Uogólniony rozkład chi-kwadrat

Uogólniony rozkład chi-kwadrat

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Funkcja dystrybucji skumulowanej
Notacja	${\ Displaystyle {\ tylda {\ chi}} ^ {2} ({\ boldsymbol {w}}, {\ boldsymbol {k}}, {\ boldsymbol { \lambda }},m,s)}$
Parametry	${\ Displaystyle {\ boldsymbol {w}}}$ , wektor wag niecentralnych składowych chi-kwadrat ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {k}}}$ , wektor stopni swobody niecentralnych składowych chi-kwadrat ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}}}$ , wektor niecentralnych parametrów składowych chi-kwadrat $Displaystyle$ średnia wyrażenia normalnego $s}$ , sd wyrażenia normalnego
Wsparcie	${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R}}$
Mieć na myśli	${\ Displaystyle \ suma _ {j} w_ {j} (k_ {j} + \ lambda _ {j}) + m}$
Zmienność	${\ Displaystyle 2 \ suma _ {j} w_ {j} ^ {2} (k_ {j} + 2 \ lambda _ {j}) + s^{2}}$
CF	${\ Displaystyle {\ Frac {\exp \left(imt+it\sum _{j}{\frac {w_{j}\lambda _{j}}{1-2iw_{j}t}}-{\frac {s^{2} t^{2}}{2}}\right)}{\prod _{j}\left(1-2iw_{j}t\right)^{k_{j}/2}}}}$

W teorii prawdopodobieństwa i statystyce uogólniony rozkład chi-kwadrat (lub uogólniony rozkład chi-kwadrat ) jest rozkładem formy kwadratowej zmiennej wielonormalnej (wektor normalny) lub liniową kombinacją różnych zmiennych normalnych i kwadratów zmiennych normalnych. Równoważnie, jest to również liniowa suma niezależnych niecentralnych zmiennych chi-kwadrat i zmiennej normalnej . Istnieje kilka innych takich uogólnień, dla których czasami używa się tego samego terminu; niektóre z nich to szczególne przypadki omawianej tu rodziny, na przykład rozkład gamma .

Definicja

Uogólnioną zmienną chi-kwadrat można opisać na wiele sposobów. Jednym z nich jest zapisanie go jako sumy liniowej niezależnych niecentralnych zmiennych chi-kwadrat i zmiennej normalnej:

${\ Displaystyle \ xi = \ suma _ {i} w_ {i} y_ {i} + x, \ quad y_ {i} \ sim \ chi '^ {2} (k_ {i}, \ lambda _ {i} ),\quad x\sim N(m,s^{2}).}$

$\$ wagi , stopnie swobody $składnika$ niecentralności w $displaystyle w_ {i$$s}$ i normalne parametry $displaystyle$ s {\ . Niektóre ważne szczególne przypadki tego mają wszystkie wagi $znaku$ lub mają centralne składowe chi-kwadrat lub pomijają normalny wyraz.

Ponieważ niecentralna zmienna chi-kwadrat jest sumą kwadratów zmiennych normalnych o różnych średnich, uogólniona zmienna chi-kwadrat jest również definiowana jako suma kwadratów niezależnych zmiennych normalnych plus niezależna zmienna normalna: tj. kwadratowy w normalnych zmiennych.

Innym równoważnym sposobem jest sformułowanie go jako kwadratowej formy wektora normalnego: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}}}$ :

${\ Displaystyle \ xi = q ({\ boldsymbol {x}}) = {\ boldsymbol {x}} '\ mathbf {Q_ {2 }} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}}}'{\boldsymbol {x}}+q_{0}}$ .

Tutaj $\ mathbf {Q_ {2}}}$${1}$ jest macierzą, $}}}$ jest wektorem i jest skalar. Te, wraz ze średnią $}$ normalnego i macierzą kowariancji $Displaystyle \ mathbf {\ Sigma$$}$ , parametryzować dystrybucję. Parametry pierwszego wyrażenia (pod względem niecentralnych chi-kwadratów, normalnej i stałej) można obliczyć za pomocą parametrów drugiego wyrażenia (postać kwadratowa wektora normalnego). Jeśli (i tylko wtedy) $w$ tym sformułowaniu jest $}$ określony , to wszystkie w pierwszym sformułowaniu będą miały ten sam znak w .

