Rachunek ułamkowy

Rachunek ułamkowy to gałąź analizy matematycznej , która bada kilka różnych możliwości definiowania potęg liczb rzeczywistych lub potęg liczb zespolonych operatora różniczkowania . ${\ displaystyle D}$

$\ Displaystyle Df (x) = {\ Frac {d} {dx}} f (x) \,,}$

i operatora integracji ${\ displaystyle J}$

${\ Displaystyle Jf (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (s) \, ds \,,}$

oraz opracowanie rachunku różniczkowego dla takich operatorów uogólniając klasyczny.

$($ termin potęgi odnosi się do iteracyjnego zastosowania $jak$ liniowego do funkcji , to znaczy do wielokrotnego $komponowania$${\ Displaystyle D ^ {n} (f) = ( \underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ) ))}$ siebie w .

Na przykład, można poprosić o sensowną interpretację

${\ Displaystyle {\ sqrt {D}} = D ^ {\ Frac {1} {2}}}$

jako analog funkcyjnego pierwiastka kwadratowego dla operatora różniczkowania, to znaczy wyrażenie dla pewnego operatora liniowego, które zastosowane dwukrotnie do dowolnej funkcji będzie miało taki sam efekt jak różniczkowanie . Mówiąc bardziej ogólnie, można spojrzeć na kwestię zdefiniowania operatora liniowego

${\ Displaystyle D ^ {a}}$

dla każdej liczby rzeczywistej $przyjmuje$ taki sposób, że gdy wartość całkowitą n $Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}}$$\$ , pokrywa się to ze zwykłym $n}$$} \$${\ displaystyle n},$$-krotne$ zróżnicowanie jeśli ${\ displaystyle n> 0}$ iz -tą potęgą $gdy$ n $displaystyle n } <0}$ .

Jedną z motywacji stojących za wprowadzeniem i badaniem tego rodzaju rozszerzeń operatora różniczkowania $jest$ to, że zbiory mocy operatorów $\ mid a \ in \ mathbb {R} \}}$ zdefiniowane w ten sposób to ciągłe półgrupy z parametrem $^$ z których oryginalna dyskretna półgrupa ${n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$${\ Displaystyle \ {D$ dla liczby całkowitej $przeliczalną$ podgrupą : ponieważ ciągłe półgrupy mają dobrze rozwiniętą teorię matematyczną, można je zastosować do innych gałęzi matematyki.

równania różniczkowe , znane również jako nadzwyczajne równania różniczkowe, są uogólnieniem równań różniczkowych poprzez zastosowanie rachunku ułamkowego.

Notatki historyczne

W matematyce stosowanej i analizie matematycznej pochodna ułamkowa jest pochodną dowolnego dowolnego rzędu, rzeczywistego lub zespolonego. Jego pierwsze pojawienie się pojawia się w liście napisanym do Guillaume de l'Hôpital przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza w 1695 r. Mniej więcej w tym samym czasie Leibniz napisał do jednego z braci Bernoullich, opisując podobieństwo między twierdzeniem dwumianowym a regułą Leibniza dla pochodna ułamkowa produkt dwóch funkcji. Rachunek ułamkowy został wprowadzony w jednej z wczesnych prac Nielsa Henrika Abla , w której można znaleźć wszystkie elementy: ideę całkowania i różniczkowania ułamkowego rzędu, wzajemnie odwrotną zależność między nimi, zrozumienie, że różniczkowanie ułamkowego rzędu a całkowanie można uznać za tę samą uogólnioną operację, a nawet ujednoliconą notację różniczkowania i całkowania dowolnego rzeczywistego porządku. Niezależnie, podstawy przedmiotu położył Liouville w artykule z 1832 r. Samouk Oliver Heaviside przedstawił praktyczne zastosowanie operatorów różniczkowych ułamkowych w analizie elektrycznych linii przesyłowych około 1890 r. Teoria i zastosowania rachunku ułamkowego znacznie się rozwinęły w XIX i XX wieku. XX wieku, a wielu autorów podało różne definicje pochodnych i całek ułamkowych.

Natura pochodnej ułamkowej

Za $displaystyle a}$$\$ -ta pochodna funkcji w punkcie jest lokalną właściwością tylko wtedy, gdy $displaystyle$ liczbą całkowitą; za $a}$ tak nie jest w przypadku niecałkowitych pochodnych mocy. Innymi $tych$ niecałkowita pochodna ułamkowa o zależy od wszystkich wartości , nawet dalekich od ${$$}$$displaystyle$ . Dlatego oczekuje się, że operacja pochodnej ułamkowej obejmuje jakieś warunki brzegowe , obejmujące informacje o funkcji dalej.

Ułamkowa pochodna funkcji rzędu $definiowana$ za pomocą przekształceń całkowych Fouriera lub Mellina .

