Serie (matematyka)

Ten artykuł dotyczy nieskończonych sum. Aby zapoznać się z sumami skończonymi, zobacz Sumowanie .

W matematyce szereg jest, z grubsza mówiąc, operacją dodawania nieskończenie wielu wielkości , jedna po drugiej, do danej wielkości początkowej. Badanie szeregów jest główną częścią rachunku różniczkowego i jego uogólnienia, analizy matematycznej . Szeregów używa się w większości dziedzin matematyki, nawet do badania struktur skończonych (takich jak kombinatoryka ) za pomocą funkcji generujących . Oprócz ich wszechobecności w matematyce, nieskończone szeregi są również szeroko stosowane w innych dyscyplinach ilościowych, takich jak fizyka , informatyka , statystyka i finanse .

Przez długi czas pomysł, że takie potencjalnie nieskończone sumowanie może dać skończony wynik, był uważany za paradoksalny . Ten paradoks został rozwiązany za pomocą koncepcji granicy w XVII wieku. Paradoks Achillesa i żółwia Zenona ilustruje tę sprzeczną z intuicją właściwość nieskończonych sum: Achilles biegnie za żółwiem, ale kiedy osiąga pozycję żółwia na początku wyścigu, żółw osiągnął drugą pozycję; kiedy osiągnie tę drugą pozycję, żółw znajduje się na trzeciej pozycji i tak dalej. Zenon doszedł do wniosku, że Achilles nigdy nie dosięgnie żółwia, a zatem ten ruch nie istnieje. Zenon podzielił rasę na nieskończenie wiele podras, z których każda wymaga skończonej ilości czasu, tak że całkowity czas złapania żółwia przez Achillesa jest określony serią. Rozwiązanie paradoksu polega na tym, że chociaż szereg ma nieskończoną liczbę wyrazów, ma skończoną sumę, która daje czas potrzebny Achillesowi na dogonienie żółwia.

$_$ terminologii nieskończona _ _ _ , liczby, funkcje lub cokolwiek, co można dodać) definiuje serię, która jest operacją dodawania a i _jednego po drugim. Aby podkreślić, że istnieje nieskończona liczba terminów, szereg można nazwać szeregiem nieskończonym . Taki szereg jest reprezentowany (lub oznaczany) przez wyrażenie typu

$${\ Displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots,}$$

lub używając znaku sumy ,

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i}.}$$

Nieskończona sekwencja dodawania implikowana przez serię nie może być skutecznie kontynuowana (przynajmniej w skończonym czasie). Jeśli jednak zbiór , do którego należą wyrazy i ich sumy skończone, ma pojęcie granicy , czasami możliwe jest przypisanie wartości szeregowi, zwanemu sumą szeregu. Ta wartość jest granicą, ponieważ n dąży do nieskończoności (jeśli granica istnieje) skończonych sum n pierwszych wyrazów szeregu, które nazywane są n- tymi sumami częściowymi szeregu. To jest,

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} = \ lim _ {n \ do \ infty} \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}.}$$

Kiedy ta granica istnieje, mówi się, że szereg jest zbieżny lub sumowalny , lub że sekwencja ${\ Displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ldots )}$ jest sumowalny . W tym przypadku granica nazywana jest sumą szeregu. W przeciwnym razie szereg nazywamy rozbieżnym .

Notacja ${\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i}}$ oznacza obie serie - czyli niejawny proces dodawania terminów jeden po drugim w nieskończoność - a jeśli szereg jest zbieżny, suma szeregu — wynik procesu. Jest $to$ uogólnienie podobnej konwencji oznaczania przez dodawanie proces dodawania - i jego sumę a i b .

Ogólnie rzecz $rzeczywistych$$,$ wyrazy szeregu pochodzą z pierścienia często pola liczb lub pola liczb zespolonych . W tym przypadku zbiór wszystkich szeregów sam w sobie jest pierścieniem (a nawet algebrą asocjacyjną ), w której dodawanie polega na dodawaniu szeregu wyraz po wyrazie, a mnożenie jest iloczynem Cauchy'ego .

Podstawowe właściwości

Nieskończona seria lub po prostu seria to nieskończona suma, reprezentowana przez nieskończoną ekspresję formy

$${\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots,}$$

gdzie $uporządkowaną$ sekwencją terminów , takich jak , funkcje lub cokolwiek innego, co dodać ( grupa abelowa ) . Jest to wyrażenie uzyskiwane z listy terminów ${\ Displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ kropki}$ układając je obok siebie i łącząc je symbolem „+”. Serię można również przedstawić za pomocą notacji sumującej , np

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}$$

Jeśli abelowa grupa A terminów ma pojęcie granicy (np. jeśli jest to przestrzeń metryczna ), to jakiś szereg, szereg zbieżny , można interpretować jako mający wartość w A , zwaną sumą szeregu . Obejmuje to typowe przypadki z rachunku różniczkowego , w których grupa jest ciałem liczb rzeczywistych lub ciałem liczb zespolonych . Biorąc pod uwagę szereg ${\textstyle s=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$ , jego k- ta suma częściowa wynosi

$${\ Displaystyle s_ {k} = \ suma _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {k}.}$$

Z $zbieżny$ szereg do granicy L (lub po prostu się do sekwencja jego sumy częściowe mają granicę L . W tym przypadku zwykle się pisze

$${\ Displaystyle L = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}$$

Mówimy, że szereg jest zbieżny , jeśli jest zbieżny do pewnej granicy, lub rozbieżny , gdy nie jest. Wartość tej granicy, jeśli istnieje, jest wtedy wartością szeregu.

Szeregi zbieżne

Ilustracja przedstawiająca 3 szeregi geometryczne z sumami częściowymi od 1 do 6 wyrazów. Linia przerywana reprezentuje granicę.

O szeregu Σ a _n mówimy, że _jest ( sk ) zbieżny lub zbieżny , gdy ciąg sum częściowych ma skończoną granicę . Jeśli granica sk jest nieskończona _lub nie istnieje, to szereg nazywamy rozbieżnym . Gdy istnieje granica sum częściowych, nazywa się to wartością (lub sumą) szeregu

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ lim _ {k \ do \ infty} s_ {k} = \ lim _ {k \ do \ infty} \ suma _ { n=0}^{k}a_{n}.}$$

Prostym sposobem na zbieżność nieskończonego szeregu jest sytuacja, w której wszystkie a n _są zerowe dla wystarczająco dużego n . Taki szereg można utożsamiać ze skończoną sumą, więc jest on nieskończony tylko w trywialnym sensie.

