Geometryczny rozkład stabilny

Stajnia geometryczna

Parametry	${\ Displaystyle \ alfa \ w (0,2]}$ - parametr stabilności ${\ Displaystyle \ beta \ w [-1,1]}$ - parametr skośności (zauważ, że skośność jest nieokreślona) ${\ Displaystyle \ lambda \ w (0, \ infty)}$ - parametr skali ${\ Displaystyle \ mu \ w (- \ infty, \ infty)}$ - parametr lokalizacji
Wsparcie	${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ lub ${\ Displaystyle x \ in [\ mu, \ infty)}$ jeśli ${\ Displaystyle \ alpha <1}$ i ${\ Displaystyle \ beta = 1}$ lub ${\ Displaystyle x \ in (- \ infty, \ mu ]}$ jeśli ${\ Displaystyle \ alpha <1}$ i ${\ Displaystyle \ beta = -1}$
PDF	nie da się wyrazić analitycznie, z wyjątkiem niektórych wartości parametrów
CDF	nie da się wyrazić analitycznie, z wyjątkiem pewnych wartości parametrów
Mediana	${\ Displaystyle \ mu}$ kiedy ${\ Displaystyle \ beta = 0}$
Tryb	${\ Displaystyle \ mu}$ kiedy ${\ Displaystyle \ beta = 0}$
Zmienność	${\ Displaystyle 2 \ lambda ^ {2}}$ kiedy ${\ Displaystyle \ alpha = 2}$ inaczej nieskończony
Skośność	${\ Displaystyle 0}$ kiedy ${\ Displaystyle \ alpha = 2}$ inaczej niezdefiniowany
Były. kurtoza	${\ Displaystyle 3}$ kiedy ${\ Displaystyle \ alpha = 2}$ inaczej niezdefiniowany
MGF	nieokreślony
CF	${\ Displaystyle \ \ lewo [1 + \ lambda ^ {\ alfa} \ vert t \ vert ^ {\ alfa} \ omega -i \ mu t \ prawo] ^ {- 1} }$ , gdzie ${\ Displaystyle \ omega = {\ rozpocząć {przypadki} 1-i \ beta \ tan {\ tfrac {\ pi \ alfa} {2}} \, {\ textrm {znak}} ( t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log \vert t\vert \,{\textrm {znak}}( t)&{\text{if }}\alpha =1\end{przypadki}}}$

Geometryczny rozkład stabilny lub rozkład geostabilny to rodzaj leptokurtycznego rozkładu prawdopodobieństwa . Geometryczne rozkłady stabilne zostały wprowadzone w Klebanov, LB, Maniya, GM i Melamed, IA (1985). Problem Zołotariewa i analogów nieskończenie podzielnych i stabilnych rozkładów w schemacie sumowania losowej liczby zmiennych losowych. Rozkłady te są odpowiednikami rozkładów stabilnych dla przypadku, gdy liczba sum jest losowa, niezależna od rozkładu sumy i ma rozkład geometryczny. Geometryczny rozkład stabilny może być symetryczny lub asymetryczny. Symetryczny geometryczny stabilny rozkład jest również określany jako rozkład Linnika . Rozkład Laplace'a i asymetryczny rozkład Laplace'a to szczególne przypadki geometrycznego rozkładu stabilnego. Rozkład Mittaga -Lefflera jest również szczególnym przypadkiem stabilnego rozkładu geometrycznego.

Geometryczny rozkład stabilny ma zastosowanie w teorii finansów.

Charakterystyka

W przypadku większości stabilnych rozkładów geometrycznych funkcja gęstości prawdopodobieństwa i funkcja dystrybucji skumulowanej nie mają postaci zamkniętej. Jednak geometryczny rozkład stabilny można zdefiniować za pomocą jego funkcji charakterystycznej , która ma postać:

${\ Displaystyle \ varphi (t; \ alfa, \ beta, \ lambda, \ mu) = [1 + \ lambda ^ {\ alfa} | t | ^ {\ alfa} \ omega -i\mu t]^{-1}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ omega = {\ rozpocząć {przypadki} 1-i \ beta \ tan \ lewo ({\ tfrac {\ pi \ alfa} {2}} \ prawej) \, \ operatorname {znak} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {znak} (t )&{\text{if }}\alpha =1\end{przypadki}}}$ .

Parametr , który musi być większy niż 0 i mniejszy lub równy 2, jest parametrem kształtu lub wskaźnikiem stabilności, który określa, jak ciężkie są $.$ Niższy odpowiada cięższym $ogonom$ .

