Dystrybucja Lévy'ego

Aby zapoznać się z bardziej ogólną rodziną rozkładów alfa-stabilnych Lévy'ego, których ta dystrybucja jest przypadkiem szczególnym, zobacz dystrybucję stabilną .

Levy (bez zmiany)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Funkcja dystrybucji skumulowanej
Parametry	lokalizacja; ${\ Displaystyle \ mu}$${\ displaystyle c> 0 \,}$ skala
Wsparcie	${\ Displaystyle x \ w [\ mu, \ infty)}$
PDF	${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {c} {2 \ pi}}} ~ ~ {\ Frac {e ^ {- { \frac {c}{2(x-\mu)}}}}{(x-\mu)^{3/2}}}}$
CDF	${\ Displaystyle {\ textrm {erfc}} \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \ prawej)}$
kwantyl	${\ Displaystyle \ mu + {\ Frac {\ sigma} {2 \ lewo ({\ textrm {erfc}} ^ {- 1} (p) \ prawej) ^ {2}}}}$
Mieć na myśli	${\ Displaystyle \ infty}$
Mediana	${\ Displaystyle \ mu + c/2 ({\ textrm {erfc}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \, }$
Tryb	${\ Displaystyle \ mu + {\ Frac {c} {3}}}$
Zmienność	${\ Displaystyle \ infty}$
Skośność	nieokreślony
Były. kurtoza	nieokreślony
Entropia	${\ Displaystyle {\ Frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}}}$ gdzie jest stałą Eulera $Mascheroniego$
MGF	nieokreślony
CF	${\ Displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}}$

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce rozkład Lévy'ego , nazwany na cześć Paula Lévy'ego , jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa dla nieujemnej zmiennej losowej . W spektroskopii ten rozkład, z częstotliwością jako zmienną zależną, jest znany jako profil van der Waalsa . Jest to szczególny przypadek odwrotnego rozkładu gamma . Jest to stabilna dystrybucja .

Definicja

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Lévy'ego w domenie wynosi x $\ Displaystyle x \ geq \ mu}$

${\ Displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ sqrt {\ Frac {c }{2\pi}}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu)}}}}{(x-\mu)^{3/2}} }}$

gdzie jest parametrem $lokalizacji$$_$ parametrem skali . _ Skumulowana funkcja dystrybucji to

${\ Displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ textrm {erfc }}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu)}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x- \mu )}}}\prawo)}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ textrm {erfc}} (z)}$ jest komplementarną funkcją błędu i jest funkcją Laplace'a (CDF standardowego rozkładu normalnego) ${\ Displaystyle \ Phi (x)}$ . $μ { \ displaystyle \ mu}$ przesunięcia powoduje przesunięcie krzywej w prawo o pewną ilość $mu}$ zmianę wsparcia na przedział [ ${\ displaystyle \$ , ${\ displaystyle \ infty}$ ). Podobnie jak wszystkie rozkłady stabilne , rozkład Levy'ego ma postać standardową f(x;0,1), która ma następującą właściwość:

${\ Displaystyle f (x; \ mu, c) dx = f (y; 0,1) dy \,}$

gdzie y jest zdefiniowane jako

${\ Displaystyle y = {\ Frac {x- \ mu} {c}} \,}$

Charakterystyczną funkcję rozkładu Lévy'ego podaje wzór

${\ Displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}$

Zauważ, że funkcję charakterystyczną można również zapisać w tej samej postaci, co w przypadku rozkładu stabilnego, gdzie ${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$ i ${\ displaystyle \ beta = 1}$ :

${\ Displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {znak}} (t))}. }$

Zakładając , że n -ty moment niezmiennego rozkładu Lévy'ego jest formalnie zdefiniowany przez: ${\ displaystyle \ mu = 0}$

$}} {=}} \ {\ sqrt {\frac {c}{2\pi}}}\int _{0}^{\infty}}{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3 /2}}}\,dx}$

który jest rozbieżny dla wszystkich $Lévy'ego$ nie istnieją (tylko niektóre momenty ułamkowe

Funkcja generująca moment byłaby formalnie zdefiniowana przez:

${\ Displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}\int _{0}^{\infty}}{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^ {3/2}}}\,dx}$

jednak jest to rozbieżne dla $zdefiniowana$ dlatego nie jest zdefiniowane w przedziale wokół zera, więc funkcja generująca moment nie jest se .

