Uogólniony rozkład Dirichleta

W statystyce uogólniony rozkład Dirichleta ( GD ) jest uogólnieniem rozkładu Dirichleta z bardziej ogólną strukturą kowariancji i prawie dwukrotnie większą liczbą parametrów. Wektory losowe o rozkładzie GD są całkowicie neutralne .

Funkcja gęstości jest p $\ Displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {k-1}}$

{\ Displaystyle \ lewo [\ prod _ {i = 1} ^ {k-1} B (a_ {i}, b_ {i}) \ prawo] ^ { -1}p_{k}^{b_{k-1}-1}\prod _{i=1}^{k-1}\lewo[p_{i}^{a_{i}-1}\lewo (\suma _{j=i}^{k}p_{j}\right)^{b_{i-1}-(a_{i}+b_{i})}\right]}

gdzie definiujemy ${\ textstyle p_ {k} = 1- \ suma _ {i = 1} ^ {k-1} p_ {i}}$ . Tutaj ${\ Displaystyle B (x, y)}$ oznacza funkcję Beta . $Zmniejsza$ $\ leqslant i \ leqslant k-1}$ standardowego ⩽ $Displaystyle$ ( ${\ Displaystyle b_ {0}}$ jest dowolne).

Na przykład, jeśli k=4 , to funkcja gęstości $, p_ {3}}$ {2}

{\ Displaystyle \ lewo [\ prod _ {i = 1} ^ {3} B (a_ { i},b_{i})\right]^{-1}p_{1}^{a_{1}-1}p_{2}^{a_{2}-1}p_{3}^{a_{ 3}-1}p_{4}^{b_{3}-1}\lewo(p_{2}+p_{3}+p_{4}\prawo)^{b_{1}-\lewo(a_{ 2}+b_{2}\right)}\left(p_{3}+p_{4}\right)^{b_{2}-\left(a_{3}+b_{3}\right)}}

gdzie ${\ Displaystyle p_ {1} + p_ {2} + p_ {3}<1}$ i ${\ Displaystyle p_ { 4}=1-p_{1}-p_{2}-p_{3}}$ .

Connor i Mosimann definiują plik PDF tak, jak to zrobili, z następującego powodu. Zdefiniuj zmienne losowe ${\ Displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {k-1}}$ z ${\ Displaystyle z_ {1} = p_ {1},z_{2}=p_{2}/\left(1-p_{1}\right),z_{3}=p_{3}/\left(1-(p_{1}+p_{ 2})\right),\ldots ,z_{i}=p_{i}/\left(1-\left(p_{1}+\cdots +p_{i-1}\right)\right)}$ . Następnie ${\ Displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {k}}$ mają uogólniony rozkład Dirichleta sparametryzowany powyżej, jeśli są niezależnymi beta z parametrami ${\ displaystyle z_ {i}}$ ${\ Displaystyle a_ {i}, b_ {i}}$ , ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, k-1}$ .

Alternatywna forma podana przez Wonga

Wong podaje nieco bardziej zwięzłą formę dla ${\ Displaystyle x_ {1} + \ cdots + x_ {k} \ równoważnik 1}$

{\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {x_{i}^{\alpha_{i}-1}\left(1-x_{1}-\cdots -x_{i}\right)^{\gamma_{i}}}{B(\ alfa _{i},\beta _{i})}}}

gdzie ${\ Displaystyle \ gamma _ {j} = \ beta _ {j} - \ alfa _ {j + 1} - \ beta _ {j + 1} }$ dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik k-1}$ i ${\ Displaystyle \ gamma _ {k} = \ beta _ {k} -1}$ . Zauważ, że Wong definiuje rozkład w $wymiarowej$ (niejawnie definiując) ${\ textstyle x_ {k + 1} = 1- \ suma _ {i = 1} ^ {k} x_ {i}}$ $\ textstyle x_ {k}=1-\suma _{i=1}^{k-1}x_{i}}$ podczas gdy Connor i Mosiman używają wymiarowej z $k$ .

Ogólna funkcja momentu

Jeśli ${\ Displaystyle X = \ lewo (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots,\beta _{k}\right )}$ , więc

{\ Displaystyle E \ lewo [X_ {1} ^ {r_ {1}} X_ {2} ^ {r_ {2}} \ cdots X_{k}^{r_{k}}\right]=\prod _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j} \right)\Gamma \left(\alpha _{j}+r_{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}+\delta _{j}\right)}{\Gamma \left( \alpha _{j}\right)\Gamma \left(\beta _{j}\right)\Gamma \left(\alpha _{j}+\beta _{j}+r_{j}+\delta _ {j}\prawo)}}}

gdzie ${\ Displaystyle \ delta _ {j} = r_ {j + 1} + r_ {j + 2} + \ cdots + r_ {k}}$ dla ${\ Displaystyle j = 1,2, \ cdots, k-1}$ i ${\ Displaystyle \ delta _ {k} = 0}$ . Zatem

{\ Displaystyle E \ lewo (X_ {j} \ prawo) = {\ Frac {\ alfa _ {j}} {\ alfa _ {j} + \ beta _ {j}}} \ prod _ {m = 1} ^ {j-1} {\ frac {\ beta _ {m}} {\ alfa _ {m} + \ beta _ {m}}}.}

Redukcja do standardowego rozkładu Dirichleta

Jak stwierdzono powyżej, jeśli $\ Displaystyle b_ {i-1} = a_ {i} + b_ {i}}$ dla ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik i \ równoważnik k}$ , to rozkład sprowadza się do standardowego rozkładu Dirichleta. Warunek ten różni się od zwykłego przypadku, w którym ustawienie dodatkowych parametrów rozkładu uogólnionego na zero daje rozkład pierwotny. Jednak w przypadku GDD skutkuje to bardzo skomplikowaną funkcją gęstości.