Wypracowanie własności szeregu, które są zbieżne, nawet jeśli nieskończenie wiele wyrazów jest niezerowych, jest istotą badania szeregów. Rozważ przykład

$${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} {8}} + \ cdots + {\ Frac {1} {2 ^ {n}}}+\cdots .}$$

Możliwa jest „wizualizacja” jego zbieżności na osi liczb rzeczywistych : możemy sobie wyobrazić linię o długości 2, z zaznaczonymi kolejnymi odcinkami o długościach 1, 1/2, 1/4 itd. Zawsze jest miejsce na zaznaczenie następny odcinek, ponieważ ilość pozostałej linii jest zawsze taka sama jak ostatnio zaznaczonego odcinka: Kiedy odkreśliliśmy 1/2, wciąż mamy kawałek długości 1/2 niezaznaczony, więc z pewnością możemy zaznaczyć następną 1/4 . Ten argument nie dowodzi, że suma jest równa 2 (chociaż jest), ale dowodzi, że co najwyżej 2. Innymi słowy, szereg ma górną granicę. Biorąc pod uwagę, że szereg jest zbieżny, udowodnienie, że jest on równy 2, wymaga jedynie elementarnej algebry . Jeśli szereg jest oznaczony jako S , można to zobaczyć

$${\ Displaystyle S / 2 = {\ Frac {1 + {\ Frac {1} {2}} + {\ Frac {1} {4}} + {\ Frac {1} {8}} + \ cdots}} 2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots .}$$

Dlatego,

$${\ Displaystyle SS / 2 = 1 \ Strzałka w prawo S = 2.}$$

Idiom można rozszerzyć na inne, równoważne pojęcia serii. Na przykład powtarzający się ułamek dziesiętny , jak w

$${\ Displaystyle x = 0,111 \ kropki,}$$

koduje serię

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {10 ^ {n}}}.}$$

Ponieważ szeregi te zawsze zbiegają się do liczb rzeczywistych (ze względu na tak zwaną właściwość kompletności liczb rzeczywistych), mówienie o szeregach w ten sposób jest tym samym, co mówienie o liczbach, które reprezentują. W szczególności rozwinięcie dziesiętne 0,111... można utożsamić z 1/9. Prowadzi to do argumentu, że 9 × 0,111… = 0,999… = 1 , który opiera się tylko na fakcie, że prawa graniczne dla szeregów zachowują operacje arytmetyczne ; więcej szczegółów na temat tego argumentu, patrz 0.999... .

Przykłady szeregów liczbowych

Aby zapoznać się z innymi przykładami, zobacz Lista szeregów matematycznych i Sumy odwrotności § Nieskończenie wiele wyrazów .

• Szereg geometryczny to taki, w którym każdy kolejny wyraz jest tworzony przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę (w tym kontekście zwaną wspólnym współczynnikiem). Na przykład:
  $${\ Displaystyle 1 + {1 \ ponad 2} + {1 \ ponad 4} + {1 \ ponad 8 }+{1 \ponad 16}+\cdots =\suma _{n=0}^{\infty}{1 \ponad 2^{n}}=2.}$$

  Ogólnie szereg geometryczny

  $${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n}}$$

  zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ textstyle | z|<1}$ , w takim przypadku zbiega się do ${\ textstyle {1 \ ponad 1-z}}$ .

• Szereg harmoniczny to szereg
  $${\ Displaystyle 1 + {1 \ ponad 2} + {1 \ ponad 3} + {1 \ ponad 4} + {1 \ ponad 5} + \ cdots = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty}} 1 \ponad n}.}$$

  Szereg harmoniczny jest rozbieżny .

• Szereg naprzemienny to szereg, w którym wyrazy występują naprzemiennie. Przykłady:
  $${\ Displaystyle 1- {1 \ ponad 2} + {1 \ ponad 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{n-1} \ nad n}=\ln(2)\quad }$$

  ( naprzemienne szeregi harmoniczne ) i

  $${\ Displaystyle -1 + {\ Frac {1} {3} }-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi}}}}$$
• Teleskopowa seria
  $${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} (b_ {n} -b_ {n + 1})}$$

  jest zbieżny, jeśli ciąg b _n zbiega się do granicy L — gdy n dąży do nieskończoności. Wartość szeregu wynosi wtedy b ₁ − L .

• Szereg arytmetyczno-geometryczny jest uogólnieniem szeregu geometrycznego, który ma współczynniki wspólnego stosunku równe wyrazom ciągu arytmetycznego . Przykład:
  $${\ Displaystyle 3 + {5 \ ponad 2} + {7 \ ponad 4} + {9 \ ponad 8} + {11 \ ponad 16} + \ cdots = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty}} (3+2n) \ponad 2^{n}}.}$$
• Seria p _
  $${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {p}}}}$$

  jest zbieżny, jeśli p > 1 i rozbieżny dla p ≤ 1, co można wykazać za pomocą kryterium całkowego opisanego poniżej w testach zbieżności . Jako funkcja p , suma tego szeregu jest funkcją zeta Riemanna .

• Szeregi hipergeometryczne :
  $${\ Displaystyle _ {r} F_ {s} \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} a_ {1}, a_ {2}, \ kropka, a_ {r} \\ b_ {1}, b_ {2} ,\kropka ,b_{s}\end{macierz}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(a_{1})_{n}(a_ {2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s}) _{n}\;n!}}z^{n}}$$

  a ich uogólnienia (takie jak podstawowe szeregi hipergeometryczne i eliptyczne szeregi hipergeometryczne ) często pojawiają się w układach całkowalnych i fizyce matematycznej .

• Istnieje kilka szeregów elementarnych, których zbieżność nie jest jeszcze znana/udowodniona. Na przykład nie wiadomo, czy seria Flint Hills
  $${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {\ csc ^ {2} n} {n ^ {3}}}}$$

  zbiega się czy nie. Zbieżność zależy od tego, jak dobrze $można$ przybliżyć liczby wymierne co na razie nie jest znane). Dokładniej, wartości n z dużymi wkładami liczbowymi do sumy są licznikami zbieżnych ułamków ciągłych sekwencji rozpoczynającej się od 1, 3, 22, 333, 355, 103993 $...$ (sekwencja A046947 w OEIS ). Są to liczby całkowite zbliżone do ${\ displaystyle n \ pi}$ dla pewnej liczby całkowitej n , tak że ${\ Displaystyle \ sin n \ pi}$ jest bliski 0, a jego odwrotność jest duża. Alekseyev ( $2,5$ ) udowodnił, że jeśli szereg jest zbieżny, to miara irracjonalności jest mniejsza niż , czyli znacznie mniejsza niż obecnie znana granica 7,10320533 ....

Liczba Pi

Główne artykuły: Pi § Nieskończone szeregi , Przybliżenia π i Liczba harmoniczna § Tożsamości obejmujące π

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac { 1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^ {2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {i + 1} (4)} {2i-1}} = {\ Frac {4} {1} }-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac { 4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$$

Logarytm naturalny z 2

Główny artykuł: Logarytm naturalny reprezentacji 2 § serii

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {i + 1}} {i }}=\ln 2}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {(2i + 1) ( 2i+2)}}=\ln 2}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(- 1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {i \ lewo ( 4i^{2}-1\prawo)}}=2\ln(2)-1}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2 ^ {i} i}} = \ ln 2}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ Frac {1} {3 ^ {i }}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {2i (2i-1)}} = \ln2}$$

Podstawa logarytmu naturalnego e

Główny artykuł: e (stała matematyczna)

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {i}} {i!}} = 1 - {\ Frac {1} {1} !}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {i!}} = {\ Frac {1} {0!}} + {\ Frac {1} {1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$$

Rachunek różniczkowy i sumowanie częściowe jako operacje na ciągach

Sumowanie częściowe przyjmuje jako dane wejściowe sekwencję ( a _n ) i daje jako wynik inną sekwencję ( S _N ). Jest to zatem jednoargumentowa operacja na sekwencjach. Ponadto ta funkcja jest liniowa , a zatem jest operatorem liniowym w przestrzeni wektorowej sekwencji, oznaczonej Σ. Operatorem odwrotnym jest różnicy skończonej , oznaczony jako Δ. Zachowują się one jak dyskretne analogi integracji i różniczkowania , tylko dla szeregów (funkcji liczby naturalnej) zamiast funkcji zmiennej rzeczywistej. Na przykład sekwencja (1, 1, 1, ...) ma szeregi (1, 2, 3, 4, ...) jako częściowe sumowanie, co jest analogiczne do faktu, że ${\textstyle \int _ {0}^{x}1\, dt=x.}$

W informatyce jest to znane jako suma przedrostkowa .