Heurystyka

Dość naturalnym pytaniem, które należy zadać, jest to, czy istnieje operator liniowy H lub półpochodna, taka że

${\ Displaystyle H ^ {2} f (x) = Df (x) = {\ dfrac {d} {dx}} f (x) = f '(x) \,.}$

Okazuje się, że istnieje taki operator i rzeczywiście dla dowolnego a > 0 istnieje operator P taki, że

${\ Displaystyle \ lewo (P ^ {a} f \ prawo) (x) = f '(x),}$

lub ujmując to w inny sposób, definicję d ⁿ y / dx ⁿ można rozszerzyć na wszystkie rzeczywiste wartości n .

Niech f ( x ) będzie funkcją zdefiniowaną dla x > 0 . Utwórz całkę oznaczoną od 0 do x . Zadzwoń do tego

${\ Displaystyle (Jf) (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt \,.}$

Powtarzanie tego procesu daje

${\ Displaystyle \ lewo (J ^ {2} f \ prawo )(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f( s)\,ds\right)dt\,,}$

i można to dowolnie rozszerzyć.

Cauchy'ego na wielokrotne całkowanie , a mianowicie

${\ Displaystyle \ lewo (J ^ {n} f \ prawej) (x) = {\ Frac {1} {(n-1)!} }\int _{0}^{x}\left(xt\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$

prowadzi w prosty sposób do uogólnienia dla rzeczywistego n .

Użycie funkcji gamma do usunięcia dyskretnego charakteru funkcji silni daje nam naturalnego kandydata do ułamkowych zastosowań operatora całkowego.

${\ Displaystyle \ lewo (J ^ {\ alfa} f \ prawo) (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ alfa)}} \ int _ {0} ^ {x} \ lewo (xt \ dobrze)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$

W rzeczywistości jest to dobrze zdefiniowany operator.

Łatwo jest pokazać, że operator J spełnia

${\ Displaystyle \ lewo (J ^ {\ alfa} \ prawo) \ lewo (J ^ {\ beta} f \ prawo) (x) = \ lewo (J ^ {\ beta} \ prawo) \ lewo (J ^ { \alpha }f\right)(x)=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\ int _{0}^{x}\left(xt\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.}$

Dowód

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo (J ^ {\ alfa} \ prawo) \ lewo (J ^ {\ beta} f \ prawo)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha)}}\int _{0}^{x}(xt)^{\alpha -1}\left(J^{\beta }f\right)(t)\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha)\Gamma (\beta)}}\int _{0}^{x}\int _{ 0}^{t}\left(xt\right)^{\alpha -1}\left(ts\right)^{\beta -1}f(s)\,ds\,dt\\&={\ frac {1}{\Gamma (\alpha)\Gamma (\beta)}}\int _{0}^{x}f(s)\left(\int _{s}^{x}\left(xt \right)^{\alpha -1}\left(ts\right)^{\beta -1}\,dt\right)\,ds\end{wyrównane}}}$

gdzie w ostatnim kroku zamieniliśmy kolejność całkowania i wyciągnęliśmy czynnik f ( s ) z całki t .

Zamiana zmiennych na r zdefiniowane przez t = s + ( x − s ) r ,

${\ Displaystyle \ lewo (J ^ {\ alfa} \ prawo) \ lewo (J ^ {\ beta} f \ prawo) (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma ( \alpha )\Gamma (\beta)}}\int _{0}^{x}\left(xs\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\left(\int _{0 }^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr\right)\,ds}$

Całka wewnętrzna to funkcja beta , która spełnia następującą właściwość:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1 }\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr=B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha)\, \Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta)}}}$

Podstawiając z powrotem do równania:

${ \ Displaystyle \ lewo (J ^ {\ alfa} \ prawo) \ lewo (J ^ {\ beta} f \ prawo) (x) = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ alfa + \ beta)}} \ int _{0}^{x}\left(xs\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\,ds=\left(J^{\alpha +\beta }f\right) (X)}$

Zamiana α i β pokazuje, że kolejność stosowania operatora J jest nieistotna i kończy dowód.

Ta zależność jest nazywana właściwością półgrupy ułamkowych operatorów różnicowo-całkowych . Niestety porównywalny proces dla operatora pochodnego D jest znacznie bardziej złożony, ale można wykazać, że D nie jest ogólnie ani przemienny , ani addytywny .