Podobnie jak wszystkie stabilne rozkłady z wyjątkiem rozkładu normalnego , skrzydło funkcji gęstości prawdopodobieństwa wykazuje opadanie ciężkiego ogona zgodnie z prawem potęgowym:

${\ Displaystyle f (x; \ mu, c) \ sim {\ sqrt {\ Frac {c} {2 \ pi}}} {\ Frac {1} {x ^ {3/2}}}}$ jak ${\ Displaystyle x \ do \ infty,}$

co pokazuje, że Lévy jest nie tylko gruboogoniasty , ale także gruboogoniasty . Ilustruje to poniższy diagram, na którym funkcje gęstości prawdopodobieństwa dla różnych wartości c $na$ są wykreślone wykresie log-log

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu Lévy'ego na wykresie log-log

Standardowy rozkład Lévy'ego spełnia warunek stabilności

${\ Displaystyle (X_ {1} + X_ {2} + \ kropka + X_ {n}) \ sim n ^ {1 / \ alfa} X}$ ,

gdzie $, X_ {n}, X} są niezależnymi$${\ styl wyświetlania \alpha =1/2}$ zmiennymi Lévy'ego z .

Powiązane dystrybucje

• ${\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Opłata}} (\ mu, c)$ do to ${ \ Displaystyle kX + b \, \ sim \, {\ textrm {opłata}} (k \ mu + b, kc)}$
• 
  ${\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Opłata}} (0, c)}$ do X ${\ Displaystyle X \, \sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})} ( odwrotny$ rozkład gamma ) W tym przypadku rozkład Lévy'ego jest szczególnym przypadek rozkładu typu V Pearsona
• ${\ Displaystyle \, Y \, \ sim \, {\ textrm {Normalny}} (\ mu, \ sigma)}$ Normalny Rozkład normalny ) to ${\ Displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ \ sim \ {\ textrm {opłata}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}$
• Jeśli $_$ _ ${\ Displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \, \ sim \, {\ textrm {Opłata}} (0, \ sigma)}$
• Jeśli ${\ Displaystyle X \ \ sim \ {\ textrm {Opłata}} (\ mu, c)}$ to ${\ displaystyle X\,\sim \,{\textrm {stabilny}}(1/2,1,c,\mu)}$ ( rozkład stabilny )
• ${\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Opłata}} (0, c)}$ do to ${\ Displaystyle X \ ,\sim \,{\textrm {Rozkład-skali-}}\chi ^{2}(1,c)}$ ( Rozkład skalowany-odwrotny-chi-kwadrat )
• Jeśli ${\ Displaystyle X \ \ sim \ {\ textrm {Opłata}} (\ mu, c)}$ to ${\ Displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}$ ( Złożony rozkład normalny )

Losowe generowanie próbek

Losowe próbki z rozkładu Lévy'ego można wygenerować przy użyciu próbkowania z odwrotną transformacją . Biorąc pod uwagę losową zmienną U wyciągniętą z rozkładu jednorodnego w przedziale jednostkowym (0, 1], zmienna X określona przez

${\ Displaystyle X = F ^ {- 1} (U) = {\ Frac {c} {(\ Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

ma rozkład Lévy'ego z lokalizacją i skalą do $}$$\ displaystyle \ mu$ . Tutaj $dystrybucji$ funkcją normalnego .

Aplikacje

• , że częstotliwość zmian geomagnetycznych jest zgodna z rozkładem Lévy'ego
• Czas uderzenia w $c = \ alpha ^ {2}}$ punkt w odległości od punktu początkowego ruchem Browna ma rozkład Lévy'ego z $displaystyle$ . (W przypadku ruchu Browna z dryfem czas ten może następować po odwrotnym rozkładzie Gaussa , którego granicą jest rozkład Lévy'ego).
• Długość ścieżki, po której podąża foton w mętnym ośrodku, jest zgodna z rozkładem Lévy'ego.
• Proces Cauchy'ego można zdefiniować jako ruch Browna podporządkowany procesowi związanemu z rozkładem Lévy'ego.

Notatki

• „Informacje o stabilnych dystrybucjach” . Źródło 5 września 2021 r . - Wprowadzenie Johna P. Nolana do rozkładów stabilnych, kilka artykułów na temat praw stabilności oraz darmowy program do obliczania gęstości stabilnych, funkcji rozkładu skumulowanego, kwantyli, parametrów estymacji itp. Patrz zwłaszcza Wprowadzenie do rozkładów stabilnych, rozdział 1

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Dystrybucja opłat” . MathWorld .