_ {7} -x_ {8} y_ {8}}} + u _{1}y_{9}-u_{2}y_{10}-u_{3}y_{11}-u_{4}y_{12}-u_{5}y_{13}-u_{6}y_{14}-u_{7}y_{15}-u_{8}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{2}={\kolor {niebieski}{x_{2}y_{1 }+x_{1}y_{2}+x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4}+x_{6}y_{5}-x_{5}y_{6}-x_{8}y_{7}+x_{7}y_{8}}}+u_{2}y_{9}+u_{1}y_{10}+u_{4}y_{11}-u_{3}y_ {12}+u_{6}y_{13}-u_{5}y_{14}-u_{8}y_{15}+u_{7}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{3}={\kolor {niebieski}{x_{3}y_{1}-x_{4}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{4}+x_{7}y _{5}+x_{8}y_{6}-x_{5}y_{7}-x_{6}y_{8}}}+u_{3}y_{9}-u_{4}y_{10}+u_{1}y_{11}+u_{2}y_{12}+u_{7}y_{13}+u_{8}y_{14}-u_{5}y_{15}- u_ {6}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{4}={\kolor {niebieski}{x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{4}+x_{8}y_{5}-x_{7}y_{6}+x_{6}y_{7}-x_{5}y_{8}}}+u _{4}y_{9}+u_{3}y_{10}-u_{2}y_{11}+u_{1}y_{12}+u_{8}y_{13}-u_{7}y_{14}+u_{6}y_{15}-u_{5}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{5}={\kolor {niebieski}{x_{5}y_{1 }-x_{6}y_{2}-x_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}y_{5}+x_{2}y_{6}+x_{3}y_{7}+x_{4}y_{8}}}+u_{5}y_{9}-u_{6}y_{10}-u_{7}y_{11}-u_{8}y_ {12}+u_{1}y_{13}+u_{2}y_{14}+u_{3}y_{15}+u_{4}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{6}={\kolor {niebieski}{x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}-x_{8}y_{3}+x_{7}y_{4}-x_{2}y _{5}+x_{1}y_{6}-x_{4}y_{7}+x_{3}y_{8}}}+u_{6}y_{9}+u_{5}y_{10}-u_{8}y_{11}+u_{7}y_{12}-u_{2}y_{13}+u_{1}y_{14}-u_{4}y_{15}+ u_ {3}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{7}={\kolor {niebieski}{x_{7}y_{1}+x_{8}y_{2}+x_{5}y_{3}-x_{6}y_{4}-x_{3}y_{5}+x_{4}y_{6}+x_{1}y_{7}-x_{2}y_{8}}}+u _{7}y_{9}+u_{8}y_{10}+u_{5}y_{11}-u_{6}y_{12}-u_{3}y_{13}+u_{4}y_{14}+u_{1}y_{15}-u_{2}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{8}={\kolor {niebieski}{x_{8}y_{1 }-x_{7}y_{2}+x_{6}y_{3}+x_{5}y_{4}-x_{4}y_{5}-x_{3}y_{6}+x_{2}y_{7}+x_{1}y_{8}}}+u_{8}y_{9}-u_{7}y_{10}+u_{6}y_{11}+u_{5}y_ {12}-u_{4}y_{13}-u_{3}y_{14}+u_{2}y_{15}+u_{1}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{9}=x_{9}y_{1}-x_{10}y_{2}-x_{11}y_{3}-x_{12}y_{4}-x_{13}y_{5 }-x_{14}y_{6}-x_{15}y_{7}-x_{16}y_{8}+x_{1}y_{9}-x_{2}y_{10}-x_{3}y_{11}-x_{4}y_{12}-x_{5}y_{13}-x_{6}y_{14}-x_{7}y_{15}-x_ {8}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{10}=x_{10}y_{1}+x_{9}y_{2}+x_{12}y_{3}-x_{11}y_{4}+x_{14}y_{5}-x_{13}y_{6}-x_{16}y_{7}+x_{15}y_{8}+x_{2 }y_{9}+x_{1}y_{10}+x_{4}y_{11}-x_{3}y_{12}+x_{6}y_{13}-x_{5}y_{14}-x_{8}y_{15}+x_{7}y_{16}}\\&\styl skryptu {z_{11}=x_{11}y_{1}-x_{12} y_{2}+x_{9}y_{3}+x_{10}y_{4}+x_{15}y_{5}+x_{16}y_{6}-x_{13}y_{7}-x_{14}y_{8}+x_{3}y_{9}-x_{4}y_{10}+x_{1}y_{11}+x_{2}y_{12} +x_{7}y_{13}+x_{8}y_{14}-x_{5}y_{15}-x_{6}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{12}=x_{12}y_{1}+x_{11}y_{2}-x_{10}y_{3}+x_{9}y_{4}+x_{16}y_{5}-x _{15}y_{6}+x_{14}y_{7}-x_{13}y_{8}+x_{4}y_{9}+x_{3}y_{10}-x_{2}y_{11}+x_{1}y_{12}+x_{8}y_{13}-x_{7}y_{14}+x_{6}y_{15}-x_{5} y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{13}=x_{13}y_{1}-x_{14}y_{2}-x_{15}y_{3}-x_{16}y_{4}+x_{9}y_{5}+x_{10}y_{6}+x_{11}y_{7}+x_{12}y_{8}+x_{5}y_ {9}-x_{6}y_{10}-x_{7}y_{11}-x_{8}y_{12}+x_{1}y_{13}+x_{2}y_{14}+x_{3}y_{15}+x_{4}y_{16}}\\&\styl skryptu {z_{14}=x_{14}y_{1}+x_{13}y_{ 2}-x_{16}y_{3}+x_{15}y_{4}-x_{10}y_{5}+x_{9}y_{6}-x_{12}y_{7}+x_{11}y_{8}+x_{6}y_{9}+x_{5}y_{10}-x_{8}y_{11}+x_{7}y_{12}-x_ {2}y_{13}+x_{1}y_{14}-x_{4}y_{15}+x_{3}y_{16}}\\&\scriptstyle {z_{15}=x_{15}y_{1}+x_{16}y_{2}+x_{13}y_{3}-x_{14}y_{4}-x_{11}y_{5}+x_{ 12}y_{6}+x_{9}y_{7}-x_{10}y_{8}+x_{7}y_{9}+x_{8}y_{10}+x_{5}y_{11}-x_{6}y_{12}-x_{3}y_{13}+x_{4}y_{14}+x_{1}y_{15}-x_{2}y_{ 16}}\\&\style skryptu {z_{16}=x_{16}y_{1}-x_{15}y_{2}+x_{14}y_{3}+x_{13}y_{4}-x_{12}y_{5}-x_{11}y_{6}+x_{10}y_{7}+x_{9}y_{8}+x_{8}y_{9} -x_{7}y_{10}+x_{6}y_{11}+x_{5}y_{12}-x_{4}y_{13}-x_{3}y_{14}+x_{2}y_{15}+x_{1}y_{16}}\end{wyrównane}}}$$

