rozkład von Misesa

von Misesa

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Podpora jest wybrana jako [− π , π ] przy μ = 0
Dystrybuanta Podpora jest wybrana jako [− π , π ] przy μ = 0
Parametry	${\ Displaystyle \ mu}$ prawdziwy ${\ Displaystyle \ kappa > 0}$
Wsparcie	${\ displaystyle x \ in}$ dowolny przedział długości 2π
PDF	${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {\ kappa \ cos (x- \ mu)}} {2 \ pi I_ {0} (\ kappa)} }}$
CDF	(nie analityczne – patrz tekst)
Mieć na myśli	${\ Displaystyle \ mu}$
Mediana	${\ Displaystyle \ mu}$
Tryb	${\ Displaystyle \ mu}$
Zmienność	${\ Displaystyle {\ textrm {var}} (x) = 1-I_ {1} (\ kappa) / I_ {0} (\ kappa) }$ (okrągły)
Entropia	${\ Displaystyle - \ kappa {\ Frac {I_ {1} (\ kappa)} {ja_ {0} (\ kappa) }}+\ln[2\pi I_{0}(\kappa )]}$ (różnica)
CF	$\ Displaystyle {\ Frac {I_ {| t |} (\ kappa)} {ja_ {0} (\ kappa)}} e ^ {to \ mu}}$

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce kierunkowej Tichonowa rozkład von Misesa rozkład (znany również jako kołowy rozkład normalny lub ) jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa na okręgu . Jest to bliskie przybliżenie zawiniętego rozkładu normalnego , który jest kołowym odpowiednikiem rozkładu normalnego . Swobodnie rozpraszający się kąt ${\ displaystyle \ theta}$ na okręgu to opakowana zmienna losowa o rozkładzie normalnym z nieopakowaną wariancją, która rośnie liniowo w czasie. Z drugiej strony rozkład von Misesa jest rozkładem stacjonarnym procesu dryfu i dyfuzji na okręgu w potencjale harmonicznym, czyli z preferowaną orientacją. Rozkład von Misesa jest maksymalnym rozkładem entropii dla danych kołowych, gdy określona jest rzeczywista i urojona część pierwszego momentu kołowego . Rozkład von Misesa jest szczególnym przypadkiem rozkładu von Misesa-Fishera na N -wymiarowa sfera.

Definicja

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa von Misesa dla kąta x jest dana wzorem:

${\ Displaystyle f (x \ środkowy \ mu, \ kappa) = {\ Frac {\ exp (\ kappa \cos(x-\mu ))}{2\pi I_{0}(\kappa)}}}$

₀ gdzie ja ( ${\ displaystyle \ kappa}$ ) jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu 0, z tą stałą skalowania wybraną tak, że rozkład sumuje się do jedności: ${\textstyle \int _ {-\ pi} ^ {\ pi} \ exp (\ kappa \ cos x) dx = {2 \ pi I_ {0} (\ kappa)}.}$

Parametry są analogiczne do μ i σ ² (średnia i wariancja) w rozkładzie normalnym: μ i ${\ displaystyle \ kappa}$

• μ jest miarą lokalizacji (rozkład jest skupiony wokół μ ), oraz
• ${\ displaystyle \ kappa}$ jest miarą koncentracji (odwrotną miarą $,$ więc jest analogiczna do σ ² ).
  • Jeśli $zero$ , rozkład jest jednolity, a dla małych $.$ zbliżony do jednolitego
  • Jeśli jest duży, rozkład staje się bardzo skoncentrowany wokół kąta μ $,$ gdzie $kappa}$ jest miarą stężenia. W rzeczywistości, gdy $rośnie$$,$ rozkład zbliża się do rozkładu normalnego w ze średnią μ i .

Gęstość prawdopodobieństwa można wyrazić jako szereg funkcji Bessela

$\ Displaystyle f (x \ mid \ mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi}}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa)}}\sum _{j=1}^{ \infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}$

gdzie I _j ( x ) jest zmodyfikowaną funkcją Bessela rzędu j .