Właściwości serii

Szeregi są klasyfikowane nie tylko na podstawie tego, czy są zbieżne, czy rozbieżne, ale także według właściwości terminów a _n (zbieżność bezwzględna lub warunkowa); rodzaj zbieżności szeregu (punktowa, jednostajna); klasa terminu a _n (czy jest to liczba rzeczywista, postęp arytmetyczny, funkcja trygonometryczna); itp.

Warunki nieujemne

Gdy a _n jest nieujemną liczbą rzeczywistą dla każdego n , to ciąg S _N sum częściowych jest niemalejący. Wynika z tego, że szereg Σ an _n o wyrazach nieujemnych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg S _N sum cząstkowych jest ograniczony.

Na przykład seria

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {2}}}}$$

jest zbieżny, ponieważ nierówność

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n ^ {2}}} \ równoważnik {\ Frac {1} {n-1}} - {\ frac {1}{n}},\quad n\geq 2,}$$

a argument sumy teleskopowej implikuje, że sumy cząstkowe są ograniczone przez 2. Dokładna wartość oryginalnego szeregu to problem bazylejski .

Grupowanie

Kiedy grupujesz szeregi, zmiana kolejności w szeregu nie zachodzi, więc twierdzenie Riemanna o szeregach nie ma zastosowania. Nowy szereg będzie miał sumy cząstkowe jako podciąg szeregu pierwotnego, co oznacza, że ​​jeśli szereg pierwotny jest zbieżny, zbieżny jest również nowy szereg. Ale dla szeregów rozbieżnych to nieprawda, np. 1-1+1-1+... zgrupowane co dwa elementy utworzą szereg 0+0+0+..., który jest zbieżny. Z drugiej strony rozbieżność nowego szeregu oznacza, że ​​szereg oryginalny może być tylko rozbieżny, co czasami jest przydatne, jak w dowodzie Oresme .

Absolutna konwergencja

Główny artykuł: Absolutna konwergencja

Serie

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$$

jest zbieżny bezwzględnie , jeśli szereg wartości bezwzględnych

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lewo | a_ {n} \ prawo |}$$

zbiega się. To wystarczy, aby zagwarantować nie tylko zbieżność pierwotnego szeregu do granicy, ale także to, że każda zmiana jego kolejności zbiega się do tej samej granicy.

Zbieżność warunkowa

Główny artykuł: konwergencja warunkowa

O szeregu liczb rzeczywistych lub zespolonych mówi się, że jest warunkowo zbieżny (lub półzbieżny ), jeśli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny. Znanym przykładem jest seria naprzemienna

$${\ Displaystyle \ suma \ ograniczenia _ {n = 1} ^ {\ infty} {( -1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots ,}$$

$)$ równa , ale szereg utworzony przez przyjęcie wartości bezwzględnej każdego wyrazu jest harmonicznym . Twierdzenie Riemanna o szeregach mówi , że każdy szereg warunkowo zbieżny można uporządkować, aby utworzyć szereg rozbieżny, a ponadto, jeśli są rzeczywiste i $a_ {n} }$ dowolną liczbą rzeczywistą, to za $displaystyle$ można znaleźć takie uporządkowanie, aby uporządkowany szereg był zbieżny z sumą równą ${\ displaystyle S}$ .

Test Abela jest ważnym narzędziem do obsługi szeregów półzbieżnych. Jeżeli szereg ma postać

$${\ Displaystyle \ suma a_ {n} = \ suma \ lambda _ {n} b_ {n}}$$

gdzie sumy częściowe są ograniczone, ${\ Displaystyle B_ {n} = b_ {0} + \ cdots + b_ {n}}$ są ograniczone, ma ${\ Displaystyle \ lambda _ {n}}$ ograniczona zmienność i ${\ Displaystyle \ lim \ lambda _ {n} b_ {n}}$ istnieje:

$${\ Displaystyle \ sup _ {N} \ lewo | \ suma _ {n = 0} ^ {N} b_ {n} \ prawo | <\ infty, \ \ \ suma \ lewo |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}\right|<\infty \ {\text{i}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{zbiega się,}} }$$

$wtedy$ szereg . Dotyczy to punktowej zbieżności wielu szeregów trygonometrycznych, np

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ Frac {\ sin (nx)} {\ ln n}}}$$

z ${\ Displaystyle 0 <x <2 \ pi}$ . $_$ Abla _ _ (nazywane sumowaniem przez części ), które odnosi się do danej serii ${\ textstyle \ sum a_ {n}}$ do szeregu bezwzględnie zbieżnego

$${\ Displaystyle \ suma (\ lambda _ {n} - \ lambda _ {n + 1}) \, B_ {n}.}$$

Ocena błędów obcięcia

Ocena błędów obcięcia jest ważną procedurą w analizie numerycznej (zwłaszcza zweryfikowanych numerycznych i dowodach wspomaganych komputerowo ).

Serie naprzemienne

Gdy warunki testu szeregów naprzemiennych są spełnione przez ${\ textstyle S: = \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {m }u_{m}}$ , istnieje dokładna ocena błędu. Ustaw ${\ displaystyle s_ {n}}$ na sumę częściową ${\ textstyle s_ {n}: = \ suma _ {m = 0} ^ {n} (-1) ^ {m} u_ {m}}$ danego szeregu naprzemiennego ${\ Displaystyle S}$ . Wtedy zachodzi następna nierówność:

$${\ Displaystyle | Ss_ {n} | \ równoważnik u_ {n + 1}.}$$

szereg Taylora

Twierdzenie Taylora jest stwierdzeniem, które obejmuje ocenę składnika błędu, gdy szereg Taylora jest obcięty.

Szeregi hipergeometryczne

Korzystając ze stosunku , możemy uzyskać ocenę składnika błędu, gdy szereg hipergeometryczny jest obcięty.

Wykładnicza macierz

Dla macierzy wykładniczej :

$${\ Displaystyle \ exp (X): = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {k!}} X ^ {k}, \quad X\in \mathbb {C} ^{n\razy n},}$$

zachodzi następująca ocena błędu (metoda skalowania i kwadratury):

$${\ Displaystyle T_ {r, s} (X): = \ lewo [\ suma _ {j = 0} ^ {r} {\ Frac {1} {j!}} (X / s) ^ {j} \ prawo]^{s},\quad \|\exp(X)-T_{r,s}(X)\|\leq {\frac {\|X\|^{r+1}}{s^{ r}(r+1)!}}\exp(\|X\|).}$$

Testy konwergencji

Główny artykuł: Testy konwergencji

Istnieje wiele testów, które można wykorzystać do określenia, czy dany szereg jest zbieżny, czy rozbieżny.

