Rozkład Gamma Kaniadakisa

κ -Rozkład Gamma

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Parametry	${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ kappa <1}$${\ Displaystyle \ alfa> 0}$ kształt ( rzeczywisty ) ${\ Displaystyle \ beta> 0}$ wskaźnik ( rzeczywisty ) ${ \displaystyle 0<\nu <1/\kappa}$
Wsparcie	${\ Displaystyle x \ w [0, + \ infty)}$
PDF	${\ Displaystyle (1+ \ kappa \ nu ) (2 \ kappa ) ^ {\ nu } {\ Frac {\ Gamma {\ duży (} {\ Frac {1} {2 \ kappa}} + {\ frac {\ nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa}}-{\frac {\nu}{2}}{\big)}} }{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big)}}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa}( -\beta x^{\alfa})}$
CDF	${\ Displaystyle (1+ \ kappa \ nu ) (2 \ kappa ) ^ {\ nu } {\ Frac {\ Gamma {\ duży (} {\ Frac {1} {2 \ kappa}} + {\ frac { \nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )} }}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha})dz}$
Tryb	${\ Displaystyle \ beta ^ {- 1 / \ alfa} {\ Bigg (} \ nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu - {\frac {1}{\alpha}}{\bigg }}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha}}}}$
Metoda chwil	${\ Displaystyle \ beta ^ {-m / \ alfa} {\ Frac {(1+ \ kappa \ nu) (2 \ kappa) ^ {-m / \ alfa}} {1+ \ kappa {\ duży (} \ nu +{\frac {m}{\alpha}}{\big }}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha}}{\big)} }{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa}}+{\frac {\nu }{2}}{\Big)} }{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big ( }{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha}}{\Big )}}}}$

Uogólniony rozkład gamma Kaniadakisa ( lub κ-uogólniony rozkład gamma ) to czteroparametrowa rodzina ciągłych rozkładów statystycznych , obsługiwana na półnieskończonym przedziale [0, ∞), która wynika ze statystyki Kaniadakisa . Jest to jeden z przykładów dystrybucji Kaniadakisa . κ-Gamma jest deformacją ogólnego rozkładu gamma .

Definicje

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Kaniadakisa κ -Gamma ma następującą funkcję gęstości prawdopodobieństwa :

${\ Displaystyle f_ {_ {\ kappa}} (x) = (1+ \ kappa \ nu) (2 \ kappa) ^ {\ nu } {\ Frac {\ Gamma {\ duży (} {\ frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\ frac {\nu }{2}}{\big }}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{ \alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$

ważne dla ${\ Displaystyle x \ geq 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik | \ kappa | <1}$ to indeks entropiczny związany z entropią Kaniadakisa , ${\ Displaystyle 0 <\ nu <1/\ kappa}$ , ${\ Displaystyle \beta> 0}$$parametr$ skali, a to parametr kształtu

Zwykły uogólniony rozkład Gamma jest odzyskiwany jako ${\ Displaystyle \ kappa \ rightarrow 0}$ : ${\ Displaystyle f_ {_ {0}} (x) = {\ Frac {|\ alfa | \ beta ^ {\ nu}} {\Gamma \left(\nu \right)}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa}(-\beta x^{\alpha})}$ .

Dystrybuanta

Skumulowana funkcja dystrybucji rozkładu κ -Gamma przyjmuje postać:

${\ Displaystyle F _ {\ kappa} (x) = (1 + \ kappa \ nu) (2 \ kappa) ^ {\ nu} {\ Frac {\ Gamma {\ duży (} {\ frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{ \frac {\nu }{2}}{\big }}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha})dz}$

ważne dla ${\ displaystyle x \ geq 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik | \ kappa | <1}$ . Skumulowany uogólniony rozkład gamma jest odzyskiwany w klasycznej granicy ${\ displaystyle \ kappa \ rightarrow 0}$ .

Nieruchomości

Chwile i tryb

Rozkład κ -Gamma ma moment rzędu określony przez ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [X ^ {m}] = \ beta ^ {-m / \ alfa} {\ Frac {(1 + \ kappa \ nu) (2 \ kappa) ^ {- m / \ alfa }}{1+\kappa {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha}}{\big )}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu}{2}}{\Duża}}}{\Gamma {\Duża (}{\frac {1}{2\kappa}}-{\frac {\nu}{2}}{\Duża) }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha} }{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Duży )}}}}$

Moment porządku $rozkładu$ -Gamma jest skończony dla $1/\ kappa}$ < .

Tryb jest podany przez:

${\ Displaystyle x_ {\ textrm {tryb}} = \ beta ^ {- 1/\alpha }{\Bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha }}}}$

Zachowanie asymptotyczne

Rozkład κ -Gamma zachowuje się asymptotycznie w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do + \ infty} f _ {\ kappa} (x) \ sim (2 \ kappa \ beta) ^ {- 1 / \ kappa }(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu} {2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big)}}}{ \frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big)}}}x^{\alpha \nu -1-\alpha /\kappa}}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do 0 ^ {+}} f _ {\ kappa} (x) = (1 + \ kappa \ nu) (2 \ kappa) ^ {\ nu } {\ Frac {\ Gamma { \big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2 \kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alfa \nu -1}}$

Powiązane dystrybucje

• Rozkłady κ -Gamma to uogólnienie:
  • κ - Rozkład wykładniczy typu I , gdy ${\ Displaystyle \ alpha = \ nu = 1}$ ;
  • Rozkład Kaniadakisa κ -Erlanga , gdy $całkowita$ liczba i $\ nu = n =}$
  • $}$ / { $=$ ;
• Rozkład κ -Gamma odpowiada kilku rozkładom prawdopodobieństwa, gdy ${\ displaystyle \ kappa = 0}$ , na przykład: κ = {\ displaystyle \ kappa = 0}
  • Rozkład gamma , gdy ${\ Displaystyle \ alpha = 1}$ ;
  • Rozkład wykładniczy , gdy ${\ Displaystyle \ alpha = \ nu = 1}$ ;
  • $\ displaystyle \ nu = n =}$ Erlanga , gdy i ${$ całkowita;
  • $nu =}$ chi-kwadrat , gdy i ${\ displaystyle$ pół liczby całkowitej
  • Dystrybucja Nakagami $nu > 0}$ kiedy i $Displaystyle$ ;
  • Rozkład Rayleigha , kiedy i $Displaystyle$$nu = 1$ ;
  • $\ displaystyle$ chi , gdy i pół liczby całkowitej; $alpha = 2}$
  • $nu =$ gdy i $3/2 {\ Displaystyle$ }
  • $Displaystyle \ nu = 1/2$ półnormalny gdy i $2 {$ }
  • Rozkład Weibulla , gdy i $1$$nu = 1$ ;
  • Rozciągnięty rozkład wykładniczy, gdy i $\$$Displaystyle \ nu = 1/\$ ;

Zobacz też

• Giorgio Kaniadakisa
• Statystyki Kaniadakisa
• Dystrybucja Kaniadakisa
• Kaniadakis κ-rozkład wykładniczy
• Rozkład Kaniadakisa κ-Gaussa
• Rozkład Kaniadakisa κ-Weibulla
• Kaniadakis κ-Logistyczna dystrybucja
• Rozkład Kaniadakisa κ-Erlanga

Linki zewnętrzne

• Statystyki Kaniadakisa na arXiv.org