Funkcja dystrybucji skumulowanej nie jest analityczna i najlepiej ją znaleźć, całkując powyższe szeregi. Całka nieoznaczona gęstości prawdopodobieństwa to:

${\ Displaystyle \ Phi (x \ mid \ mu, \ kappa) = \ int f (t \ mid \ mu, \ kappa) \, dt = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ lewo (x + { \frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty}I_{j}(\kappa){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\prawo).}$

₀ Skumulowana funkcja dystrybucji będzie funkcją dolnej granicy całkowania x :

${\ Displaystyle F (x \ mid \ mu, \ kappa) = \ Phi (x \ mid \ mu, \ kappa) - \ Phi (x_ {0} \ mid \ mu, \ kappa). \,}$

Chwile

Dalsze informacje: Średnia kołowa

Momenty rozkładu von Misesa są zwykle obliczane jako momenty złożonej wykładniczej z = e ^ix , a nie jako sam kąt x . Momenty te nazywane są momentami kołowymi . Wariancja obliczona na podstawie tych momentów nazywana jest wariancją kołową . Jedynym wyjątkiem jest to, że „średnia” zwykle odnosi się do argumentu złożonej średniej.

N - ty surowy moment z to:

${\ Displaystyle m_ {n} = \ langle z ^ {n} \ rangle = \ int _ {\ Gamma} z ^ { n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,dx}$

${\ Displaystyle = {\ Frac {I_ {| n |} (\ kappa)} {I_ {0} (\ kappa)}} e ^ {w \ mu}}$

gdzie całka jest w dowolnym przedziale o długości 2π ${\ displaystyle \ Gamma}$ . Przy obliczaniu powyższej całki wykorzystujemy fakt, że z ⁿ = cos( n x) + i sin( nx ) oraz tożsamość funkcji Bessela:

${\ Displaystyle I_ {n} (\ kappa) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {\ kappa \ cos (x)} \ cos (nx) \,dx.}$

Średnia zespolonego wykładniczego z jest wtedy sprawiedliwa

${\ Displaystyle m_ {1} = {\ Frac {I_ {1} (\ kappa)} {I_ {0} (\ kappa)}} e ^ { i\mu }}$

a średnia kołowa wartość kąta x jest wtedy traktowana jako argument μ . Jest to oczekiwany lub preferowany kierunek kątowych zmiennych losowych. Wariancja z lub wariancja kołowa x wynosi:

${\ Displaystyle {\ textrm {var}} (x) = 1-E [\ cos (x - \ mu)] = 1 - {\ Frac {I_ {1} (\ kappa)} {I_ {0} (\ kappa )}}.}$

Ograniczające zachowanie

Kiedy jest $duży$ rozkład przypomina rozkład normalny . Dokładniej, dla dużych dodatnich liczb rzeczywistych ${\ displaystyle \ kappa} κ {\ displaystyle \ kappa$ }

${\ Displaystyle f (x \ mid \ mu, \ kappa) \ około {\ Frac {1} \sigma {\sqrt {2\pi}}}}\exp \left[{\dfrac {-(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

gdzie σ ² = 1/ $kappa}$$.$ i różnica między lewą a prawą stroną przybliżenia zbiega się równomiernie do zera, gdy dąży do nieskończoności Ponadto, gdy jest mała, funkcja gęstości prawdopodobieństwa przypomina rozkład jednolity : ${\ displaystyle \ kappa}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ kappa \ rightarrow 0} f (x \ mid \ mu, \ kappa) = \ operatorname {U} (x)}$

$U} (x) = 1/(2 \ pi)}$ przedział dla rozkładu jednorodnego $($ przedziałem długości $\ Displaystyle 2 \ pi}$ tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {U} (x)$ gdy jest w przedziale i $x$ kiedy ${\ displaystyle x}$ nie jest w przedziale).