Całki ułamkowe

Całka ułamkowa Riemanna-Liouville'a

Klasyczną postać rachunku ułamkowego podaje całka Riemanna-Liouville'a , która zasadniczo została opisana powyżej. Teoria całkowania ułamkowego dla funkcji okresowych (a więc obejmująca „warunek brzegowy” powtarzania się po okresie) jest dana przez całkę Weyla . Jest zdefiniowany na szeregu Fouriera i wymaga zniknięcia stałego współczynnika Fouriera (a więc dotyczy funkcji na okręgu jednostkowym , których całki są równe zeru). Całka Riemanna-Liouville'a istnieje w dwóch postaciach, górnej i dolnej. Biorąc pod uwagę przedział [ a , b ] , całki są zdefiniowane jako

$\ Displaystyle _ {a} D_ { t}^{-\alpha}f(t)={}_{a}I_{t}^{\alpha}f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha)}}\int _ {a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$

${\ Displaystyle _ {t} D_ {b} ^ {- \ alfa} f (t) = { }_{t}I_{b}^{\alpha}f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha)}}\int _{t}^{b}\left(\tau - t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$

Gdzie pierwszy jest ważny dla t > a , a drugi dla t < b .

Z kolei pochodna Grünwalda-Letnikowa zaczyna się od pochodnej zamiast całki.

Całka ułamkowa Hadamarda

Całka ułamkowa Hadamarda została wprowadzona przez Jacquesa Hadamarda i jest wyrażona następującym wzorem:

${\ Displaystyle _ {a} \ mathbf {D} _ {t} ^ {- \ alfa} f (t) = {\ Frac {1} {\ Gamma (\ alfa)}} \ int _ {a} ^ { t}\left(\log {\frac {t}{\tau}}\right)^{\alpha -1}f(\tau){\frac {d\tau}}{\tau}},\qquad t >a\,.}$

Całka ułamkowa Atangany-Baleanu

Całka ułamkowa Atangany – Baleanu funkcji ciągłej jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle ^ {AB} {} _ {a} ja_ {t} ^ {\ alfa} f (t) = {\ Frac {1- \ alfa} {AB (\ alfa)}} f (t) + {\frac {\alpha}}AB(\alpha)\Gamma (\alpha)}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f( \tau )\,d\tau }$

Pochodne ułamkowe

Nie mylić z pochodną fraktala .

W przeciwieństwie do klasycznych pochodnych Newtona, pochodne ułamkowe można definiować na wiele różnych sposobów, z których często nie wszystkie prowadzą do tego samego wyniku, nawet w przypadku gładkich funkcji. Niektóre z nich są zdefiniowane za pomocą całki ułamkowej. Ze względu na niezgodność definicji często konieczne jest wyraźne określenie, która definicja jest używana.

Ułamkowe pochodne Gaussa, interpolacja w sposób ciągły między funkcją a jej pierwszą pochodną.

Pochodna ułamkowa Riemanna – Liouville'a

Odpowiednia pochodna jest obliczana przy użyciu reguły Lagrange'a dla operatorów różniczkowych. Obliczając n- tego rzędu po całce rzędu ( n − α ) , otrzymujemy pochodną rzędu α . Należy zauważyć, że n jest najmniejszą liczbą całkowitą większą od α (to znaczy n = ⌈ α ⌉ ). Podobnie jak definicje całki Riemanna – Liouville'a, pochodna ma warianty górne i dolne.

$Displaystyle _ {a} D_{t}^{\alfa}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}D_{t}^{-(n-\alfa )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}I_{t}^{n-\alpha }f(t)}$

$\ Displaystyle _ {t} D_ {b }^{\alfa }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}D_{b}^{-(n-\alfa)}f (t) = {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}I_{b}^{n-\alpha}f(t)}$

Pochodna ułamkowa Caputo

Inną opcją obliczania pochodnych ułamkowych jest pochodna ułamkowa Caputo. Został wprowadzony przez Michele Caputo w jego artykule z 1967 roku. W przeciwieństwie do pochodnej ułamkowej Riemanna – Liouville'a, przy rozwiązywaniu równań różniczkowych z wykorzystaniem definicji Caputo nie jest konieczne definiowanie warunków początkowych rzędu ułamkowego. Definicja Caputo jest zilustrowana w następujący sposób, gdzie ponownie n = ⌈ α ⌉ :

${\ Displaystyle {} ^ {C} D_ {t} ^ {\ alfa} f (t) = {\ Frac {1} {\ Gamma (n- \ alfa)}} \ int _ {0} ^ {t} {\frac {f^{(n)}(\tau)}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau.}$

Istnieje pochodna ułamkowa Caputo zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle { }D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(tu)^{(n-\nu - 1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$

która ma tę zaletę, że wynosi zero, gdy f ( t ) jest stała, a jej transformata Laplace'a jest wyrażona za pomocą wartości początkowych funkcji i jej pochodnej. Ponadto istnieje ułamkowa pochodna Caputo rzędu rozproszonego zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {} _ {a} ^ {b} D ^ {\ nu} f (t) = \ int _ {a} ^ {b} \ phi (\ nu )\left[D^{(\nu)}f(t)\right]\,d\nu =\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu)} {\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(tu\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu }$

gdzie φ ( ν ) jest funkcją wagi i jest używana do matematycznego przedstawienia obecności wielu formalizmów pamięci.

