Serie naprzemienne

W matematyce szereg naprzemienny jest nieskończonym szeregiem postaci

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} a_ {n}}$$

Lub

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n + 1} a_ {n}}$$

z n _> > 0 for all n. The signs of the general terms alternate between positive and negative. Like any series, an alternating series converges if and only if the associated sequence of partial sums converges.

Przykłady

Szereg geometryczny 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ sumuje się do 1/3.

Naprzemienny szereg harmoniczny ma skończoną sumę, ale szereg harmoniczny nie.

Seria Mercatora zapewnia analityczne wyrażenie logarytmu naturalnego :

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} \; = \; \ ln (1+ X).}$$

Funkcje sinus i cosinus używane w trygonometrii można zdefiniować jako szeregi naprzemienne w rachunku różniczkowym , mimo że w algebrze elementarnej zostały wprowadzone jako stosunek boków trójkąta prostokątnego. W rzeczywistości,

$$\ Displaystyle \ sin x = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ Frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} ,}$$

I

$${\ Displaystyle \ cos x = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ Frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}$$

usunięciu czynnika przemiennego (–1) ^{n z tych szeregów otrzymuje się} funkcje hiperboliczne sinh i cosh używane w rachunku różniczkowym.

Dla liczby całkowitej lub dodatniego indeksu α funkcję Bessela pierwszego rodzaju można zdefiniować szeregiem przemiennym

$${\ Displaystyle J _ {\ alfa} (x) = \ suma _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

gdzie Γ( z ) jest funkcją gamma .

Jeśli s jest liczbą zespoloną , funkcja eta Dirichleta jest tworzona jako szereg przemienny

$${\ Displaystyle \ eta (s) = \ suma _ { n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \ponad n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1} {2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots}$$

który jest używany w analitycznej teorii liczb .

Test serii naprzemiennych

Główny artykuł: Test naprzemiennych serii

Twierdzenie znane jako „test Leibniza” lub test szeregów naprzemiennych mówi nam, że szereg naprzemienny będzie zbieżny, jeśli wyrazy a _{n zbiegają się} monotonicznie do 0 .

$zera$ sekwencja zbiega się do i jest jednostajnie malejąca. Jeśli jest nieparzysta i $,$${\ Displaystyle m <n}$ otrzymujemy oszacowanie $\ Displaystyle S_ {n} -S_ {m} \ równoważnik a_ {m }}$ za pomocą następującego obliczenia:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S_ {n} -S_ {m} & = \ suma _ {k = 0} ^ {n} (-1) ^ {k} \, a_ {k} \, - \ ,\suma _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\suma _{k=m+1}^{n}\,(-1 )^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n} \\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n} \leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{wyrównane}}}$$

Ponieważ $}$ wyrażenia za $n$ Zatem mamy ostateczną nierówność: ${\ Displaystyle S_ {n} -S_ {m} \ równoważnik a_ {m}}$ . Podobnie można wykazać, że ${\ Displaystyle -a_ {m} \ równoważnik S_ {n} -S_ {m}}$ . Ponieważ $,$ się do ${\ displaystyle 0}$ nasze sumy cząstkowe $.$ Cauchy'ego ( tj. szereg spełnia Cauchy'ego ), a zatem są zbieżne Argument za $podobny$ .

Sumy przybliżone

Powyższe oszacowanie nie zależy od ${\ displaystyle n}$ . Tak więc, jeśli monotonicznie zbliża się do 0, oszacowanie zapewnia błąd związany z aproksymacją sum nieskończonych sumami częściowymi: za ${\ displaystyle a_ {n}$

$${\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ {k} \, a_ {k} \, - \, \ suma _ {k = 0} ^ {m} \,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\równoważnik |a_{m+1}|.}$$