Analiza bayesowska

Załóżmy, że $} jest$ ${\ Displaystyle X = \ lewo (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}\right)\sim GD_{k}\left(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{k};\beta _{1},\ldots,\beta _{k}\right$ $Y_{1},\ldkropki,Y_{k}\right)}$ $uogólnionym$ Dirichletem i że jest wielomianem z $($ tutaj $\ Displaystyle Y = \ lewo$ ). $} = y_ {j}}$ jot {\ Displaystyle Y_ { dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik k}$ i ${\textstyle y_ {k+1}=n-\sum _{i=1}^{k}y_{i}} staw$ tylny ${\ displaystyle X | Y}$ jest uogólnionym rozkładem Dirichleta z

{\ Displaystyle X \ środkowy Y \ sim GD_ {k} \ lewo ({\ alfa '} _ {1},\ldots,{\alpha '}_{k};{\beta'}_{1},\ldots,{\beta '}_{k}\right)}

gdzie ${\ Displaystyle {\ alfa '} _ {j} = \ alfa _ {j} + y_ {j}}$ i ${\ Displaystyle {\ beta '} _ {j} = \ beta _ {j} + \ suma _ {i = j + 1} ^ {k + 1} y_ {i}}$ przez ${\ displaystyle 1 \ leqslant k.}$

Próbkowanie eksperymentu

Wong podaje następujący system jako przykład tego, jak różnią się rozkłady Dirichleta i uogólnione rozkłady Dirichleta. Twierdzi, że duża urna zawiera $kulki$ różnych Proporcja każdego koloru jest nieznana. Napisz $, \ ldots, X_ {k})}$ ${1}$ dla proporcji kulek z kolorem urnie.

Eksperyment 1 . Analityk 1 uważa, że ${\ Displaystyle X \ sim D (\ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {k}, \ alfa _ { k + 1})}$ (tj. Dirichlet z parametrami ${\ displaystyle \ alpha _ {i}$ $}$ . $}$ analityk wykonuje $szklane$ pudełka i umieszcza kolorowe kulki w pudełku $($ jest to $displaystyle k$ przyjęto, że są $Displaystyle$ liczby całkowite $\ geq 1}$ ). Następnie analityk 1 wyciąga piłkę z urny, obserwuje jej kolor (powiedzmy kolor $i$ umieszcza ją w pudełku ${\ displaystyle j}$ . Może zidentyfikować właściwe pudełko, ponieważ są przezroczyste i widoczne są kolory kulek w środku. Proces trwa do momentu $piłek$ . Późniejszy rozkład to Dirichlet z parametrami będącymi liczbą kulek w każdym pudełku.

Eksperyment 2 . Analityk 2 uważa, że jest zgodny z uogólnionym rozkładem Dirichleta: $X$ $\ Displaystyle X \ sim GD (\ alpha _ {$ . Ponownie przyjmuje się, że wszystkie parametry są dodatnimi liczbami całkowitymi. Analityk $_$ pudełka Pudełka mają dwa obszary: jeden na kulki i jeden na kulki. Kule są kolorowe, ale kulki nie są kolorowe. Następnie dla ${\ Displaystyle j = 1, \ ldots, k}$ $kładzie$ $} \ displaystyle \ beta _ {j}}$ kulki β jot $displaystyle$ kulki, do pudełka ${\ displaystyle j}$ . Następnie umieszcza kolorową kulkę w pudełku $k + 1$ $}$ displaystyle Następnie analityk losuje kulę z urny. Ponieważ pudełka są drewniane, analityk nie może powiedzieć, do którego pudełka włożyć piłkę (jak mógł to zrobić w eksperymencie 1 powyżej); ma też słabą pamięć i nie pamięta, w którym pudełku znajdują się kolorowe kulki. Musi odkryć, do którego pudełka należy włożyć piłkę. Robi to, otwierając pudełko 1 i porównując znajdujące się w nim kule z wylosowaną kulą. Jeśli kolory się różnią, pudełko jest niewłaściwe. Analityk umieszcza kulkę (sic) w pudełku 1 i przechodzi do pudełka 2. Powtarza ten proces, aż kule w pudełku będą pasować do wylosowanej kuli, w którym to momencie umieszcza piłkę (sic) w pudełku z innymi kulami pasujący kolor. Analityk następnie losuje kolejną kulę z urny i powtarza, aż $wylosowane$ kule. Tylny jest następnie uogólniony Dirichlet z parametrami $będącymi$ $piłek$ i liczbą kulek w każdym pudełku

Zauważ, że w eksperymencie 2 zmiana kolejności pól ma nietrywialny efekt, w przeciwieństwie do eksperymentu 1.

Zobacz też