• n-ty test wyrazu : Jeśli ${\textstyle \ lim _ {n\to \infty} a_ {n}\neq 0}$ , to szereg jest rozbieżny; jeśli ${\textstyle \lim _{n\to \infty}a_{n}=0}$ , to test jest niejednoznaczny.
• Test porównawczy 1 (patrz Test porównania bezpośredniego ${\ Displaystyle \ lewo \ vert a_ {n} \ prawo \ vert \ równoważnik C \ lewo \ vert b_ {n} \ prawo \ vert}$ : Jeśli jest $takim$ absolutnie zbieżnym , dla pewnej liczby ${\ displaystyle C}$ i wystarczająco dużej ${\ displaystyle n}$ , wtedy ${\textstyle \sum a_{n}}$ również jest całkowicie zbieżny. Jeżeli ${\textstyle \sum \left\vert b_{n}\right\vert }$ różni się i ${\ Displaystyle \ lewo \ vert a_ {n} \ prawo \ vert \ geq \ lewo \ vert b_ {n} \ prawo \ vert}$ dla wszystkich wystarczająco dużych ${\ displaystyle n}$ , a następnie ${\ textstyle \ suma jakiś}}$$.$ chociaż nadal może być zbieżny warunkowo, na przykład, jeśli znak alternatywny)
• Test porównawczy 2 (patrz Test porównania granic ${\ Displaystyle \ lewo \ vert {\ Frac {a_ {n + 1}}} {a_ {n}}} \ prawo \ vert \ równoważnik \ lewo \ vert {\ frac {b_ {n + 1}}} {b_ {n }}} \ right \ vert }$ : Jeśli $zbieżnym,$ takim że dla wystarczająco dużego ${\ displaystyle n}$ , a następnie ${\textstyle \sum a_{n}}$ również jest całkowicie zbieżny. Jeżeli ${\textstyle \sum \left|b_{n}\right|}$ różni się, a ${\ Displaystyle \ lewo \ vert {\ Frac {a_ {n + 1}}} {a_ {n}}} \ prawo \ vert \ geq \ lewo \ vert {\ frac {b_ {n + 1}}} {b_ {n }}} \ right \ vert }$ dla wszystkich wystarczająco dużych ${\ displaystyle n}$ , a następnie $\ textstyle \ suma a_ {n}}$ również nie jest zbieżny bezwzględnie (chociaż nadal może być zbieżny warunkowo, na przykład, jeśli znak $.$ )
• Test ilorazu $taka$${\ Displaystyle \ lewo \ vert {\ Frac {a_ {n + 1}}} {a_ {n}}} \ prawo \ vert <C} dla wszystkich wystarczająco dużych n {\ displaystyle n$ istnieje stała , } $a$ następnie ${ \textstyle \sum a_{n}}$ jest zbieżny bezwzględnie. Gdy stosunek jest mniejszy niż ${\ displaystyle 1}$ , ale nie mniej niż stała mniejsza niż $,$ jest możliwa, ale ten test jej nie ustala.
• Test pierwiastka $stała$ Jeśli istnieje taka ${\ Displaystyle \ lewo \ vert a_ {n} \ prawo \ vert ^ {\ Frac {1} {n}} \ równoważnik C} dla$ wszystkich wystarczająco dużych ${\ Displaystyle n}$ , wtedy ${ \textstyle \sum a_{n}}$ jest zbieżny bezwzględnie.
• Test całkowy $∞$${ \ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ jest malejącą funkcją monotoniczną $\ Displaystyle [1, \ infty)}$ w przedziale z dla wszystkich $displaystyle$ to $n}$ i tylko wtedy, gdy całka ${\ textstyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$ jest skończona.
• Test kondensacji Cauchy'ego : Jeśli $i$ nieujemny i nierosnący, to dwa serie ${\ textstyle \ suma a_ {n}$${\textstyle \sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$ i mają ten sam charakter: oba są zbieżne lub oba rozbieżne.
• ∑ ${\ textstyle \ suma (-1) ^ {n} a_ {n}}$ za za $\ Displaystyle a_ {n}> 0}$ ) nazywa się naprzemiennym . Taki szereg jest zbieżny, jeśli sekwencja jest jednostajnie malejąca i zbiega się do za $n {\ displaystyle a_$$}$ . Odwrotność jest generalnie nieprawdziwa.
• Dla niektórych określonych typów szeregów istnieją bardziej wyspecjalizowane testy zbieżności, na przykład dla szeregów Fouriera jest test Diniego .

Seria funkcji

Główny artykuł: serie funkcyjne

Szereg funkcji o wartościach rzeczywistych lub zespolonych

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x)}$$

zbiega się punktowo na zbiorze E , jeśli szereg jest zbieżny dla każdego x w E jako zwykły szereg liczb rzeczywistych lub zespolonych. Równoważnie sumy częściowe

$${\ Displaystyle s_ {N} (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {N} f_ {n} (x)}$$

zbiegają się do ƒ ( x ) jako N → ∞ dla każdego x ∈ mi .

Silniejszym pojęciem zbieżności szeregu funkcji jest zbieżność jednostajna . Szereg jest zbieżny jednostajnie, jeśli jest zbieżny punktowo do funkcji ƒ ( x ), a błąd przybliżenia granicy przez N -tą sumę częściową,

$${\ Displaystyle | s_ {N} (x) -f (x) |}$$

można uczynić minimalnym niezależnie od x , wybierając wystarczająco duże N .

Jednolita zbieżność jest pożądana dla szeregu, ponieważ wiele właściwości wyrazów szeregu jest wówczas zachowywanych przez granicę. Na przykład, jeśli szereg funkcji ciągłych zbiega się jednostajnie, to funkcja graniczna jest również ciągła. Podobnie, jeśli ƒ _n są całkowalne na zamkniętym i ograniczonym przedziale I i zbiegają się jednostajnie, to szereg jest również całkowalny na I i może być całkowany wyraz po wyrazie. Testy zbieżności jednostajnej obejmują test M Weierstrassa , test zbieżności jednostajnej Abela , Test Diniego i kryterium Cauchy'ego .

Można również zdefiniować bardziej wyrafinowane typy zbieżności szeregu funkcji. Na przykład w teorii miary szereg funkcji jest zbieżny prawie wszędzie , jeśli jest zbieżny punktowo, z wyjątkiem pewnego zestawu miary zero . Inne tryby zbieżności zależą od innej struktury przestrzeni metrycznej w przestrzeni rozważanych funkcji. Na przykład szereg funkcji zbiega się średnio na zbiorze E do podanej funkcji granicznej ƒ

$${\ Displaystyle \ int _ {E} \ lewo | s_ {N} (x) -f (x) \ prawo | ^ {2} \, dx \ do 0}$$

jako N → ∞.

Serie mocy

Główny artykuł: szeregi potęgowe

Szereg potęgowy to szereg postaci

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}.}$$

Szereg Taylora w punkcie c funkcji jest szeregiem potęgowym, który w wielu przypadkach zbiega się do funkcji w sąsiedztwie c . Na przykład seria

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {n}} {n!}}}$$

jest szeregiem Taylora $początku i zbiega się$ niego dla każdego x .

O ile nie jest zbieżny tylko w x = c , taki szereg zbiega się na pewnym otwartym dysku zbieżności, którego środek znajduje się w punkcie c na płaszczyźnie zespolonej, i może również zbiegać się w niektórych punktach granicy dysku. Promień tego krążka jest znany jako promień zbieżności i można go w zasadzie wyznaczyć z asymptotyki współczynników a _n . Zbieżność jest jednolita na domkniętych i ograniczonych (czyli zwartych ) podzbiory wnętrza dysku zbieżności: czyli jest jednostajnie zbieżny na zbiorach zwartych .

Historycznie rzecz biorąc, matematycy tacy jak Leonhard Euler swobodnie operowali szeregami nieskończonymi, nawet jeśli nie były one zbieżne. Gdy w XIX wieku rachunek różniczkowy opierał się na solidnych i poprawnych podstawach, zawsze wymagano rygorystycznych dowodów zbieżności szeregów.