Parametr , który musi $być$ większy lub równy -1 i mniejszy lub równy 1, jest parametrem skośności Kiedy jest $rozkład$$dodatni,$ rozkład jest przekrzywiony w lewo, a gdy jest jest przekrzywiony w prawo. Gdy wynosi zero, rozkład jest symetryczny, a funkcja charakterystyczna redukuje się do: ${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle \ varphi (t; \ alfa, 0, \ lambda, \ mu) = [1 + \ lambda ^ {\ alfa} | t | ^ {\ alfa} -i \ mu t]^{-1}}$ .

$jest$ geometryczny rozkład stabilny z nazywany rozkładem Linnika. Całkowicie skośny stabilny rozkład geometryczny, to znaczy z , z , $0<\mu <1$$1$ μ $\alpha <1$ { is also referred to as a Mittag-Leffler distribution. Although $\beta$ determines the skewness of the distribution, it should not be confused with the typical skewness coefficient or 3rd standardized moment, which in most circumstances is undefined for a geometric stable distribution.

Parametr $,$$.$ jako parametr skali jest parametrem lokalizacji

Kiedy ${\ Displaystyle \ alfa}$ = 2, ${\ Displaystyle \ beta}$ = 0 i ${\ Displaystyle \ mu}$ = 0 (tj. symetryczny geometryczny stabilny rozkład lub rozkład Linnika z = ${\ Displaystyle \ alfa}$ = 2), rozkład staje się symetrycznym rozkładem Laplace'a ze średnią 0, który ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa :

${\ Displaystyle f (x \ środkowy 0, \ lambda) = {\ Frac {1} {2 \ lambda}} \ exp \ lewo (-{\frac {|x|}{\lambda}}\right)\,\!}$ .

Rozkład Laplace'a ma wariancję równą ${\ Displaystyle 2 \ lambda ^ {2}}$ . Jednak dla $wariancji stabilnego$ geometrycznego jest

Związek ze stabilnymi rozkładami

Stabilny rozkład ma $są$ właściwość, że takiego rozkład, suma $}}$${\ Displaystyle Y = a_ {n} (X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n} )$$\ displaystyle b_ {n$$n$ ma taki sam rozkład jak dla niektórych $}$ n .

Geometryczne rozkłady stabilne mają podobną właściwość, ale gdzie liczba elementów w sumie jest zmienną losową o rozkładzie geometrycznym . Jeśli ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ kropki}$ są niezależnymi i identycznie rozłożonymi zmiennymi losowymi wziętymi z geometrycznego rozkładu stabilnego, granica sumy ${\ Displaystyle Y = a_ {N_ {p}} (X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {N_ {p}}) + b_ {N_ {p}}}$ zbliża się do rozkładu 's dla niektórych współczynników $Displaystyle a_ {N_ {$$}}}$ i $}}$$\ Displaystyle b_$$}$$.$ gdy p zbliża się do 0, gdzie losową niezależną od wziętych z rozkładu geometrycznego z parametrem p . Innymi słowy:

${\ Displaystyle \ Pr (N_ {p} = n) = (1-p) ^ {n-1} \, p \,.}$

Rozkład jest ściśle geometrycznie stabilny tylko wtedy, gdy suma $)} równa$${\ Displaystyle Y = a (X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {N_ { p}$$się$ dystrybucji niektórych a .

Istnieje również związek między funkcją charakterystyczną rozkładu stabilnego a funkcją charakterystyczną geometryczną rozkładu stabilnego. Rozkład stabilny ma charakterystyczną funkcję postaci:

${\ Displaystyle \ Phi (t; \ alfa, \ beta, \ lambda, \ mu) = \ exp \ lewo [~ to \ mu \! - \! |\lambda t|^{\alpha}\,(1\!-\!i\beta \operatorname {znak} (t)\Omega )~\right],}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Omega = {\ rozpocząć {przypadki} \ tan {\ tfrac {\ pi \ alfa} {2}} i {\ tekst {jeśli}} \ alfa \ neq 1, \\ - { \tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{przypadki}}}$

Geometryczną stabilną funkcję charakterystyczną można wyrazić za pomocą stabilnej funkcji charakterystycznej jako:

${\ Displaystyle \ varphi (t; \ alfa, \ beta, \ lambda, \ mu) = [1- \ log (\ Phi (t; \ alfa, \ beta, \ lambda, \ mu))] ^ {- 1 }.}$

Zobacz też

• Rozkład Mittaga-Lefflera