Matematyka eksperymentalna

Aby zapoznać się z czasopismem matematycznym o tej samej nazwie, zobacz Experimental Mathematics (czasopismo) .

Matematyka eksperymentalna to podejście do matematyki , w którym obliczenia są wykorzystywane do badania obiektów matematycznych oraz identyfikowania właściwości i wzorców. Została zdefiniowana jako „ta gałąź matematyki, która ostatecznie zajmuje się kodyfikacją i przekazywaniem spostrzeżeń w społeczności matematycznej poprzez wykorzystanie eksperymentalnej (w sensie Galileusza, Bacona, Arystotelesa lub Kanta) eksploracji przypuszczeń i bardziej nieformalnych przekonań oraz starannej analizie danych uzyskanych w tym pościgu”.

Jak wyraził to Paul Halmos : „Matematyka nie jest nauką dedukcyjną — to banał. Kiedy próbujesz udowodnić twierdzenie, nie tylko wymieniasz hipotezy , a potem zaczynasz rozumować. To, co robisz, to próba i błąd , eksperymentowanie , zgadywanie. Chcesz dowiedzieć się, jakie są fakty, a to, co robisz, jest pod tym względem podobne do tego, co robi technik laboratoryjny.

Historia

Matematycy zawsze uprawiali matematykę eksperymentalną. Istniejące zapisy wczesnej matematyki, takiej jak matematyka babilońska , zazwyczaj składają się z list liczbowych przykładów ilustrujących tożsamości algebraiczne. Jednak współczesna matematyka, począwszy od XVII wieku, rozwinęła tradycję publikowania wyników w ostatecznej, formalnej i abstrakcyjnej prezentacji. Przykłady liczbowe, które mogły skłonić matematyka do pierwotnego sformułowania ogólnego twierdzenia, nie zostały opublikowane i ogólnie zostały zapomniane.

Matematyka eksperymentalna jako odrębna dziedzina badań pojawiła się ponownie w XX wieku, kiedy wynalezienie komputera elektronicznego znacznie zwiększyło zakres możliwych do wykonania obliczeń, z szybkością i precyzją znacznie większą niż wszystko, co było dostępne dla poprzednich pokoleń matematyków. Znaczącym kamieniem milowym i osiągnięciem matematyki eksperymentalnej było odkrycie w 1995 roku wzoru Baileya-Borweina-Plouffe'a na binarne cyfry π . Ta formuła została odkryta nie na drodze formalnego rozumowania, ale zamiast tego w wyniku wyszukiwania numerycznego na komputerze; dopiero potem znaleziono rygorystyczny dowód .

Cele i zastosowania

Celem matematyki eksperymentalnej jest „generowanie zrozumienia i wglądu; generowanie i potwierdzanie lub konfrontowanie przypuszczeń; i ogólnie uczynienie matematyki bardziej namacalną, żywą i zabawną zarówno dla profesjonalnego badacza, jak i nowicjusza”.

Zastosowania matematyki eksperymentalnej zostały zdefiniowane w następujący sposób:

1. Zdobywanie wglądu i intuicji.
2. Odkrywanie nowych wzorców i relacji.
3. Używanie wyświetlaczy graficznych do sugerowania podstawowych zasad matematycznych.
4. Testowanie, a zwłaszcza falsyfikowanie przypuszczeń.
5. Zbadanie możliwego wyniku, aby sprawdzić, czy jest on wart formalnego dowodu.
6. Sugerowanie podejść do dowodu formalnego.
7. Zastąpienie długich wyprowadzeń ręcznych wyprowadzeniami komputerowymi.
8. Potwierdzanie wyników uzyskanych analitycznie.

Narzędzia i techniki

Matematyka eksperymentalna wykorzystuje metody numeryczne do obliczania przybliżonych wartości całek i szeregów nieskończonych . Do ustalenia tych wartości z dużą precyzją często stosuje się arytmetykę arbitralnej precyzji — zazwyczaj 100 cyfr znaczących lub więcej. Algorytmy całkowitoliczbowe są następnie wykorzystywane do wyszukiwania relacji między tymi wartościami a stałymi matematycznymi . Praca z wartościami o wysokiej precyzji zmniejsza możliwość pomylenia matematycznego zbiegu okoliczności z prawdziwą relacją. Następnie poszukiwany będzie formalny dowód domniemanej relacji - często łatwiej jest znaleźć dowód formalny, gdy znana jest forma domniemanej relacji.