Formalne szeregi potęgowe

Główny artykuł: Formalne szeregi potęgowe

Podczas gdy wiele zastosowań szeregów potęgowych odnosi się do ich sum, możliwe jest również traktowanie szeregów potęgowych jako sum formalnych , co oznacza, że ​​w rzeczywistości nie wykonuje się żadnych operacji dodawania, a symbol „+” jest abstrakcyjnym symbolem koniunkcji, który niekoniecznie jest interpretowany jako odpowiada dodaniu. W tym ustawieniu interesująca jest sama sekwencja współczynników, a nie zbieżność szeregu. Formalne szeregi potęgowe są używane w kombinatoryce do opisywania i badania sekwencji , które w inny sposób są trudne do obsłużenia, na przykład za pomocą metody generowania funkcji . Szereg Hilberta -Poincarégo to formalny szereg potęgowy używany do badania algebr stopniowanych .

Nawet jeśli granica szeregu potęgowego nie jest brana pod uwagę, jeśli wyrazy wspierają odpowiednią strukturę, to możliwe jest zdefiniowanie działań takich jak dodawanie , mnożenie , pochodna , funkcja pierwotna dla szeregu potęgowego „formalnie”, traktując symbol „+” tak, jakby odpowiadało dodawaniu. W najbardziej powszechnym ustawieniu wyrazy pochodzą z pierścienia przemiennego , więc formalny szereg potęg można dodawać wyraz po wyrazie i mnożyć za pomocą iloczynu Cauchy'ego . W tym przypadku algebrą formalnych szeregów potęgowych jest całkowita algebra monoidu liczb naturalnych nad leżącym u podstaw pierścieniem terminowym. Jeśli podstawowy pierścień terminów jest algebrą różniczkową , to algebra formalnych szeregów potęgowych jest również algebrą różniczkową, z różniczkowaniem wykonywanym wyraz po wyrazie.

Seria Laurenta

Główny artykuł: seria Laurenta

Szeregi Laurenta uogólniają szeregi potęgowe, dopuszczając wyrazy do szeregu z ujemnymi i dodatnimi wykładnikami. Szereg Laurenta jest zatem dowolnym szeregiem postaci

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}.}$$

Jeśli taki szereg jest zbieżny, to na ogół dzieje się tak w pierścieniu , a nie w dysku i prawdopodobnie w niektórych punktach granicznych. Szereg zbiega się równomiernie na zwartych podzbiorach wnętrza pierścienia zbieżności.

szereg Dirichleta

Główny artykuł: seria Dirichleta

Szereg Dirichleta jest jedną z form

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ ponad n ^ {s}}}$$

gdzie s jest liczbą zespoloną . _Na przykład, jeśli wszystkie n są równe 1, to szereg Dirichleta jest funkcją zeta Riemanna

$${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n ^ {s}}}.}$$

Podobnie jak funkcja zeta, szeregi Dirichleta ogólnie odgrywają ważną rolę w analitycznej teorii liczb . Ogólnie szereg Dirichleta jest zbieżny, jeśli część rzeczywista s jest większa niż liczba zwana odciętą zbieżności. W wielu przypadkach szereg Dirichleta można rozszerzyć do funkcji analitycznej poza dziedziną zbieżności przez analityczną kontynuację . Na przykład szereg Dirichleta dla funkcji zeta jest zbieżny bezwzględnie, gdy Re ( s ) > 1, ale funkcję zeta można rozszerzyć do funkcji holomorficznej zdefiniowanej na ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {1 \}}$ z prostym biegunem na 1.

Szereg ten można bezpośrednio uogólnić na ogólny szereg Dirichleta .

Szeregi trygonometryczne

Główny artykuł: serie trygonometryczne

Szereg funkcji, których wyrazy są funkcjami trygonometrycznymi, nazywamy szeregiem trygonometrycznym :

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} A_ {0} + \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo (A_ {n} \ cos nx + B_ {n} \ sin nx \ Prawidłowy).}$$

Najważniejszym przykładem szeregu trygonometrycznego jest szereg Fouriera funkcji.

Historia teorii nieskończonych szeregów

Rozwój nieskończonych szeregów

Grecki matematyk Archimedes dokonał pierwszego znanego sumowania szeregu nieskończonego metodą, która jest nadal stosowana w rachunku różniczkowym. Zastosował metodę wyczerpania do obliczenia pola pod łukiem paraboli z sumowaniem nieskończonej serii i podał niezwykle dokładne przybliżenie π .

Matematycy z Kerali w Indiach badali nieskończone szeregi około 1350 roku n.e.

W XVII wieku James Gregory pracował w nowym systemie dziesiętnym na nieskończonych szeregach i opublikował kilka serii Maclaurina . W 1715 roku Brook Taylor przedstawił ogólną metodę konstruowania szeregów Taylora dla wszystkich funkcji, dla których one istnieją . Leonhard Euler w XVIII wieku rozwinął teorię szeregów hipergeometrycznych i szeregów q .

Kryteria konwergencji

Uważa się, że badanie ważności nieskończonych szeregów rozpoczęło się od Gaussa w XIX wieku. Euler rozważał już szereg hipergeometryczny

$${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {\ alfa \ beta} 1\cdot \gamma}}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2 }+\cdots}$$

na temat którego Gauss opublikował pamiętnik w 1812 r. Ustanowił prostsze kryteria zbieżności oraz kwestie reszt i zakresu zbieżności.

Cauchy (1821) nalegał na ścisłe testy konwergencji; wykazał, że jeśli dwa szeregi są zbieżne, ich iloczyn niekoniecznie taki jest, i wraz z nim rozpoczyna się odkrywanie efektywnych kryteriów. Terminy zbieżność i rozbieżność zostały wprowadzone na długo wcześniej przez Grzegorza (1668). Leonhard Euler i Gauss podali różne kryteria, a Colin Maclaurin przewidział niektóre z odkryć Cauchy'ego. Cauchy rozwinął teorię szeregów potęgowych poprzez rozwinięcie funkcji zespolonej w takiej formie.

Abel (1826) w swoim pamiętniku o szeregu dwumianowym

$${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {m} {1!}} x + {\ Frac {m (m-1)} {2!}} x ^ {2} + \ cdots}$$

poprawił niektóre wnioski Cauchy'ego i podał całkowicie naukowe podsumowanie szeregu dla wartości zespolonych $displaystyle$ x $x}$ . Wskazywał na konieczność rozważania tematu ciągłości w kwestiach konwergencji.

Metody Cauchy'ego doprowadziły raczej do specjalnych niż ogólnych kryteriów i to samo można powiedzieć o Raabe (1832), który przeprowadził pierwsze szczegółowe badanie tego tematu, o De Morganie (od 1842), którego test logarytmiczny DuBois-Reymond (1873) i Pringsheim (1889) wykazał niepowodzenie w pewnym regionie; Bertranda (1842), Bonneta (1843), Malmstena ( 1846 , 1847, ten ostatni bez integracji); Stokes (1847), Paucker (1852), Czebyszew (1852) i Arndta (1853).

Kryteria ogólne zaczęły się od Kummera (1835) i były badane przez Eisensteina (1847), Weierstrassa w jego różnych wkładach w teorię funkcji, Diniego (1867), DuBois-Reymonda (1873) i wielu innych. Wspomnienia Pringsheima (1889) przedstawiają najbardziej kompletną ogólną teorię.