Szacowanie parametrów

Seria N pomiarów $wyprowadzona$ z rozkładu von Misesa może być Średnia serii jest zdefiniowana jako. ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {z}} = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}$

a jego wartością oczekiwaną będzie tylko pierwsza chwila:

${\ Displaystyle \ langle {\ overline {z}} \ rangle = {\ Frac {I_ {1} (\ kappa)} {I_ {0} (\ kappa)}} e ^ {i \ mu}.}$

Innymi słowy, $estymatorem$ pierwszej chwili . Jeśli założymy, że średnia $[$ w przedziale $, \ pi ]}$ , to Arg ${\ Displaystyle ({\ overline { z}})} będzie ($$obciążonym$ ) estymatorem .

Patrząc na $}}$$kwadratem$ jako zbiór wektorów na płaszczyźnie zespolonej, jest uśredniony wektor:

${\ Displaystyle {\ bar {R}} ^ {2} = {\ overline {z}} \, {\ overline {z ^ {*}}} = \ lewo ({\ frac {1} {N}} \ suma _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{ N}\sin \theta _{n}\right)^{2}}$

a jego wartość oczekiwana wynosi

${\ Displaystyle \ langle {\ bar {R}} ^ {2} \ rangle = {\ Frac {1} {N}} + {\ Frac {N-1} {N}} \, {\ Frac {I_ { 1}(\kappa )^{2}}{I_{0}(\kappa)^{2}}}.}$

Innymi słowy, statystyka

${\ Displaystyle R_ {e} ^ {2} = {\ Frac {N} {N-1}} \ lewo ({\ bar {R}} ^{2}-{\frac {1}{N}}\right)}$

będzie nieobciążonym estymatorem ${\ Displaystyle {\ Frac {I_ {1} (\ kappa) ^ {2}} {ja_ {0} (\ kappa) ^ {2} }} \,}$ i rozwiązywanie równania ${\ Displaystyle R_ {e} = {\ Frac {I_ {1} (\ kappa)} {I_ {0} (\ kappa )}} \,}$ dla ${\ Displaystyle \ kappa \,}$ da (obciążony) estymator ${\ Displaystyle \ kappa \,}$ . Analogicznie do przypadku liniowego, rozwiązanie równania ${\ Displaystyle {\ bar {R}} = {\ Frac {I_ {1} (\ kappa)} {I_ {0} (\ kappa )}} \,}$ da oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa κ ${\ displaystyle \ kappa \,}$ oba będą równe w granicy dużego N . Aby zapoznać się z przybliżonym rozwiązaniem, patrz ${\ displaystyle \ kappa \,}$ Rozkład von Misesa-Fishera .

Rozkład średniej

$i {\ overline {\ theta}}}}$ θ dla von Dystrybucja Misesa jest dana przez:

${\ Displaystyle P ({\ bar {R}}, {\ bar {\ theta}}) \, d {\ bar {R}} \, d {\ bar {\ theta}} = {\ frac {1} {(2\pi I_{0}(\kappa ))^{N}}}\int _{\Gamma }\prod _{n=1}^{N}\left(e^{\kappa \cos( \theta _{n}-\mu }}d\theta _{n}\right)={\frac {e^{\kappa N{\bar {R}}\cos({\bar {\theta}} -\mu )}}{I_{0}(\kappa)^{N}}}\left({\frac {1}{(2\pi)^{N}}}\int _{\Gamma }\ prod _{n=1}^{N}d\theta _{n}\right)}$

gdzie N jest liczbą pomiarów i $się$ z przedziałów zmiennych, z zastrzeżeniem ograniczenia, które $R} }}$$displaystyle {$ i są stałe, gdzie ${\ Displaystyle {\ bar {$$R}}}$ jest średnią wypadkową:

${\ Displaystyle {\ bar {R}} ^ {2} = | {\ bar {z}} | ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {1} {N}} \ suma _ {n = 1} ^{N}\cos(\theta _{n})\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin( \theta _{n})\right)^{2}}$

a to średni kąt: ${\ displaystyle {\ overline {\ theta}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ theta}} = \ operatorname {Arg} ({\ overline {z}}). \,}$

Zauważ, że iloczyn w nawiasach to po prostu rozkład średniej dla kołowego rozkładu jednostajnego .