Jeśli poszukiwany jest kontrprzykład lub próba przeprowadzenia dowodu na dużą skalę przez wyczerpanie , do podzielenia obliczeń między wiele komputerów można zastosować rozproszone techniki obliczeniowe .

Często wykorzystuje się ogólne oprogramowanie matematyczne lub oprogramowanie specyficzne dla dziedziny, napisane do ataków na problemy wymagające dużej wydajności. Eksperymentalne oprogramowanie matematyczne zwykle zawiera wykrywania i korygowania błędów , kontrole integralności i nadmiarowe obliczenia zaprojektowane w celu zminimalizowania możliwości unieważnienia wyników przez błąd sprzętu lub oprogramowania.

Zastosowania i przykłady

Zastosowania i przykłady matematyki eksperymentalnej obejmują:

• Poszukiwanie kontrprzykładu do przypuszczenia
  • Roger Frye użył eksperymentalnych technik matematycznych, aby znaleźć najmniejszy kontrprzykład dla hipotezy Eulera o sumie potęg .
  • Projekt ZetaGrid powstał w celu poszukiwania kontrprzykładu dla hipotezy Riemanna .
  • Tomás Oliveira e Silva poszukiwał kontrprzykładu dla hipotezy Collatza .
• Znajdowanie nowych przykładów liczb lub obiektów o określonych właściwościach
  • The Great Internet Mersenne Prime Search szuka nowych liczb pierwszych Mersenne .
  • The Great Periodic Path Hunt szuka nowych ścieżek okresowych.
  • sieci distribution.net poszukuje optymalnych władców Golomba .
  • Projekt Sito Riesel poszukuje najmniejszej liczby Riesela .
  • Seventeen or Bust poszukuje najmniejszej liczby Sierpińskiego .
• Znalezienie nieoczekiwanych wzorców numerycznych
  • Edward Lorenz znalazł atraktor Lorenza , wczesny przykład chaotycznego układu dynamicznego , badając anomalne zachowania w numerycznym modelu pogody.
  • Spirala Ulama została odkryta przypadkowo.
  • Wzór w liczbach Ulama został odkryty przypadkowo.
  • Odkrycie przez Mitchella Feigenbauma stałej Feigenbauma opierało się początkowo na obserwacjach numerycznych, po których nastąpił rygorystyczny dowód.
• Wykorzystanie programów komputerowych do sprawdzenia dużej, ale skończonej liczby przypadków w celu zakończenia dowodu wspomaganego komputerowo przez wyczerpanie
  • Dowód Thomasa Halesa na hipotezę Keplera .
  • Różne dowody twierdzenia o czterech kolorach .
  • Clementa Lama na nieistnienie skończonej płaszczyzny rzutowej rzędu 10.
  • Gary McGuire udowodnił, że minimalne, wyjątkowo możliwe do rozwiązania Sudoku wymaga 17 wskazówek.
• Symboliczna walidacja (za pomocą algebry komputerowej ) przypuszczeń w celu umotywowania poszukiwania analitycznego dowodu
  • Rozwiązania szczególnego przypadku kwantowego problemu trzech ciał , znanego jako cząsteczka-jon wodoru, zostały znalezione w standardowych zestawach baz chemii kwantowej, zanim zdano sobie sprawę, że wszystkie prowadzą do tego samego unikalnego rozwiązania analitycznego pod względem uogólnienia funkcji W Lamberta . Z tą pracą związane jest wyizolowanie nieznanego wcześniej związku między teorią grawitacji a mechaniką kwantową w niższych wymiarach (patrz grawitacja kwantowa i odniesienia do niej).
  • W dziedzinie relatywistycznej mechaniki wielu ciał , a mianowicie w czasowo-symetrycznej teorii pochłaniaczy Wheelera-Feynmana : wykazano równoważność zaawansowanego potencjału Liénarda-Wiecherta cząstki j działającej na cząstkę i oraz odpowiedniego potencjału cząstki i działającej na cząstkę j $.$ uporządkować, udowodnione Teoria Wheelera-Feynmana ponownie zyskała zainteresowanie z powodu nielokalności kwantowej .
  • W dziedzinie optyki liniowej weryfikacja rozszerzania szeregowego obwiedni pola elektrycznego dla ultrakrótkich impulsów świetlnych przemieszczających się w ośrodkach nieizotropowych . Poprzednie rozszerzenia były niekompletne: wynik ujawnił dodatkowy termin potwierdzony eksperymentem.
• Ocena nieskończonych szeregów , nieskończonych iloczynów i całek (zobacz także całkowanie symboliczne ), zwykle poprzez wykonanie bardzo precyzyjnych obliczeń numerycznych, a następnie użycie algorytmu relacji całkowitych (takiego jak odwrotny kalkulator symboliczny ) w celu znalezienia liniowej kombinacji stałych matematycznych, które pasuje do tej wartości. Na przykład następująca tożsamość została ponownie odkryta przez Enrico Au-Yeunga, ucznia Jonathana Borweina przy użyciu wyszukiwania komputerowego i algorytmu PSLQ w 1993 roku:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k ^ {2}}} \ lewo (1 + {\ Frac {1} {2} }+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{k}}\right)^{2}={\frac {17\pi ^{4}}{360}} .\end{aligned}}}$