Jednolita zbieżność

Teorią zbieżności jednostajnej zajął się Cauchy (1821), na jego ograniczenia zwrócił uwagę Abel, ale pierwszymi, którzy z powodzeniem ją zaatakowali, byli Seidel i Stokes (1847–48). Cauchy ponownie podjął problem (1853), uznając krytykę Abla i dochodząc do tych samych wniosków, które już znalazł Stokes. Thomae użył tej doktryny (1866), ale uznanie znaczenia rozróżnienia między zbieżnością jednostajną i niejednostajną nastąpiło z dużym opóźnieniem, pomimo wymagań teorii funkcji.

Półkonwergencja

Mówimy, że szereg jest półzbieżny (lub warunkowo zbieżny), jeśli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie zbieżny .

Szeregi półzbieżne badał Poisson (1823), który podał również ogólną postać pozostałej części wzoru Maclaurina. Najważniejszym rozwiązaniem problemu jest jednak Jacobi (1834), który z innego punktu widzenia zaatakował kwestię reszty i doszedł do innej formuły. To wyrażenie zostało również opracowane i podane przez Malmstena (1847). Schlömilch ( Zeitschrift , tom I, s. 192, 1856) również poprawił resztę Jacobiego i pokazał związek między resztą a funkcją Bernoulliego

$${\ Displaystyle F (x) = 1 ^ {n} + 2 ^ {n} + \ cdots + (x-1) ^ {n}.}$$

Genocchi (1852) dodatkowo przyczynił się do rozwoju teorii.

Wśród wczesnych pisarzy był Wroński , którego „loi suprême” (1815) było prawie nierozpoznawalne, dopóki Cayley (1873) nie nadał mu rozgłosu.

szereg Fouriera

Szeregi Fouriera były badane w wyniku rozważań fizycznych w tym samym czasie, gdy Gauss, Abel i Cauchy pracowali nad teorią szeregów nieskończonych. Szereg rozwinięć sinusów i cosinusów, wielokrotnych łuków w potęgach sinusa i cosinusa łuku opracowali Jacob Bernoulli (1702) i jego brat Johann Bernoulli (1701), a jeszcze wcześniej Vieta . Euler i Lagrange uprościli temat, podobnie jak Poinsot , Schröter , Glaisher i Kummer .

Fourier (1807) postawił sobie inny problem, aby rozszerzyć daną funkcję x w terminach sinusów lub cosinusów wielokrotności x , problem, który zawarł w swojej Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler podał już wzory na wyznaczanie współczynników w szeregu; Fourier był pierwszym, który stwierdził i próbował udowodnić twierdzenie ogólne. Poisson (1820-23) również zaatakował ten problem z innego punktu widzenia. Fourier nie rozstrzygnął jednak kwestii zbieżności swojego szeregu, pozostawionej Cauchy'emu (1826) do próby i dla Dirichleta (1829) do obsługi w całkowicie naukowy sposób (patrz zbieżność szeregów Fouriera ). Traktowanie Dirichleta ( Crelle , 1829) szeregów trygonometrycznych było przedmiotem krytyki i ulepszeń Riemanna (1854), Heinego, Lipschitza , Schläfliego i du Bois-Reymonda . Wśród innych wybitnych współtwórców teorii szeregów trygonometrycznych i Fouriera byli Dini , Hermite , Halphen , Krause, Byerly i Appell .

Uogólnienia

Szeregi asymptotyczne

Szeregi asymptotyczne , inaczej rozwinięcia asymptotyczne , to szeregi nieskończone, których sumy częściowe stają się dobrymi przybliżeniami na granicy pewnego punktu dziedziny. Na ogół nie są one zbieżne, ale są przydatne jako ciągi przybliżeń, z których każdy zapewnia wartość zbliżoną do pożądanej odpowiedzi dla skończonej liczby wyrazów. Różnica polega na tym, że szereg asymptotyczny nie może dać odpowiedzi tak dokładnej, jak jest to pożądane, tak jak szereg zbieżny. W rzeczywistości po określonej liczbie wyrazów typowy szereg asymptotyczny osiąga najlepsze przybliżenie; jeśli uwzględni się więcej terminów, większość takich serii da gorsze odpowiedzi.

Rozbieżne serie

Główny artykuł: rozbieżne serie

W wielu okolicznościach pożądane jest wyznaczenie granicy szeregu, który nie jest zbieżny w zwykłym sensie. Metoda sumowalności to takie przypisanie granicy podzbiorowi zbioru szeregów rozbieżnych, które właściwie rozszerza klasyczne pojęcie zbieżności. Metody sumowania obejmują sumowanie Cesàro , sumowanie ( C , k ), sumowanie Abela i sumowanie Borela , w rosnącym porządku ogólności (a zatem ma zastosowanie do coraz bardziej rozbieżnych szeregów).

Znanych jest wiele ogólnych wyników dotyczących możliwych metod sumowania. Twierdzenie Silvermana – Toeplitza charakteryzuje metody sumowania macierzy , które są metodami sumowania szeregu rozbieżnego poprzez zastosowanie nieskończonej macierzy do wektora współczynników. Najbardziej ogólna metoda sumowania szeregu rozbieżnego jest niekonstruktywna i dotyczy granic Banacha .

Podsumowania po dowolnych zestawach indeksów

Można podać definicje sum w dowolnym zestawie indeksów ${\ displaystyle I.}$ Istnieją dwie główne różnice w stosunku do zwykłego pojęcia serii: po pierwsze, nie ma określonej kolejności podanej w zbiorze ja $\ displaystyle I}$ ; po drugie, ten zestaw $.$ być niepoliczalny Pojęcie zbieżności wymaga wzmocnienia, ponieważ pojęcie zbieżności warunkowej zależy od uporządkowania zbioru indeksów.

Jeśli ${\ displaystyle a: ja \ mapsto G}$ jest funkcją ze zbioru indeksów do zbioru ${$$\ displaystyle G},$ to „szereg” powiązany z $displaystyle a}$${\$ jest formalną sumą elementów za $\ Displaystyle a (x) \ in G}$ nad elementami indeksowymi ${\ displaystyle x \ in I}$ oznaczony przez

$${\ Displaystyle \ suma _ {x \ w ja} a (x).}$$

${\ Displaystyle a: \ mathbb {N} \ mapsto$ zestawem indeksów są liczby naturalne $sol$ sekwencją przez za G ${\ Displaystyle a (n) = a_ {n}.}$ Szereg indeksowany na liczbach naturalnych jest uporządkowaną sumą formalną, więc przepisujemy ${\ textstyle \ suma _ {n \ in \ mathbb {N}} }$ as ${\ textstyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty}}$ w celu podkreślenia porządku wywołanego przez liczby naturalne. Otrzymujemy w ten sposób wspólną notację dla szeregu indeksowanego liczbami naturalnymi

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots.}$$

Rodziny liczb nieujemnych

Podczas sumowania rodziny nieujemnych liczb rzeczywistych zdefiniuj $: i \ w I \ prawej \}}$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} a_ {i} = \ sup \ lewo \ {\ suma _ {i \ w A} a_ {i} \,: A \ subseteq I, A {\ tekst {skończony }}\prawo\}\w [0,+\infty].}$$

$Gdy$ supremum jest skończone $zbiór$ że . Rzeczywiście $_$ dla _ $n} \ prawo |}$ zbioru ZA ${\ Displaystyle A_ {n} = \ lewo \ {i \ w I: a_ {i}> 1/n \ prawo \}}$ jest skończone, ponieważ

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n}} \ \ lewo | A_ {n} \ prawo | = \ suma _ {i \ w A_ {n}} {\ Frac {1} {n}} \ równoważnik \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty .}$$

Jeśli ${\ displaystyle I}$ jest policzalnie nieskończony i wyliczony jako ${\ Displaystyle I = \ lewo \ {i_ {0}, i_ {1}, \ ldots \ prawo \}}$ wtedy powyżej zdefiniowana suma spełnia

$${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w ja} a_ {i} = \ suma _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {i_ {k}},}$$

$.$ że wartość jest dozwolona dla sumy szeregu

Dowolną sumę po nieujemnych liczbach rzeczywistych można rozumieć jako całkę nieujemnej funkcji w odniesieniu do miary zliczania , co odpowiada za wiele podobieństw między tymi dwiema konstrukcjami.