Pochodna ułamkowa Caputo – Fabrizio

W artykule z 2015 roku M. Caputo i M. Fabrizio przedstawili definicję pochodnej ułamkowej z jądrem innym niż pojedynczy dla funkcji funkcji ${\ Displaystyle f (t)}$ do $displaystyle C ^ {1 }}$ podane przez:

${a} ^ {CF} D_ { t}^{\alpha}f(t)={\frac {1}{1-\alpha}}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\ alpha {\frac {t-\tau}}{1-\alpha}}\right)}\ d\tau,}$

gdzie za $\ Displaystyle a <0, \ alfa \ w (0,1]}$

Pochodna ułamkowa Atangany – Baleanu

W 2016 roku Atangana i Baleanu zaproponowali operatory różniczkowe oparte na uogólnionej funkcji Mittaga-Lefflera . Celem było wprowadzenie ułamkowych operatorów różniczkowych z nieosobliwym nielokalnym jądrem. Ich ułamkowe operatory różniczkowe podano poniżej odpowiednio w sensie Riemanna – Liouville'a i Caputo . $}$ funkcji podanej przez fa $t)$

$Displaystyle _ {a}^{ABC}D_{t}^{\alpha}f(t)={\frac {AB(\alpha)}{1-\alpha}}\int _{a}^{t}f' (\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha {\frac {(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}}\right)d\tau,}$

Jeśli funkcja jest ciągła, pochodna Atangany – Baleanu w sensie Riemanna – Liouville'a jest dana wzorem:

$\ styl wyświetlania _ {a}^{ABC}D_{t}^{\alfa}f(t)={\frac {AB(\alfa)}{1-\alfa}}{\frac {d}{dt}} \int _{a}^{t}f(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha {\frac {(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}}\ dobrze)d\tau ,}$

Jądro użyte w pochodnej ułamkowej Atangany – Baleanu ma pewne właściwości skumulowanej funkcji dystrybucji. $displaystyle$ dla wszystkich $na$ rośnie $linii$ rzeczywistej, zbiega $0}$ w ${\ Displaystyle - \ infty}$ i mi $Displaystyle E _ {\ alfa} (0) = 1.$ Dlatego mamy to, że funkcja ${\ Displaystyle x \ mapsto 1-E _ {\ alfa} (-x ^ {\ alfa})}$ jest skumulowaną funkcją dystrybucji miary prawdopodobieństwa dodatnich liczb rzeczywistych. Rozkład jest zatem zdefiniowany i każdy jego wielokrotności nazywa się rozkładem Mittaga-Lefflera rzędu . Jest również bardzo dobrze wiadomo, że wszystkie te rozkłady prawdopodobieństwa są absolutnie ciągłe . W szczególności funkcja Mittaga-Lefflera ma szczególny $.$${\ Displaystyle E_ {1}} , który jest funkcją wykładniczą,$$)$${\ Displaystyle \ alpha \in (0,1)}$ -Lefflera rzędu jest zatem rozkładem wykładniczym . Jednak dla , rozkłady Mittaga-Lefflera są mocno ogoniaste . Ich transformata Laplace'a jest dana przez:

${\ Displaystyle \ mathbb {E} (e ^ {- \ lambda X _ {\ alfa}}) = {\ Frac {1} {1 + \ lambda ^ {\alfa}}},}$

$bezpośrednio$ że dla nieskończone Ponadto rozkłady te są rozkładami stabilnymi geometrycznie .

Pochodna Riesza

Pochodna Riesza jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ lewo \ {{\ Frac {\ częściowe ^ {\ alfa} u} {\ częściowe \ lewo | x \ prawo | ^ {\ alfa }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$

gdzie oznacza transformatę $_$ .

Inne rodzaje

Klasyczne pochodne ułamkowe obejmują:

• Pochodna Grunwalda-Letnikowa
• Pochodna Sonina-Letnikowa
• Pochodna Liouville'a
• Pochodna Caputo
• Pochodna Hadamarda
• Pochodna Marchauda
• Pochodna Riesza
• Pochodna Millera-Rossa
• Pochodna Weyla
• Pochodna Erdélyi-Kobera
• fa α {\ Displaystyle F ^ {\ alfa}} -pochodna

Nowe pochodne ułamkowe obejmują:

• Pochodna Coimbry
• Pochodna Katugampoli
• Pochodna Hilfera
• Pochodna Davidsona
• Pochodna Chen
• Pochodna Caputo Fabrizio
• Pochodna Atangany-Baleanu

Uogólnienia

Operator Erdélyi-Kobera

Operator Erdélyi-Kobera jest operatorem całkowym wprowadzonym przez Arthura Erdélyi (1940). i Hermann Kober (1940) i podaje

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {- \ nu - \ alfa + 1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(tx\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t) \,dt\,,}$

co uogólnia całkę ułamkową Riemanna – Liouville'a i całkę Weyla.