W najbardziej ogólnym przypadku można dokonać redukcji w kierunku wspólnego formularza standardowego, stosując reprezentację następującego formularza:

${\ Displaystyle X = (z + a) ^ { \mathrm {T} }A(z+a)+c^{\mathrm {T} }z=(x+b)^{\mathrm {T}}D(x+b)+d^{\mathrm { T} }x+e,}$

gdzie D jest macierzą diagonalną, a x reprezentuje wektor nieskorelowanych standardowych normalnych zmiennych losowych.

Obliczanie pdf/cdf/odwrotnego cdf/liczb losowych

Funkcje gęstości prawdopodobieństwa, rozkładu skumulowanego i odwrotności rozkładu skumulowanego uogólnionej zmiennej chi-kwadrat nie mają prostych wyrażeń w postaci zamkniętej. Jednak algorytmy numeryczne i kod komputerowy ( Fortran i C , Matlab , R , Python ) zostały opublikowane w celu oceny niektórych z nich i wygenerowania losowych próbek.

W przypadku, gdy możliwe jest uzyskanie dokładnego wyrażenia na średnią i wariancję , $\$ pokazano w $boldsymbol {q_ {1}}}} = 0}$ artykuł o formach kwadratowych .

Aplikacje

Uogólniony chi-kwadrat to rozkład szacunków statystycznych w przypadkach, w których nie obowiązuje zwykła teoria statystyczna , jak w poniższych przykładach.

W dopasowaniu i doborze modelu

Jeśli model predykcyjny jest dopasowany metodą najmniejszych kwadratów , ale reszty mają albo autokorelację , albo heteroskedastyczność , to alternatywne modele można porównać (w wyborze modelu ) przez odniesienie zmian sumy kwadratów do asymptotycznie ważnego uogólnionego rozkładu chi-kwadrat.

Klasyfikacja wektorów normalnych za pomocą analizy dyskryminacyjnej Gaussa

Jeśli jest $normalnym$$jest$ jego logarytm prawdopodobieństwa jest formą kwadratową , a zatem rozłożony jako uogólniony chi-kwadrat. Logarytmiczny współczynnik wiarygodności, który wynika z jednego rozkładu normalnego w porównaniu z innym, jest również $kwadratową$ , więc ma rozkład jako uogólniony chi-kwadrat.

W analizie dyskryminacyjnej Gaussa próbki z rozkładów wielonormalnych są optymalnie oddzielane przy użyciu klasyfikatora kwadratowego , granicy będącej funkcją kwadratową (np. krzywa zdefiniowana przez ustawienie ilorazu wiarygodności między dwoma gaussami na 1). Stopy błędów klasyfikacji różnych typów (fałszywie dodatnie i fałszywie ujemne) są całkami rozkładów normalnych w obszarach kwadratowych zdefiniowanych przez ten klasyfikator. Ponieważ jest to matematycznie równoważne całkowaniu postaci kwadratowej wektora normalnego, wynikiem jest całka uogólnionej zmiennej chi-kwadrat.

W przetwarzaniu sygnału

Następująca aplikacja pojawia się w kontekście analizy Fouriera w przetwarzaniu sygnałów , teorii odnawiania w teorii prawdopodobieństwa oraz systemów wieloantenowych w komunikacji bezprzewodowej . Wspólnym czynnikiem tych obszarów jest to, że ważna jest suma zmiennych o rozkładzie wykładniczym (lub identycznie suma kwadratów wielkości zespolonych zmiennych Gaussa o kołowo-symetrycznej środku ).

mean 0 and variance Z ${\ displaystyle Z_ {i}}$ są k niezależnych , kołowo-symetrycznych złożonych zmiennych losowych Gaussa ze $\sigma _{i}^{2}$, then the random variable