• Badania wizualne
  • W Perłach Indry David Mumford i inni badali różne właściwości transformacji Möbiusa i grupy Schottky'ego przy użyciu wygenerowanych komputerowo obrazów grup , które: dostarczyły przekonujących dowodów na wiele przypuszczeń i zachęcały do ​​dalszych badań .

Prawdopodobne, ale fałszywe przykłady

Główny artykuł: matematyczny zbieg okoliczności

Niektóre wiarygodne relacje mają wysoki stopień dokładności, ale nadal nie są prawdziwe. Jednym z przykładów jest:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos (2x) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ lewo ({\ Frac {x} {n}} \ prawej) \mathrm {d} x={\frac {\pi }{8}}.}$

W rzeczywistości obie strony tego wyrażenia różnią się po 42. miejscu po przecinku.

Innym przykładem jest to, że maksymalna wysokość (maksymalna wartość bezwzględna współczynników) wszystkich czynników x ⁿ - 1 wydaje się być taka sama jak wysokość n -tego wielomianu cyklotomicznego . Komputer wykazał, że jest to prawdziwe dla n < 10000 i oczekiwano, że będzie prawdziwe dla wszystkich n . Jednak szersze wyszukiwanie komputerowe wykazało, że ta równość nie jest spełniona dla n = 14235, gdy wysokość n-tego wielomianu cyklotomicznego wynosi 2, ale maksymalna wysokość czynników wynosi 3.

praktycy

Następujący matematycy i informatycy wnieśli znaczący wkład w dziedzinę matematyki eksperymentalnej:

• Fabryka Bellarda
• Davida H. Baileya
• Jonathana Borweina
• Davida Epsteina
• Helamana Fergusona
• Ronalda Grahama
• Thomasa Callistera Halesa
• Donalda Knuta
• Klemens Lam
• Oren Patasznik
• Szymon Plouffe
• Erica Weissteina
• Stefana Wolframa
• Dorona Zeilbergera
• AJ Han Vinck

Zobacz też

• Całka Borweina
• Dowód wspomagany komputerowo
• Dowody i obalenia
• Matematyka eksperymentalna (czasopismo)
• Instytut Matematyki Doświadczalnej

Linki zewnętrzne

• Matematyka eksperymentalna (czasopismo)
• Centrum Matematyki Eksperymentalnej i Konstruktywnej (CECM) na Uniwersytecie Simona Frasera
• Grupa współpracująca ds. Badań nad nauczaniem matematyki na Uniwersytecie w Southampton
• Rozpoznawanie stałych numerycznych autorstwa Davida H. Baileya i Simona Plouffe'a
• Psychologia matematyki eksperymentalnej
• Witryna poświęcona matematyce eksperymentalnej (linki i zasoby)
• Witryna Great Periodic Path Hunt (linki i zasoby)
• Algorytm na wieki: PSLQ, lepszy sposób na znalezienie relacji całkowitych ( link alternatywny )
• Eksperymentalna algorytmiczna teoria informacji
• Przykładowe problemy matematyki eksperymentalnej autorstwa Davida H. Baileya i Jonathana M. Borweina
• Dziesięć problemów z matematyki doświadczalnej autorstwa Davida H. Baileya , Jonathana M. Borweina , Vishaala Kapoora i Erica W. Weissteina
• Instytut Matematyki Eksperymentalnej na Uniwersytecie Duisburg-Essen