Rachunek funkcjonalny

W kontekście analizy funkcjonalnej funkcje f ( D ) bardziej ogólne niż potęgi są badane w rachunku funkcjonalnym teorii spektralnej . Teoria operatorów pseudoróżnicowych pozwala również rozważać potęgi D . Powstające operatory są przykładami pojedynczych operatorów całkowych ; a uogólnienie teorii klasycznej na wyższe wymiary nazywa się teorią potencjałów Riesza . Istnieje więc wiele współczesnych teorii, w ramach których można omawiać rachunek ułamkowy . Zobacz także operator Erdélyi – Kober , ważny w teorii funkcji specjalnych ( Kober 1940 ), ( Erdélyi 1950–51 ) .

Aplikacje

Ułamkowe zachowanie masy

Jak opisali Wheatcraft i Meerschaert (2008), ułamkowe równanie zachowania masy jest potrzebne do modelowania przepływu płynu, gdy objętość kontrolna nie jest wystarczająco duża w porównaniu ze skalą niejednorodności i gdy strumień w objętości kontrolnej jest nieliniowy. W cytowanym artykule ułamkowe zachowanie równania masy dla przepływu płynu jest następujące:

${\ Displaystyle - \ rho \ lewo (\ nabla ^ {\ alfa} \cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w }\right){\frac {\częściowe p}{\częściowe t}}}$

Analiza elektrochemiczna

Zobacz też: Neopolarogram

Podczas badania zachowania redoks podłoża w roztworze, na powierzchnię elektrody przykładane jest napięcie, aby wymusić transfer elektronów między elektrodą a podłożem. Wynikowy transfer elektronów jest mierzony jako prąd. Prąd zależy od stężenia substratu na powierzchni elektrody. Gdy substrat jest zużywany, świeży substrat dyfunduje do elektrody zgodnie z prawami dyfuzji Ficka . Biorąc transformatę Laplace'a drugiego prawa Ficka, otrzymujemy zwykłe równanie różniczkowe drugiego rzędu (tutaj w postaci bezwymiarowej):

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} C (x, s) = sC (x ,S)}$

którego rozwiązanie C(x,s) zawiera połowę zależności mocy od s. Biorąc pochodną C(x,s), a następnie odwrotną transformatę Laplace'a, otrzymujemy następującą zależność:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} C (x, t) = {\ Frac {d ^ { \frac {1}{2}}}{dt^{\frac {1}{2}}}}C(x,t)}$

który wiąże stężenie substratu na powierzchni elektrody z prądem. Zależność ta jest stosowana w kinetyce elektrochemicznej w celu wyjaśnienia zachowania mechanistycznego. Na przykład był używany do badania szybkości dimeryzacji substratów po redukcji elektrochemicznej.

Problem z przepływem wód gruntowych

W latach 2013–2014 Atangana i in. opisali niektóre problemy przepływu wód podziemnych, używając koncepcji pochodnej o ułamkowym rzędzie. W pracach tych uogólniono klasyczne prawo Darcy'ego , uznając przepływ wody za funkcję niecałkowitej pochodnej rzędu piezometrycznego. To uogólnione prawo i prawo zachowania masy są następnie wykorzystywane do wyprowadzenia nowego równania przepływu wód gruntowych.

Ułamkowe równanie dyspersji adwekcji

To równanie okazało się przydatne do modelowania przepływu zanieczyszczeń w heterogenicznych ośrodkach porowatych.

Atangana i Kilicman rozszerzyli ułamkowe równanie dyspersji adwekcji do równania zmiennego rzędu. W swojej pracy równanie dyspersji hydrodynamicznej zostało uogólnione przy użyciu koncepcji pochodnej rzędu wariacyjnego. Zmodyfikowane równanie rozwiązano numerycznie metodą Cranka-Nicolsona . Stabilność i zbieżność w symulacjach numerycznych wykazała, że ​​zmodyfikowane równanie jest bardziej wiarygodne w przewidywaniu przemieszczania się zanieczyszczeń w odkształcalnych warstwach wodonośnych niż równania ze stałymi pochodnymi ułamkowymi i całkowitymi

Modele ułamkowych równań dyfuzji czasoprzestrzennej

Anomalne procesy dyfuzji w złożonych ośrodkach można dobrze scharakteryzować za pomocą modeli równań dyfuzji rzędu ułamkowego. Termin pochodnej czasowej odpowiada zanikowi długiego ciężkiego ogona i pochodnej przestrzennej dla nielokalności dyfuzyjnej. Równanie regulujące ułamkową dyfuzję czasoprzestrzenną można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {\ alfa} u} {\ częściowe t ^ {\ alfa}}} = - K (- \ Delta) ^ {\ beta} u.}$

Prostym rozszerzeniem pochodnej ułamkowej jest pochodna ułamkowa zmiennego rzędu, gdzie α i β są zamieniane na α ( x , t ) i β ( x , t ) . Jego zastosowania w modelowaniu anomalnej dyfuzji można znaleźć w odnośnikach.

