Przypuszczenie Landera, Parkina i Selfridge'a

Landera , Parkina i Selfridge'a dotyczy całkowitoliczbowych rozwiązań równań zawierających sumy podobnych potęg. Równania są uogólnieniami tych rozważanych w Wielkim Twierdzeniu Fermata . Przypuszczenie jest takie, że jeśli suma niektórych k -tych potęg jest równa sumie niektórych innych k -tych potęg, to łączna liczba wyrazów w obu sumach musi wynosić co najmniej k .

Tło

Równania diofantyczne , takie jak całkowitoliczbowa wersja równania a ² + b ² = c ² , które pojawia się w twierdzeniu Pitagorasa , były badane pod kątem ich właściwości rozwiązań całkowitoliczbowych od wieków. Wielkie Twierdzenie Fermata stwierdza, że ​​dla potęg większych niż 2 równanie a ^k + b ^k = c ^k nie ma rozwiązań w niezerowych liczbach całkowitych a , b , do . Rozszerzenie liczby wyrazów po jednej lub obu stronach i dopuszczenie wyższych potęg niż 2 doprowadziło Leonharda Eulera do zaproponowania w 1769 r., Że dla wszystkich liczb całkowitych n i k większych niż 1, jeśli suma n k potęg dodatnich liczb całkowitych wynosi jest k -tą potęgą, to n jest większe lub równe k .

$\ Displaystyle \ suma _ {i=1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}} gdzie$ za ja > 1 i $\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ kropki, a_ {n}, b}$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, to jego przypuszczenie było takie, że n ≥ k .

W 1966 roku Leon J. Lander i Thomas R. Parkin znaleźli kontrprzykład dla hipotezy Eulera o sumie potęg dla k = 5:

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ .

W kolejnych latach znaleziono kolejne kontrprzykłady , m.in. dla k = 4. Te ostatnie obaliły bardziej szczegółową hipotezę Eulera quartic , a mianowicie, że a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ = d ⁴ nie ma dodatnich rozwiązań całkowitych. W rzeczywistości najmniejszym rozwiązaniem, znalezionym w 1988 r., jest

414560 ⁴ + 217519 ⁴ + 95800 ⁴ = 422481 ⁴ .

Przypuszczenie

W 1967 roku LJ Lander, TR Parkin i John Selfridge przypuszczali, że jeśli $\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i }^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}} , gdzie a i$ ≠ b _j są dodatnimi _liczbami całkowitymi dla wszystkich 1 ≤ i ≤ n oraz 1 ≤ j ≤ m , potem m + n ≥ k . Równa suma podobnych potęg jest często skracana jako ( k , m , n ).

$m = n = {\ Frac {k} {2}}}$ Displaystyle (związane z uogólnioną liczbą taksówek ) obejmują ${\ Displaystyle 59 ^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}$ (znane Eulerowi) i ${\ Displaystyle 3 ^ {6} + 19 ^ {6} + 22 ^ {6} = 10 ^ {6} + 15 ^ {6} + 23 ^ {6}}$ (znalezione przez K. Subba Rao w 1934 r.) .

Hipoteza implikuje w szczególnym przypadku m = 1, że jeśli

$\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(w warunkach podanych powyżej), to n ≥ k − 1.

Dla tego szczególnego przypadku m = 1, niektóre ze znanych rozwiązań spełniających proponowane ograniczenie z n ≤ k , gdzie wyrazy są dodatnimi liczbami całkowitymi , a zatem dają podział potęgi na podobne potęgi, to:

k = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ .

k = 4

95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ , (Roger Frye, 1988)

30 ⁴ + 120 ⁴ + 272 ⁴ + 315 ⁴ = 353 ⁴ , (R. Norrie, 1911)

Ostatnie twierdzenie Fermata stwierdza, że ​​dla k = 4 hipoteza jest prawdziwa.

k = 5

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ , (Lander, Parkin, 1966)

7 ⁵ + 43 ⁵ + 57 ⁵ + 80 ⁵ + 100 ⁵ = 107 ⁵ , (Sastry, 1934, trzeci najmniejszy )

k = 6

(Brak znanych. Od 2002 r. nie ma rozwiązań, których końcowy wyraz wynosi ≤ 730000. )

k = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 525 ⁷ = 568 ⁷ , (M. Dodrill, 1999)

k = 8

90 ⁸ + 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ^{8 +} 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ , (Scott Chase, 2000)

k ≥ 9

(brak danych).

Aktualny stan

Nie wiadomo, czy przypuszczenie jest prawdziwe lub czy istnieją nietrywialne rozwiązania, które byłyby kontrprzykładami, takie jak a ^k + b ^k = c ^k + d ^k dla k ≥ 5. Rozwiązania trywialne obejmują pewne przypadki ze złożonymi wykładnikami k , np . k = 6, gdyż dla takiego k = p * q możliwe są rozwiązania ( a ^p ) ^q + ( b ^p ) ^q = ( za q ⁾ p ⁺ ( b ^q ) ^p , dla dodatnich liczb całkowitych aib .

Zobacz też

• Przypuszczenie Beala
• Przypuszczenie Fermata-Katalończyka
• Równanie Jacobiego-Maddena
• Lista nierozwiązanych problemów w matematyce
• Matematyka eksperymentalna (kontrprzykłady do hipotezy Eulera o sumie potęg, zwłaszcza najmniejsze rozwiązanie dla k = 4)
• Problem Prouheta-Tarry'ego-Escotta
• Czwórka pitagorejska
• Sumy potęg , lista powiązanych przypuszczeń i twierdzeń

•    Facet, Richard K. (2004). Nierozwiązane problemy w teorii liczb . Książki problemowe z matematyki (wyd. 3). Nowy Jork, NY: Springer-Verlag . D1. ISBN 0-387-20860-7 . Zbl 1058.11001 .

Linki zewnętrzne

• EulerNet: obliczanie minimalnych równych sum podobnych potęg
• Jarosław Wróblewski Równe sumy podobnych potęg
• Tito Piezas III: zbiór tożsamości algebraicznych
• Weisstein, Eric W. „Równanie diofantyczne - piąte potęgi” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Równanie diofantyczne - 6 potęgi” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Równanie diofantyczne - siódme potęgi” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Równanie diofantyczne - ósme potęgi” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Przypuszczenie Eulera o sumie potęg” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Hipoteza Eulera Quartic” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Równanie diofantyczne - czwarte potęgi” . MathWorld .
• Hipoteza Eulera na stronie library.thinkquest.org
• Proste wyjaśnienie hipotezy Eulera z matematyki jest dla ciebie dobre!
• Matematycy znajdują nowe rozwiązania starożytnej łamigłówki
• Ed Pegg Jr. Sumy mocy , Gry matematyczne