$\ kappa)}$ ) { $mu$ jest rozkładem von Misesa ${\ Displaystyle VM (\ mu, {\ bar {R}} N \ kappa)}$ lub równoważnie ${\ Displaystyle VM (\ mu, R \ kappa) }$ .

Entropia

Z definicji entropia informacyjna rozkładu von Misesa wynosi

${\ Displaystyle H = - \ int _ {\ Gamma} f (\ teta; \ mu, \ kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,d\theta \,}$

gdzie jest dowolnym przedziałem długości $2 \ pi}$$Displaystyle$ . Logarytm gęstości rozkładu Von Misesa jest prosty:

${\ Displaystyle \ ln (f (\ teta; \ mu, \ kappa)} = -\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta )\,}$

Charakterystyczna reprezentacja funkcji dla rozkładu Von Misesa to:

${\ Displaystyle f (\ teta; \ mu, \ kappa) = {\ Frac {1 }{2\pi }}\left(1+2\suma _{n=1}^{\infty}\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle \ phi _ {n} = ja _ {| n |} (\ kappa) / ja_ {0} (\ kappa)}$ . Podstawiając te wyrażenia do całki entropijnej, zamieniając kolejność całkowania i sumowania oraz korzystając z ortogonalności cosinusów, entropię można zapisać:

${\ Displaystyle H = \ ln (2 \ pi ja_ {0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa)}{ ja_{0}(\kappa )}}}$

Dla ${\ displaystyle \ kappa = 0}$ , rozkład von Misesa staje się kołowym rozkładem jednorodnym , a entropia osiąga swoją maksymalną wartość. ${\ displaystyle \ ln (2 \ pi)$ }

Zauważ, że rozkład Von Misesa maksymalizuje entropię , gdy określone są rzeczywista i urojona część pierwszego momentu kołowego lub, równoważnie, określona jest średnia kołowa i wariancja kołowa .

Zobacz też

• Dwuwymiarowy rozkład von Misesa
• Statystyki kierunkowe
• Rozkład Von Misesa-Fisher'a
• Dystrybucja Kenta

Dalsza lektura

•   Abramowitz, M. and Stegun, IA (red.), Handbook of Mathematical Functions , National Bureau of Standards, 1964; przedruk Dover Publications , 1965. ISBN 0-486-61272-4
• „Algorithm AS 86: The von Mises Distribution Function”, Mardia, Applied Statistics, 24, 1975 (s. 268–272).
• „Algorytm 518, niekompletna funkcja Bessela I0: dystrybucja von Misesa”, Hill, ACM Transactions on Mathematical Software, tom. 3, nr 3, wrzesień 1977, strony 279–284.
• Najlepszy, D. i Fisher, N. (1979). Efektywna symulacja rozkładu von Misesa. Statystyka stosowana, 28, 152–157.
• Evans M., Hastings N. i Peacock B., „Dystrybucja von Misesa”. Ch. 41 w Rozkłady statystyczne, wyd. Nowy Jork. Wiley 2000.
• Fisher, Nicholas I., Statystyczna analiza danych kołowych. Nowy Jork. Cambridge 1993.
•   „Rozkłady statystyczne”, 2. Wydanie, Evans, Hastings i Peacock, John Wiley and Sons , 1993, (rozdział 39). ISBN 0-471-55951-2
•   Borradaile, Graham (2003). Statystyka Danych Nauk o Ziemi . Springera . ISBN 978-3-540-43603-4 . Źródło 31 grudnia 2009 .