Modele tłumienia strukturalnego

Pochodne ułamkowe są używane do modelowania tłumienia lepkosprężystego w niektórych typach materiałów, takich jak polimery.

regulatory PID

Uogólnienie regulatorów PID na stosowanie rzędów ułamkowych może zwiększyć ich stopień swobody. Nowe równanie odnoszące się do zmiennej sterującej u ( t ) w kategoriach zmierzonej wartości błędu e ( t ) można zapisać jako

$\ Displaystyle u (t) = K _ {\ operatorname {p}} e ( t)+K_{\mathrm {i}}D_{t}^{-\alpha}e(t)+K_{\mathrm {d}}D_{t}^{\beta }e(t)}$

gdzie α i β są dodatnimi rzędami ułamków, a K _p , K _i i K _d , wszystkie nieujemne, oznaczają odpowiednio współczynniki proporcjonalności , całki i pochodnej (czasami oznaczane jako P , I i D ).

Równania fali akustycznej dla ośrodków złożonych

Rozchodzenie się fal akustycznych w złożonych ośrodkach, takich jak tkanki biologiczne, zwykle implikuje tłumienie zgodne z prawem mocy częstotliwości. Tego rodzaju zjawisko można opisać za pomocą przyczynowego równania falowego, które zawiera ułamkowe pochodne czasowe:

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} u - {\ dfrac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe t ^ {2}}} +\tau _{\sigma}^{\alpha}}{\dfrac {\częściowy ^{\alpha}}{\częściowy t^{\alpha}}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _ {\ epsilon} ^{\beta}}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\częściowe ^{\beta +2}u}{\częściowe t^{\beta +2}}} =0\,.}$

Zobacz także Holm & Näsholm (2011) i zawarte tam odniesienia. Takie modele są powiązane z powszechnie uznawaną hipotezą, że wielokrotne zjawiska relaksacji powodują tłumienie mierzone w ośrodkach złożonych. To powiązanie jest dokładniej opisane w Näsholm & Holm (2011b) oraz w artykule ankietowym, a także w Acoustic attenuation . Zobacz Holm i Nasholm (2013), aby zapoznać się z artykułem porównującym równania fal ułamkowych, które modelują tłumienie potęgowe. Ta książka o tłumieniu prawa potęgowego również omawia ten temat bardziej szczegółowo.

Pandey i Holm nadali fizyczne znaczenie ułamkowym równaniom różniczkowym, wyprowadzając je z zasad fizycznych i interpretując porządek ułamkowy w kategoriach parametrów ośrodków akustycznych, na przykład w nasyconych płynem ziarnistych, nieskonsolidowanych osadach morskich. Co ciekawe, Pandey i Holm wyprowadzili prawo Lomnitza w sejsmologii i prawo Nuttinga w reologii nienewtonowskiej, wykorzystując ramy rachunku ułamkowego. Prawo Nuttinga wykorzystano do modelowania propagacji fal w osadach morskich za pomocą pochodnych ułamkowych.

Ułamkowe równanie Schrödingera w teorii kwantowej

Ułamkowe równanie Schrödingera, podstawowe równanie ułamkowej mechaniki kwantowej, ma następującą postać:

${\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowe \ psi (\ mathbf {r}, t)} {\ częściowe t}} = D _ {\ alfa} \ lewo (- \ hbar ^ {2} \ Delta \ prawo )^{\frac {\alpha}{2}}\psi (\mathbf {r},t)+V(\mathbf {r},t)\psi (\mathbf {r},t)\,.}$

gdzie rozwiązaniem równania jest funkcja falowa ψ ( r , t ) – kwantowo-mechaniczna amplituda prawdopodobieństwa posiadania przez cząstkę danego wektora położenia r w dowolnym czasie t , a ħ jest zredukowaną stałą Plancka . Funkcja energii potencjalnej V ( r , t ) zależy od układu.