${\ Displaystyle {\ tylda {Q}} = \ suma _ {i = 1} ^ {k} | Z_ {i} | ^ {2}}$

ma uogólniony rozkład chi-kwadrat określonej postaci. Różnica w stosunku do standardowego rozkładu chi-kwadrat polega na tym, że $A$ złożone i mogą mieć różne wariancje, a różnica w stosunku do bardziej ogólnego rozkładu chi-kwadrat polega na tym, że odpowiednia macierz jest ukośna . Jeśli $\ mu = \ sigma _ {i} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tylda {Q}}$$} displaystyle \ mu / 2}$ wszystkich ja , to zmniejszone o $)$ . pomnożone przez , ma rozkład chi-kwadrat χ $\ Displaystyle \ chi ^ {2} (2k)$ } znany również jako rozkład Erlanga . Jeśli mają różne wartości dla wszystkich ja , to ma pdf $}$$^ {2}$

${\ Displaystyle f (x; k, \ sigma _ {1} ^ {2}, \ ldots, \ sigma _ {k} ^ {2}) = \ suma _ {i = 1} ^ { k}{\frac {e^{-{\frac {x}{\sigma _{i}^{2}}}}}{\sigma _{i}^{2}\prod _{j=1, j\neq i}^{k}\left(1-{\frac {\sigma _{j}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}\right)}}\quad { \text{dla }}x\geq 0.}$

Jeśli istnieją zestawy powtarzających się wariancji między $załóżmy$ że są one podzielone na M zestawów, z każdy reprezentuje określoną wartość wariancji. Oznacz liczbę powtórzeń ${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (r_ {1}, r_ {2}, \ kropki, r_ {M})}$ w każdej grupie. Oznacza to, że m $zmienne ,$ ty zestaw zawiera mają wariancję ${\ displaystyle \ sigma _ {m} ^ {2}.}$ Reprezentuje dowolną liniową kombinację niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie ${\ displaystyle \ chi ^ {2}} o różnych stopniach swobody: χ 2 {\ displaystyle \ chi ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ tylda {Q}} = \ suma _ {m = 1} ^ {M} \ sigma _ {m} ^ {2}/2 * Q_ {m}, \ quad Q_ {m} \ sim \ chi ^{2}(2r_{m})\,.}$

Plik pdf z ${\ displaystyle {\ tylda {Q}}}$ jest

${\ Displaystyle f (x; \ mathbf {r} \ sigma _ {1} ^ {2} \ kropki \ sigma _ {M }^{2})=\prod _{m=1}^{M}{\frac {1}{\sigma _{m}^{2r_{m}}}}\suma _{k=1}^ {M}\sum _{l=1}^{r_{k}}{\frac {\Psi _{k,l,\mathbf {r}}}{(r_{k}-l)!}}( -x)^{r_{k}-l}e^{-{\frac {x}{\sigma _{k}^{2}}}},\quad {\text{ dla }}x\geq 0 ,}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Psi _ {k, l, \ mathbf {r}} = (-1) ^ {r_ {k} -1} \ suma _ {\ mathbf {i} \ w \ Omega _{k,l}}\prod _{j\neq k}{\binom {i_{j}+r_{j}-1}{i_{j}}}\left({\frac {1}{ \sigma _{j}^{2}}}\!-\!{\frac {1}{\sigma _{k}^{2}}}\right)^{-(r_{j}+i_{ J})},}$

z ${\ Displaystyle \ mathbf {i} = [i_ {1}, \ ldots, i_ {M}] ^ {T}}$ ze zbioru $, l}}$${\ displaystyle \ Omega _ {$$)$ wszystkich partycji (z jako ja $i_ {k} = 0}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {k, l} = \ lewo \ {[i_ {1}, \ ldots, i_ {m}] \ w \ mathbb {Z} ^ {m}; \ suma _ {j = 1} ^{M}i_{j}\!=l-1,i_{k}=0,i_{j}\geq 0{\text{dla wszystkich}}j\prawo\}.}$

Zobacz też

• Stopnie swobody (statystyka)#Alternatywa
• Niecentralny rozkład chi-kwadrat
• Rozkład chi-kwadrat

Linki zewnętrzne

• Davies, RB: kod źródłowy Fortran i C dla „Liniowej kombinacji zmiennych losowych chi-kwadrat”
• Das, A: kod MATLAB do obliczania statystyk, pdf, cdf, odwrotności cdf i liczb losowych uogólnionego rozkładu chi-kwadrat.