Dystrybucja Kaniadakisa Erlanga

Rozkład κ -Erlanga

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Wykres rozkładu κ-Erlanga dla typowych wartości κ i n=1, 2,3. Przypadek κ=0 odpowiada zwykłemu rozkładowi Erlanga.
Parametry	${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ kappa <1}$${\ Displaystyle n = {\ textrm {dodatni}} \, \, {\ textrm {liczba całkowita}}}$
Wsparcie	${\ Displaystyle x \ w [0, + \ infty)}$
PDF	${\ Displaystyle \ prod _ {m = 0} ^ {n} \ lewo [1 + (2m-n) \ kappa \ prawej] {\ Frac {x ^ {n-1}} { (n-1)!}}\exp _{\kappa }(-x)}$
CDF	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }( -z)dz}$

${ \displaystyle \nu =n=}$ Kaniadakisa Erlanga $=$ lub rozkład κ-Erlang Gamma ) rodzina ciągłych rozkładów statystycznych , co jest przypadkiem rozkładu κ-Gamma , gdy i dodatnia liczba całkowita. Pierwszym członkiem tej rodziny jest κ-wykładniczy rozkład typu I. κ-Erlang jest κ-zniekształconą wersją rozkładu Erlanga . Jest to jeden z przykładów dystrybucji Kaniadakisa .

Charakteryzacja

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Kaniadakisa κ -Erlang ma następującą funkcję gęstości prawdopodobieństwa :

${\ Displaystyle f_ {_ {\ kappa}} (x) = {\ Frac {1} {(n -1)!}}\prod _{m=0}^{n}\left[1+(2m-n)\kappa \right]x^{n-1}\exp _{\kappa }(-x )}$

ważne dla ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ i ${\ Displaystyle n = {\ textrm {dodatnia}} \, \, {\ textrm {liczba całkowita}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik | \ kappa | <1}$ to indeks entropiczny powiązany z entropią Kaniadakisa .

Zwykły rozkład Erlanga jest odzyskiwany jako ${\ displaystyle \ kappa \ rightarrow 0}$ .

Dystrybuanta

Skumulowana funkcja dystrybucji rozkładu κ -Erlanga przyjmuje postać:

${\ Displaystyle F _ {\ kappa} (x) = {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ prod _ {m = 0} ^ {n} \ lewo [1 + (2m-n) \ kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz}$

ważne dla ${\ displaystyle x \ geq 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik | \ kappa | <1}$ . Skumulowany rozkład Erlanga jest odzyskiwany w klasycznej granicy ${\ displaystyle \ kappa \ rightarrow 0}$ .

Rozkład przeżycia i funkcje hazardu

Funkcja przeżycia rozkładu κ -Erlanga jest dana wzorem:

${\ Displaystyle S _ {\ kappa} (x) = 1 - {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ prod _ {m = 0} ^ {n} \ lewo [1 + (2m-n) )\kappa \right]\int _{0}^{x}z^{n-1}\exp _{\kappa }(-z)dz}$

Funkcja przetrwania rozkładu κ -Erlanga umożliwia wyznaczenie funkcji hazardu w postaci zamkniętej poprzez rozwiązanie równania współczynnika κ :

${\ Displaystyle {\ Frac {S _ {\ kappa} (x)} {dx}} = - h _ {\ kappa} S_ {\ kappa} (x )}$

gdzie $hazardu$ .

Dystrybucja rodzinna

Rodzina rozkładów κ $≤$ z rozkładu κ $-Erlanga ,$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik | \ kappa | <1}$ powiązany z określoną wartością ważną dla i . Tacy członkowie są określani na podstawie κ -Erlanga, który można zapisać jako:

${\ Displaystyle F _ {\ kappa} (x) = 1- \ lewo [R_{\kappa }(x)+Q_{\kappa}(x){\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right]\exp _{\kappa }(-x )}$

Gdzie

${\ Displaystyle Q _ {\ kappa} (x) = N_{\kappa }\sum _{m=0}^{n-3}\left(m+1\right)c_{m+1}x^{m}+{\frac {N_{\kappa }} {1-n^{2}\kappa ^{2}}}x^{n-1}}$