Dalej, Δ = ∂ ² / ∂ r ² jest operatorem Laplace'a , a D _α jest stałą skali o wymiarze fizycznym [ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = kg ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2} , (przy α = 2 , D ₂ = 1 / 2 m dla cząstki o masie m ), a operator (− ħ ² Δ) ^{α /2} to trójwymiarowa ułamkowa kwantowa pochodna Riesza zdefiniowana przez

${\ Displaystyle (- \ hbar ^ {2} \ Delta) ^ {\ Frac {\ alfa} {2}} \ psi (\ mathbf {r}, t) = {\ Frac {1} {(2 \ pi \ hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^ {\alpha}\varphi (\mathbf {p},t)\,.}$

Indeks α w ułamkowym równaniu Schrödingera to indeks Lévy'ego, 1 < α ≤ 2 .

Ułamkowe równanie Schrödingera o zmiennym rzędzie

Jako naturalne uogólnienie ułamkowego równania Schrödingera, ułamkowe równanie Schrödingera o zmiennym rzędzie zostało wykorzystane do badania ułamkowych zjawisk kwantowych:

$\ Displaystyle i \ hbar {\ Frac {\ częściowe \ psi ^ {\ alfa (\ mathbf {r})} (\ mathbf {r}, t)} {\ częściowe t ^ {\ alfa (\ mathbf {r} } )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V( \mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$

gdzie Δ = ∂ ² / ∂ r ² to operator Laplace'a , a operator (− ħ ² Δ) ^{β ( t )/2} to ułamkowa kwantowa pochodna Riesza rzędu zmiennego.

Zobacz też

• Tłumienie akustyczne
• Autoregresywna ułamkowo zintegrowana średnia krocząca
• Zainicjowany rachunek ułamkowy
• Operator nielokalny

Inne teorie ułamkowe

• System ułamkowego rzędu
• Ułamkowa transformata Fouriera

Dalsza lektura

Artykuły dotyczące historii rachunku ułamkowego

•   Ross, B. (1975). „Krótka historia i przedstawienie fundamentalnej teorii rachunku ułamkowego”. Rachunek ułamkowy i jego zastosowania . Rachunek ułamkowy i jego zastosowania . Notatki z wykładów z matematyki . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 457. s. 1–36. doi : 10.1007/BFb0067096 . ISBN 978-3-540-07161-7 .
•   Debnath, L. (2004). „Krótkie historyczne wprowadzenie do rachunku ułamkowego”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology . 35 (4): 487–501. doi : 10.1080/00207390410001686571 . S2CID 122198977 .
• Tenreiro Machado, J.; Kiryakova, W. ; Mainardi, F. (2011). „Najnowsza historia rachunku ułamkowego”. Komunikacja w nauce nieliniowej i symulacji numerycznej . 16 (3): 1140–1153. Bibcode : 2011CNSNS..16.1140M . doi : 10.1016/j.cnsns.2010.05.027 . hdl : 10400,22/4149 .
•   Tenreiro Machado, JA; Galhano, AM; Trujillo, JJ (2013). „Metryki naukowe dotyczące rozwoju rachunku ułamkowego od 1966 r.”. Rachunek ułamkowy i analiza stosowana . 16 (2): 479–500. doi : 10.2478/s13540-013-0030-y . hdl : 10400,22/3773 . S2CID 122487513 .
•   Tenreiro Machado, JA; Galhano, AMSF; Trujillo, JJ (2014). „O rozwoju rachunku ułamkowego w ciągu ostatnich pięćdziesięciu lat”. Naukometria . 98 (1): 577–582. doi : 10.1007/s11192-013-1032-6 . hdl : 10400,22/3769 . S2CID 16501850 .

