przypuszczenie Borsuka

Przykład sześciokąta pociętego na trzy części o mniejszej średnicy.

Problem Borsuka w geometrii , z powodów historycznych błędnie nazywany hipotezą Borsuka , jest zagadnieniem w geometrii dyskretnej . Nosi imię Karola Borsuka .

Problem

W 1932 roku Karol Borsuk wykazał, że zwykłą trójwymiarową kulę w przestrzeni euklidesowej można łatwo podzielić na 4 bryły, z których każda ma mniejszą średnicę niż kula, i generalnie n -wymiarową kulę można pokryć n + 1 zbiorami zwartymi o średnicy mniejszej niż kula. Jednocześnie udowodnił, że n podzbiorów to ogólnie za mało. Dowód oparty jest na twierdzeniu Borsuka-Ulama . To doprowadziło Borsuka do ogólnego pytania:

Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} w$ ( n + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat?

Można to przetłumaczyć jako:

$zbiory$ Otwarte pozostaje następujące pytanie: czy każdy ograniczony podzbiór E przestrzeni można podzielić na ( n + 1) każdy ma mniejszą średnicę niż E?

Na pytanie udzielono pozytywnej odpowiedzi w następujących przypadkach:

n = 2 — co jest oryginalnym wynikiem Karola Borsuka (1932).
n = 3 — przedstawiony przez Juliana Perkala (1947) i niezależnie, 8 lat później, przez HG Egglestona (1955). Prosty dowód znaleźli później Branko Grünbaum i Aladár Heppes.
Dla wszystkich n dla ciał gładkich wypukłych — pokazane przez Hugo Hadwigera (1946).
Dla wszystkich n dla ciał centralnie-symetrycznych — przedstawiony przez AS Riesling (1971).
Dla wszystkich n dla ciał rewolucyjnych — przedstawiony przez Borisa Dekstera (1995).

Problem został ostatecznie rozwiązany w 1993 roku przez Jeffa Kahna i Gila Kalai , którzy wykazali, że ogólna odpowiedź na pytanie Borsuka brzmi: nie . Twierdzą, że ich konstrukcja pokazuje, że n + 1 sztuk nie wystarcza dla n = 1325 i dla każdego n > 2014 . Jednak, jak zauważył Bernulf Weißbach, pierwsza część tego twierdzenia jest w rzeczywistości fałszywa. Ale po poprawieniu suboptymalnego wniosku w ramach odpowiedniego wyprowadzenia, rzeczywiście można zweryfikować jeden ze skonstruowanych zbiorów punktów jako kontrprzykład dla n = 1325 (jak również dla wszystkich wyższych wymiarów do 1560).

Ich wynik poprawili w 2003 r. Hinrichs i Richter, którzy dla n ≥ 298 skonstruowali zbiory skończone , których nie można podzielić na n + 11 części o mniejszej średnicy.

W 2013 roku Andriy V. Bondarenko wykazał, że hipoteza Borsuka jest fałszywa dla wszystkich n ≥ 65 . Wkrótce potem Thomas Jenrich wyprowadził 64-wymiarowy kontrprzykład z konstrukcji Bondarenko, dając najlepsze do tej pory połączenie.

Oprócz znalezienia minimalnej liczby $są$ ${\ Displaystyle \ alfa (n)}$ takiej liczba kawałków, funkcji . Kahn i Kalai pokazują, że ogólnie (to znaczy dla n wystarczająco dużych) potrzeba ${\ Displaystyle \ alpha (n) \ geq (1,2) ^ {\ sqrt {n}}}$ wiele sztuk. Cytują również górną granicę Odeda Schramma , który wykazał, że dla każdego ε , jeśli n jest wystarczająco duże, ${\ Displaystyle \ alfa (n) \ równoważnik \ lewo ({{ \sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{n}}$ . Właściwy rząd wielkości α ( n ) jest nadal nieznany. Przypuszcza się jednak, że istnieje stała c > 1 taka, że dla wszystkich n ≥ 1 $}$ }

Zobacz też

Hipoteza Hadwigera o pokrywaniu wypukłych ciał mniejszymi kopiami samych siebie
Hipoteza Kahna-Kalaia

Notatka

Dalsza lektura

Oleg Pikhurko, Metody algebraiczne w kombinatoryce , notatki z kursu.
Andrei M. Raigorodskii, Problem partycji Borsuka: siedemdziesiąta rocznica, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4–12.
Raigorodskii, Andriej M. (2008). „Trzy wykłady na temat problemu partycji Borsuk”. W Young, Mikołaj; Choi, Yemon (red.). Ankiety we współczesnej matematyce . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Tom. 347. Cambridge University Press . s. 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6 . Zbl 1144.52005 .

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie Borsuka” . MathWorld .