Jeśli wszystkie $($$ośmiokwadratowej$ na zero, to sprowadza się $do$ Degena niebiesko ) u $i}}$ {

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i u_ {1} = {\ tfrac {\ lewo (ax_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} + x_ {5} ^ {2} + x_ {6} ^ {2} + x_ {7} ^ {2} + x_ {8} ^ {2} \ prawej) x_ {9} -2x_ { 1}\left(bx_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right)}{c}}\\&u_{2}={\tfrac { \left(x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)x_{10}-2x_{2}\left(x_{1}x_{9}+bx_{2}x_{ 10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right)}{c}}\\&u_{3}={\tfrac {\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_ {3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)x_{11}-2x_{3}\left(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+bx_{3}x_{11}+x_{4}x_{12 }+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right)}{c}}\\&u_{4}={\tfrac {\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2}+x_{5}^{2 }+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)x_{12}-2x_{4}\left(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+bx_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+ x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right)}{c}}\\&u_{5}={\tfrac {\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+ax_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8 }^{2}\right)x_{13}-2x_{5}\left(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+bx_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right) }{c}}\\&u_{6}={\tfrac {\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+ax_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)x_{14}-2x_{6}\left(x _{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+bx_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right)}{c}}\\&u_{7}={\tfrac {\left(x_{ 1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+ax_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)x_{15}-2x_{7}\left(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3 }x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+bx_{7}x_{15}+x_{8}x_{16}\right)}{c}}\\&u_{8}={\tfrac {\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} +x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+ax_{8}^{2}\right)x_{16}-2x_{8}\left(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x _{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+bx_{8}x_{16}\right)}{c}}\end{wyrównane}}}$$

I,

$${\ Displaystyle a = -1, \; \; b = 0, \; \; c = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} + x_ {5} ^ {2} + x_ {6} ^ {2} + x_ {7} ^ {2} + x_ {8} ^ {2} \,.}$$

Tożsamość pokazuje, że ogólnie iloczyn dwóch sum szesnastu kwadratów jest sumą szesnastu racjonalnych kwadratów. Nawiasem mówiąc, również są posłuszni, ${\ displaystyle u_ {i}}$

$${\ Displaystyle U_ {1} ^ {2} + U_ {2} ^ {2} + U_ {3} ^ {2} + U_ {4} ^ {2} + U_ {5}^{2}+u_{6}^{2}+u_{7}^{2}+u_{8}^{2}=x_{9}^{2}+x_{10}^{ 2}+x_{11}^{2}+x_{12}^{2}+x_{13}^{2}+x_{14}^{2}+x_{15}^{2}+x_{ 16}^{2}}$$

Nie istnieje tożsamość szesnastokwadratowa obejmująca tylko funkcje dwuliniowe, ponieważ twierdzenie Hurwitza stwierdza tożsamość postaci

$${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}) (y_ {1} ^ {2} + y_ {2} ^ {2} + y_ {3} ^ {2} + \ cdots + y_ {n} ^ {2} \ prawej) = z_ {1} ^ {2} + z_ { 2}^{2}+z_{3}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}$$

z funkcjami dwuliniowymi $y$ ja ${\ Displaystyle y_ {$$}}$ jest możliwe tylko dla { 1 2, 4, 8} . Jednak bardziej ogólne Pfistera (1965) pokazuje, że jeśli są funkcjami wymiernymi jednego zestawu zmiennych, a więc mają $mianownik$ , jest to możliwe dla wszystkich ${\ displaystyle n = 2 ^ {m}}$ . Istnieją również nie-dwuliniowe wersje czterokwadratowych tożsamości Eulera i ośmiokwadratowych tożsamości Degena.

Zobacz też

• Tożsamość Brahmagupty-Fibonacciego
• Tożsamość czterech kwadratów Eulera
• Tożsamość Degena z ośmioma kwadratami
• Sedeniony

Linki zewnętrzne

• Tożsamość 16 kwadratów Pfistera