Abelowe grupy topologiczne

Niech ${\ Displaystyle a: I \ do X}$ będzie mapą, również oznaczoną przez ${\ Displaystyle \ lewo (a_ {i} \ prawo) _ {i \ w ja },}$ z jakiegoś niepustego $X$ do abelowej ${\ Displaystyle X.}$ topologicznej Hausdorffa Niech ${\ Displaystyle \ operatorname {skończony} (ja)}$ być zbiorem wszystkich skończonych podzbiorów z skończonym ${\ displaystyle \ operatorname {skończony} (ja)}$$)$ skierowany uporządkowany na podstawie inkluzji ⊆ $\ displaystyle \, \ subseteq \,}$ z unią jako join . Rodzina ${\ Displaystyle \ lewo (a_ {i} \ prawo) _ {i \ w I},}$ mówi się, że jest bezwarunkowo sumowalny , jeśli następująca granica , która jest oznaczona przez $\ Displaystyle \ suma _ { ja \ w I} a_ {i}}$ i nazywa się sumą $\ Displaystyle \ lewo (a_ {i} \ prawo) _ {i \ w I},}$ istnieje w ${\ Displaystyle X:}$

$$_ {i \ w ja }a_{i}:=\lim _{A\in \operatorname {skończony} (I)}\ \sum _{i\in A}a_{i}=\lim \left\{\sum _{i\ w A}a_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ skończony }}\right\}}$$

Mówiąc, że suma $jest$ granicą skończonych sum cząstkowych oznacza $V }$ pochodzenia w ${\ Displaystyle X,}$ istnieje skończony podzbiór $A_$${0}}$ \ Displaystyle

$${\ Displaystyle S - \ suma _ {i \ w A} a_ {i} \ w V \ qquad {\ tekst {dla każdego skończonego nadzbioru}} \; A \ supseteq A_ {0}.}$$

Ponieważ $.$ nie jest uporządkowany , nie jest to granica sekwencji , ale raczej

Dla każdego sąsiedztwa $pochodzenia$ w $\ displaystyle$$,}$${\ Displaystyle VV \ subseteq W.}$ istnieje mniejsze sąsiedztwo , że Wynika z tego, że skończone sumy cząstkowe bezwarunkowo sumowalnej rodziny ${\ Displaystyle \ lewo (a_ {i} \ prawej) _ {i \ in I}, }$ tworzą sieć Cauchy'ego , to znaczy dla każdego sąsiedztwa pochodzenia w $}$ skończony podzbiór $A_ {0}}$ , że $\$${\ displaystyle I$ ja

$${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w A_ {1}} a_ {i} - \ suma _{i\in A_{2}}a_{i}\in W\qquad {\text{dla wszystkich skończonych nadzbiorów }}\;A_{1},A_{2}\supseteq A_{0},}$$

$​​dla$ oznacza, że ${\ Displaystyle A_ {1}: = A_ {0} \ kubek \ {i \}}$ ja $\ Displaystyle i \ in I \ setminus A_ {0}}$ ZA i ${\ Displaystyle A_ {2}: = A_ {0}}$ ).

Kiedy jest $kompletna$ , rodzina $(a_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}} jest$ bezwarunkowo sumowalna w ${\ displaystyle X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy sumy skończone spełniają drugi warunek netto Cauchy'ego. ${\ Displaystyle X}$ jest kompletny i ${\ Displaystyle \ lewo (a_ {i} \ prawo) _ {i \ w I},}$$\right)_{j\in J},}$ bezwarunkowo sumowalny w wtedy dla każdego podzbioru odpowiedniej podrodziny $,$$a_$$Displaystyle \ lewo$ jest również bezwarunkowo sumowalny w ${\ Displaystyle X.}$

Gdy suma rodziny liczb nieujemnych, w zdefiniowanym wcześniej sensie rozszerzonym, jest skończona, to pokrywa się z sumą w grupie topologicznej ${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}.}$

Jeśli rodzina $ja}} w$$jest$ bezwarunkowo sumowalna, to dla każdego sąsiedztwa ${\ displaystyle W }$ początku w ${\ Displaystyle X,}$ istnieje skończony podzbiór ${\ Displaystyle A_ {0} \ subseteq I}$${\ Displaystyle a_ {i} \ in W}$ , że dla każdy indeks ${\ displaystyle i}$ nie w $A_ {0}.}$$Displaystyle$ Jeśli jest pierwszą przeliczalną przestrzenią , to wynika z tego, że zbiór ${\ displaystyle i \ in I}$ taki, że $i}\neq 0}$${\ displaystyle a_$ jest policzalne. Nie musi to być prawdą w ogólnej abelowej grupie topologicznej (patrz przykłady poniżej).

Szeregi zbieżne bezwarunkowo

Załóżmy, że ${\ Displaystyle I = \ mathbb {N}.}$ Jeśli rodzina jest bezwarunkowo sumowalna w abelowej grupie topologicznej Hausdorffa ${\ displaystyle X,}$$mathbb {N}}$ to szereg w zwykłym sensie jest zbieżny i ma tę samą sumę,

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ suma _ {n \ w \ mathbb {N}} a_ {n}.}$$

Z natury definicja bezwarunkowej sumowalności jest niewrażliwa na kolejność sumowania. Kiedy $sumowalny$ , to szereg pozostaje zbieżny po dowolnej permutacji ${N}}$ zbioru indeksów o tej samej sumie, ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {\ sigma (n)} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}$$

$zbieżna$ permutacja szeregu , to szereg jest bezwarunkowo zbieżny. Kiedy jest $kompletna,$ to bezwarunkowa zbieżność jest również równoważna z faktem, że wszystkie podszereg są zbieżne jeśli jest przestrzenią Banacha $,$ jest to równoważne z powiedzeniem, że dla każdej sekwencji znaków seria $\ Displaystyle \ varepsilon _ {n} = \ pm 1$ }

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varepsilon _ {n} a_ {n}}$$

zbiega się w ${\ Displaystyle X.}$

Szeregi w topologicznych przestrzeniach wektorowych

X { $jest$$X}$ jest przestrzenią wektorową i ) rodzina w ${\ Displaystyle X},$ to ta rodzina jest sumowalna , jeśli granica ${\ Displaystyle \ lim _ {A \ in \ operatorname {Skończony} (I)} x_ {A}}$ sieci ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {A} \ prawo) _ {A \ w \ operatorname {skończony} (I)}}$ istnieje w ${\ Displaystyle X ,}$ gdzie $jest$ skierowanym zbiorem wszystkich skończonych podzbiorów $\ Displaystyle$ przez włączenie $}$${\ textstyle x_ {A}: = \ suma _ {i \ w A} x_ {i}.}$ ZA

Nazywa się to absolutnie sumowalnym $( x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ jeśli dodatkowo dla każdej ciągłej półnormy ja ) $\$$displaystyle$ jest sumowalne. Jeśli przestrzenią normalną i $jeśli$${\ Displaystyle \ lewo (x_ {i} \ prawo) _ {i \ w I}}$ jest absolutnie sumowalną rodziną w ${\ Displaystyle X,}$ to koniecznie wszystko oprócz policzalnego zbioru ${\ displaystyle x_ { i}}$ są równe zeru. Dlatego w przestrzeniach znormalizowanych zwykle konieczne jest rozważenie szeregów z policzalnie wieloma wyrazami.