Nie oznacza to, że to oszacowanie zawsze znajduje pierwszy element, po którym błąd jest mniejszy niż moduł następnego wyrazu w szeregu. Rzeczywiście, jeśli weźmiesz ${\ Displaystyle 1-1/2 + 1/3-1/4 +... = \ ln 2}$ i spróbuj znaleźć termin, po którym błąd wynosi co najwyżej 0,00005, powyższa nierówność pokazuje, że częściowa wystarczy podsumować , ale w $rzeczywistości jest to dwa$ wystarczające jest częściowe zsumowanie przez ${\ displaystyle a_ {10000}}$$, że ​​ten szereg$ że konstruowanie nowego szeregu za pomocą naprzemienny, w którym stosuje się test Leibniza, a tym samym czyni to prostym granica błędu nie jest optymalna. Poprawiło to odkryte w 1962 r. wiązanie Calabrese, które mówi, że ta właściwość pozwala uzyskać wynik 2 razy mniejszy niż z wiązaniem błędu Leibniza. W rzeczywistości nie jest to również optymalne dla serii, w których ta właściwość ma zastosowanie 2 lub więcej razy, co jest opisane przez błąd Johnsonbaugha . Jeśli można zastosować tę właściwość nieskończoną liczbę razy, stosuje się transformatę Eulera .

Absolutna konwergencja

Szereg $∑$ absolutnie ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ szereg jest zbieżny.

Twierdzenie: Szeregi bezwzględnie zbieżne są zbieżne.

Dowód: Załóżmy $zbieżny$ . Następnie ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ jest zbieżny i wynika z tego, że ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ również jest zbieżny. Ponieważ ${\ textstyle 0 \ równoważnik a_ {n} + | a_ {n} | \ równoważnik 2 | a_ {n} |} ,$ seria ${\ textstyle \ suma (a_ {n} +|a_{n}|)}$ jest zbieżny w teście porównawczym . Dlatego szereg $zbieżny$ jako różnica dwóch ${\textstyle \ suma a_ {n} = \ suma (a_ {n} + | a_ {n} |) - \ suma | a_ {n} |}$ .

Zbieżność warunkowa

Szereg jest warunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie.

Na przykład szereg harmoniczny

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {n}}}$$

rozbieżne, natomiast wersja przemienna

$${\ Displaystyle \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}, }$$

zbieżny w teście szeregów przemiennych .

Przegrupowania

Dla dowolnego szeregu możemy utworzyć nowy szereg, zmieniając kolejność sumowania. Szereg jest bezwarunkowo zbieżny , jeśli jakiekolwiek przegrupowanie tworzy szereg o takiej samej zbieżności jak szereg pierwotny. Szeregi bezwzględnie zbieżne są zbieżne bezwarunkowo . Ale twierdzenie Riemanna o szeregach stwierdza, że ​​szeregi warunkowo zbieżne można przeorganizować w celu uzyskania dowolnej zbieżności. Ogólna zasada jest taka, że ​​dodawanie sum nieskończonych jest przemienne tylko dla szeregów bezwzględnie zbieżnych.

Na przykład jeden fałszywy dowód, że 1=0 wykorzystuje błąd asocjatywności dla nieskończonych sum.

Jako inny przykład, według serii Mercator

$${\ Displaystyle \ ln (2) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1- {\ Frac {1} {2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

Ale ponieważ szereg nie jest zbieżny bezwzględnie, możemy zmienić warunki, aby otrzymać szereg dla ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {} \ quad \ lewo (1- {\ Frac {1} {2}} \ prawej) - {\ Frac {1} {4}} + \ lewo ({\ frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4 }}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \ \[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{ 4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end {wyrównany}}}$$

Przyspieszenie serii

W praktyce sumowanie liczbowe szeregów naprzemiennych można przyspieszyć za pomocą dowolnej z różnych technik przyspieszania szeregów . Jedną z najstarszych technik jest sumowanie Eulera , a istnieje wiele nowoczesnych technik, które mogą zapewnić jeszcze szybszą zbieżność.

Zobacz też

• Seria Grandiego
• Całka Nörlunda-Rice'a

Notatki

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series , s. 73–6, Macmillan Publishers .
• Weisstein, Eric W. „Serie naprzemienne” . MathWorld .