Książki

•   Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). Rachunek ułamkowy; Teoria i zastosowania różnicowania i integracji do dowolnego porządku . Matematyka w nauce i inżynierii . Tom. V. Prasa Akademicka. ISBN 978-0-12-525550-9 .
•   Miller, Kenneth S.; Ross, Bertram, wyd. (1993). Wprowadzenie do rachunku ułamkowego i równań różniczkowych ułamkowych . John Wiley & Synowie. ISBN 978-0-471-58884-9 .
•   Samko, S.; Kilbas, AA; Marichev, O. (1993). Całki ułamkowe i pochodne: teoria i zastosowania . Książki Taylora i Francisa. ISBN 978-2-88124-864-1 .
•   Carpinteri, A.; Mainardi, F., wyd. (1998). Fraktale i rachunek ułamkowy w mechanice ośrodków ciągłych . Springer-Verlag Telos. ISBN 978-3-211-82913-4 .
•   Igor Podlubny (27 października 1998). Równania różniczkowe ułamkowe: wprowadzenie do pochodnych ułamkowych, równań różniczkowych ułamkowych, metod ich rozwiązywania i niektórych zastosowań . Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4 .
•   Zachód, Bruce J.; Bolonia, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Fizyka operatorów fraktalnych . Fizyka dzisiaj . Tom. 56. Springer Verlag. P. 65. Bibcode : 2003PhT....56l..65W . doi : 10.1063/1.1650234 . ISBN 978-0-387-95554-4 .
•   Mainardi, F. (2010). Rachunek ułamkowy i fale w liniowej lepkosprężystości: wprowadzenie do modeli matematycznych . Imperial College Press. doi : 10.1142/p614 . ISBN 978-1-84816-329-4 .
•   Tarasow, VE (2010). Dynamika ułamkowa: zastosowania rachunku ułamkowego do dynamiki cząstek, pól i mediów . Nieliniowa nauka fizyczna . Skoczek. doi : 10.1007/978-3-642-14003-7 . ISBN 978-3-642-14003-7 .
•   Zhou, Y. (2010). Podstawowa teoria ułamkowych równań różniczkowych . Singapur: świat naukowy. doi : 10.1142/9069 . ISBN 978-981-4579-89-6 .
•   Uchaikin, VV (2012). Pochodne ułamkowe dla fizyków i inżynierów . Nieliniowa nauka fizyczna . Prasa dla szkolnictwa wyższego. Bibcode : 2013fdpe.book.....U . doi : 10.1007/978-3-642-33911-0 . ISBN 978-3-642-33911-0 .
•   Daftardar-gejji, Varsha (2013). Rachunek ułamkowy: teoria i zastosowania . Wydawnictwo Narosa. ISBN 978-8184873337 .
•   Srivastava, Hari M (2014). Funkcje specjalne w rachunku ułamkowym i pokrewne ułamkowe równania różniczkowo-całkowe . Singapur: świat naukowy. doi : 10.1142/8936 . ISBN 978-981-4551-10-6 .
• Li, CP; Zeng, FH (2015). Metody numeryczne dla rachunku ułamkowego . USA: CRC Press.
•   Umarow, S. (2015). Wprowadzenie do równań ułamkowych i pseudoróżnicowych z symbolami liczby pojedynczej . Rozwój matematyki . Tom. 41. Szwajcaria: Springer. doi : 10.1007/978-3-319-20771-1 . ISBN 978-3-319-20770-4 .
•    Herrmann, R. (2018). Rachunek ułamkowy - wprowadzenie dla fizyków (wyd. 3). Singapur: świat naukowy. doi : 10.1142/11107 . ISBN 978-981-3274-57-0 . S2CID 242068092 .

Linki zewnętrzne

• Z MathWorld :
  • Weisstein, Eric W. „Równanie różniczkowe ułamkowe” . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. „Rachunek ułamkowy” . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. „Pochodna ułamkowa” . MathWorld .
• „Rachunek ułamkowy” . MathPages.com .
• Czasopisma specjalistyczne
  • Rachunek ułamkowy i analiza stosowana 1998–2014
  •   Rachunek ułamkowy i analiza stosowana ISSN 1314-2224 2015—
  •   Ułamkowy rachunek różniczkowy (FDC) ISSN 1847-9677 2011–
  •   Komunikacja w rachunku ułamkowym ISSN 2218-3892
  •   Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA) ISSN 2090-5858 2011—
• Lorenzo, Carl F.; Hartley, Tom T. (2002). „Zainicjowany rachunek ułamkowy” . Informacje techniczne . Centrum badawcze NASA Johna H. Glenna.
• Podlubny, Igor (2010). „Rachunek ułamkowy: zasoby” .
• Herrmann, Richard (2018). „GigaHedron” . zbiór książek, artykułów, preprintów itp.
• Dugowson, Stéphane (2006). „Les Différentielles metaphysiques” (w języku francuskim).
• Loverro, Adam (2005). „Historia, definicje i zastosowania dla inżyniera” (PDF) . Uniwersytet Notre-Dame . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2005-10-29.
• Ułamkowe modelowanie rachunku różniczkowego
• Uwagi wstępne dotyczące rachunku ułamkowego
• Prawo potęgowe i dynamika ułamkowa
• CRONE Toolbox , Matlab i Simulink Toolbox dedykowany do rachunku ułamkowego, który można bezpłatnie pobrać
•   Zavada, Petr (1998). „Operator pochodnej ułamkowej na płaszczyźnie zespolonej”. Komunikacja w fizyce matematycznej . 192 (2): 261–285. arXiv : funkcja-an/9608002 . Bibcode : 1998CMaPh.192..261Z . doi : 10.1007/s002200050299 . S2CID 1201395 .
•   Zavada, Petr (2002). „Relatywistyczne równania falowe z pochodnymi ułamkowymi i operatorami pseudoróżnicowymi” . Journal of Applied Mathematics . 2 (4): 163–197. arXiv : hep-th/0003126 . doi : 10.1155/S1110757X02110102 . S2CID 6647936 .