${\ Displaystyle R _ {\ kappa} (x) = N _ {\ kappa} \ suma _ {m = 0} ^ {n} c_ {m} x ^ {m} }$

z

${\ Displaystyle N _ {\ kappa} = {\ Frac {1} {(n-1)!}} \ prod _ {m = 0} ^ {n } \ lewo [1 + (2m-n) \ kappa \ prawej]}$

${\ Displaystyle c_ {n} = {\ Frac {n \ kappa ^ {2}} { 1-n^{2}\kappa ^{2}}}}$

${\ Displaystyle c_ {n-1} = 0}$

${\ Displaystyle c_ {n-2 }={\frac {n-1}{(1-n^{2}\kappa ^{2})[1-(n-2)^{2}\kappa ^{2}]}}}$

${\ Displaystyle c_ {m} = {\ Frac {(m + 1) (m + 2)} {1-m ^ {2} \ kappa ^{2}}}c_{m+2}\quad {\textrm {for}}\quad 0\równoważnik m\równoważnik n-3}$

Pierwszy członek

Pierwszym członkiem ( ${\ displaystyle n = 1}$ ) rodziny κ -Erlang jest rozkład wykładniczy κ typu I, w którym funkcja gęstości prawdopodobieństwa i funkcja dystrybucji skumulowanej są zdefiniowane jako:

${\ Displaystyle f_ {_ {\ kappa}} (x) = (1- \ kappa ^ {2}) \ exp _ {\ kappa }(-x)}$

${\ Displaystyle F _ {\ kappa} (x) = 1- {\ duży (}{\ sqrt {1 + \ kappa ^ {2} x ^ {2}}} + \ kappa ^ {2} x {\ duży) }\exp _{k}({-x)}}$

Drugi członek

Drugi członek ( ${\ displaystyle n = 2}$ ) rodziny κ -Erlang ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa i funkcję dystrybucji skumulowanej zdefiniowaną jako:

${\ Displaystyle f_ {_ {\ kappa}} (x) = (1-4 \ kappa ^ {2}) \ x \,\exp _ {\kappa }(-x)}$

${\ Displaystyle F _ {\ kappa} (x) = 1 - \ lewo (2 \ kappa ^ {2} x ^ {2} + 1 + x {\ sqrt {1 + \ kappa ^ { 2}x^{2}}}\prawo)\exp _{k}({-x)}}$

Trzeci członek

Drugi element ( ) ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa i funkcję dystrybucji skumulowanej zdefiniowaną jako: ${\ displaystyle n = 3}$

${\ Displaystyle f_ {_ {\ kappa}} (x) = {\ Frac {1 }{2}}(1-\kappa ^{2})(1-9\kappa ^{2})\,x^{2}\,\exp _{\kappa }(-x)}$

${\ Displaystyle F _ {\ kappa} (x) = 1-\lewo\{{\frac {3}{2}}\kappa ^{2}(1-\kappa ^{2})x^{3}+x+\left[1+{\frac {1} {2}}(1-\kappa ^{2})x^{2}\right]{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}\right\}\exp _{\ kappa }(-x)}$

Powiązane dystrybucje

• Rozkład κ -wykładniczy typu I jest szczególnym przypadkiem rozkładu κ -Erlanga, gdy ${\ displaystyle n = 1}$ ;
• Rozkład κ $= 1}$ odpowiada am zwykłemu rozkładowi wykładniczemu, gdy { $n$ ;

Zobacz też

• Giorgio Kaniadakisa
• Statystyki Kaniadakisa
• Dystrybucja Kaniadakisa
• Kaniadakis κ-rozkład wykładniczy
• Rozkład Kaniadakisa κ-Gaussa
• Rozkład Kaniadakisa κ-Gamma
• Rozkład Kaniadakisa κ-Weibulla
• Kaniadakis κ-Logistyczna dystrybucja

Linki zewnętrzne

• Statystyki Kaniadakisa na arXiv.org