Rodziny sumowalne odgrywają ważną rolę w teorii przestrzeni jądrowych .

Szeregi w przestrzeniach Banacha i seminormowanych

Pojęcie serii można łatwo rozszerzyć na przypadek przestrzeni seminormowanej . x ${n}}$$i$ jest sekwencją elementów przestrzeni znormalizowanej jeśli i jeśli to szereg ${\ displaystyle \$$suma x n {\ displaystyle$ zbiega się do ${\ displaystyle x}$ w ${\ displaystyle X}$ , jeśli sekwencja sum częściowych szeregu ${\textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}x_{n}\right)_{N=1}^{\infty}} zbiega się$ do ${ \ displaystyle x}$ w ${\ displaystyle X}$ ; to znaczy,

$${\ Displaystyle \ lewo \| x - \ suma _ {n = 0} ^ {N} x_ {n} \ prawo \ | \ do 0 \ quad {\ tekst {jako}} N \ do \ infty.}$$

Mówiąc bardziej ogólnie, zbieżność szeregów można zdefiniować w dowolnej abelowej grupie topologicznej Hausdorffa . W szczególności w tym przypadku $,$ się do $zbieżna$ jeśli sekwencja sum cząstkowych ${\ displaystyle x.}$

Jeśli ${\ Displaystyle (X, | \ cdot |)}$ jest przestrzenią półnormowaną , to pojęcie zbieżności bezwzględnej przyjmuje postać: A szereg $} x_ {i}}$${\ textstyle \ suma _ {i \ w$$zbiega$ wektorów w się absolutnie, jeśli

$${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} \ lewo | x_ {i} \ prawo | <+ \ infty}$$

w takim przypadku wszystkie, ale co najwyżej przeliczalnie wiele wartości ${\ displaystyle \ lewo | x_ {i} \ prawo |}$ są koniecznie zerowe.

Jeśli policzalna seria wektorów w przestrzeni Banacha jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna bezwarunkowo, ale odwrotność zachodzi tylko w skończonych wymiarach przestrzeni Banacha (twierdzenie Dvoretzky'ego i Rogersa (1950) ).

Dobrze uporządkowane sumy

Szereg warunkowo zbieżny można rozważyć, jeśli $zbiorem$ dobrze uporządkowanym , na przykład liczbą porządkową ${\ displaystyle \ alpha _ {0}.}$ W tym przypadku zdefiniuj przez rekurencję pozaskończoną :

$${\ Displaystyle \ suma _ {\ beta <\ alfa + 1} a_ {\ beta} = a_ {\ alfa} + \ suma _ {\ beta <\alfa }a_{\beta }}$$

i dla granicy porządkowej ${\ displaystyle \ alpha,}$

$${\ Displaystyle \ suma _ {\ beta <\ alfa} a_ {\ beta} = \ lim _ {\ gamma \ do \ alfa} \ suma _ {\beta <\gamma}a_{\beta}}$$

jeśli ta granica istnieje. Jeśli wszystkie granice istnieją aż do $szereg$ jest zbieżny.

Przykłady

1. Biorąc pod uwagę funkcję $Displaystyle Y$ abelowej grupie topologicznej $}$ dla każdego $\ Displaystyle a \ in X,$
   $${\ Displaystyle f_ {a} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i x \ neq a, \\ f (a) i x = a ,\\\koniec {przypadków}}}$$

   funkcja, której wsparciem jest singleton ${\ displaystyle \ {a \}.}$ Następnie

   $${\ Displaystyle f = \ suma _ {a \ w X} f_ {a}}$$

   w $)$ zbieżności punktowej (to sumę przyjmuje się w nieskończonej grupie produktów .

2. W definicji podziałów jedności konstruuje się sumy funkcji na dowolnym zbiorze indeksów ${\ displaystyle I,}$
   $${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} \ varphi _ {i} (x) = 1.}$$

   Chociaż formalnie wymaga to pojęcia sum niepoliczalnych szeregów, z konstrukcji dla każdej danej sumy istnieje $, więc problemy$ zbieżności takich sum nie pojawiają się. W rzeczywistości zwykle zakłada $się$ więcej: rodzina funkcji jest lokalnie skończona , to znaczy dla każdego $istnieje$ sąsiedztwo , w którym oprócz skończonej liczby funkcji. Dowolna właściwość regularności ${\ displaystyle \ varphi _ {i}},$ takie jak ciągłość, różniczkowalność, która jest zachowana pod sumami skończonymi, zostanie zachowana dla sumy dowolnego podzbioru tej rodziny funkcji.

3. Na pierwszej niepoliczalnej liczbie porządkowej $postrzeganej$ jako przestrzeń topologiczna w porządku stała funkcja $[0, \ omega _ {1} \ prawo) \ do \ lewo [0, \ omega _ {1} \ prawo]}$${\ Displaystyle f: \$ podane przez ${\ Displaystyle f (\ alfa) = 1}$ spełnia
   $${\ Displaystyle \ suma _ {\ alfa \ w [0, \ omega _ {1}}} f (\ alfa) = \ omega _ {1}}$$

   (innymi słowy, $,$ to $)$ gdy przyjmuje się granicę wszystkich sum częściowych, a nie skończonych częściowych sumy. Ta przestrzeń jest nierozdzielna.

Zobacz też

• Ciąg dalszy ułamka
• Testy konwergencji
• Szeregi zbieżne
• Rozbieżne serie
• Nieskończone złożenie funkcji analitycznych
• Nieskończona ekspresja
• Nieskończony produkt
• Iterowana operacja binarna
• Lista szeregów matematycznych
• Suma prefiksu
• Transformacja sekwencji
• Rozszerzenie serii

Bibliografia

• Bromwich, TJ Wprowadzenie do teorii nieskończonych serii MacMillan & Co. 1908, poprawione 1926, przedruk 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
•    Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambroży (1950). „Bezwzględna i bezwarunkowa zbieżność w znormalizowanych przestrzeniach liniowych” . proc. Natl. Acad. nauka USA . 36 (3): 192–197. Bibcode : 1950PNAS...36..192D . doi : 10.1073/pnas.36.3.192 . PMC 1063182 . PMID 16588972 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•   Swokowski, Earl W. (1983), Rachunek różniczkowy z geometrią analityczną (wyd. Alternatywne), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
• Walter Rudin, Zasady analizy matematycznej (McGraw-Hill: Nowy Jork, 1964).
•    Pietsch, Albrecht (1972). Jądrowe przestrzenie lokalnie wypukłe . Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541 .
•    Robertson, AP (1973). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Cambridge Anglia: University Press. ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250 .
•    Ryan, Raymond (2002). Wprowadzenie do iloczynów tensorowych przestrzeni Banacha . Londyn Nowy Jork: Springer. ISBN 1-85233-437-1 . OCLC 48092184 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Treves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wonga (1979). Przestrzenie Schwartza, przestrzenie jądrowe i produkty tensorowe . Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .

MR 0033975

Linki zewnętrzne

• „Seria” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Samouczek dotyczący serii nieskończonych
• „Seria-Podstawy” . Notatki matematyczne Paula online.
• „Pokaż mi kolekcję serii” (PDF) . Leslie Greena.