Rozszerzony ujemny rozkład dwumianowy

W prawdopodobieństwie i statystyce rozszerzony ujemny rozkład dwumianowy jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa rozszerzającym ujemny rozkład dwumianowy . Jest to skrócona wersja ujemnego rozkładu dwumianowego, dla którego zbadano metody szacowania.

W kontekście nauk aktuarialnych rozkład pojawił się w swojej ogólnej postaci w pracy K. Hessa, A. Liewalda i KD Schmidta, kiedy scharakteryzowali oni wszystkie rozkłady, dla których działa rozszerzona rekurencja Panjera . Dla przypadku $m = 1$ rozkład został już omówiony przez Willmota i umieszczony w sparametryzowanej rodzinie z rozkładem logarytmicznym i ujemnym rozkładem dwumianowym przez HU Gerbera.

Prawdopodobieństwo funkcji masowej

Dla liczby naturalnej $m \geq 1$ i parametrów rzeczywistych $p$ , $r$ gdzie $0 < p \leq 1$ i $- m < r < - m + 1$ , funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu ExtNegBin( $m$ , $r$ , $p$ ) jest dana wzorem

{\ Displaystyle f (k; m, r, p) = 0 \ qquad {\ tekst {dla}} k \ w \{0,1,\ldkropki ,m-1\}}

I

{\ Displaystyle f (k; m, r, p) = {\ Frac {{k + r-1 \ wybierz k} p ^ {k}} {(1-p) ^ {- r} - \sum _{j=0}^{m-1}{j+r-1 \choose j}p^{j}}}\quad {\text{for}}k\in {\mathbb {N}} {\text{ z }}k\geq m,}

Gdzie

{\ Displaystyle {k + r-1 \ wybierz k} = {\ Frac {\ Gamma (k + r)} {k! \, \ Gamma (r)}}=(-1)^{k}\,{-r \wybierz k}\qquad \qquad (1)}

jest (uogólnionym) współczynnikiem dwumianowym , a $Γ$ oznacza funkcję gamma .

Funkcja generująca prawdopodobieństwo

Korzystając z tego, że $f ( . ; m, r, ps)$ dla $s \in$ $(0, 1]$ jest również funkcją masy prawdopodobieństwa, wynika z tego, że funkcja generująca prawdopodobieństwo jest dana wzorem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi (s) & = \ suma _ {k = m} ^ {\ infty} f (k; m, r, p) s ^ {k} \\& = {\ frac {(1-ps)^{-r}-\suma _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}(ps)^{j}}{ (1-p)^{-r}-\suma _{j=0}^{m-1}{\binom {j+r-1}{j}}p^{j}}}\qquad {\ text{for }}|s|\leq {\frac {1}{p}}.\end{wyrównane}}}

Dla ważnego przypadku $m = 1$ , stąd $r \in$ $(-1, 0)$ , upraszcza się to do

{\ Displaystyle \ varphi (s) = {\ Frac {1- (1-ps) ^ {-r}} {1- (1-p) ^ {-r}}} \ qquad {\ tekst {dla}} |s|\leq {\frac {1}{p}}.}

Bibliografia _ Kotz S.; Kemp, AW (1993) Jednowymiarowe dystrybucje dyskretne , wydanie 2, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (strona 227)
^ Shah SM (1971) „Przesunięty ujemny rozkład dwumianowy”, Biuletyn Towarzystwa Statystycznego Kalkuty , 20, 143–152
^ Hess Klaus Th .; Anett Liewald; Klausa D. Schmidta (2002). „Rozszerzenie rekurencji Panjera” (PDF) . Biuletyn ASTIN . 32 (2): 283–297. doi : 10.2143/AST.32.2.1030 . MR 1942940 . Zbl 1098.91540 .
^ Willmot Gordon (1988). „Rodzina dystrybucji dyskretnych Sundta i Jewella” (PDF) . Biuletyn ASTIN . 18 (1): 17–29. doi : 10.2143/AST.18.1.2014957 .
^ Gerber, Hans U. (1992). „Od uogólnionej gammy do uogólnionego ujemnego rozkładu dwumianowego”. Ubezpieczenia: matematyka i ekonomia . 10 (4): 303–309. doi : 10.1016/0167-6687(92)90061-F . ISSN 0167-6687 . MR 1172687 . Zbl 0743.62014 .

[1] Bibliografia _ Kotz S.; Kemp, AW (1993) Jednowymiarowe dystrybucje dyskretne , wydanie 2, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (strona 227)

[2] Shah SM (1971) „Przesunięty ujemny rozkład dwumianowy”, Biuletyn Towarzystwa Statystycznego Kalkuty , 20, 143–152

[Schmidt-3] Hess Klaus Th .; Anett Liewald; Klausa D. Schmidta (2002). „Rozszerzenie rekurencji Panjera” (PDF) . Biuletyn ASTIN . 32 (2): 283–297. doi : 10.2143/AST.32.2.1030 . MR 1942940 . Zbl 1098.91540 .

[Willmot-4] Willmot Gordon (1988). „Rodzina dystrybucji dyskretnych Sundta i Jewella” (PDF) . Biuletyn ASTIN . 18 (1): 17–29. doi : 10.2143/AST.18.1.2014957 .

[Gerber-5] Gerber, Hans U. (1992). „Od uogólnionej gammy do uogólnionego ujemnego rozkładu dwumianowego”. Ubezpieczenia: matematyka i ekonomia . 10 (4): 303–309. doi : 10.1016/0167-6687(92)90061-F . ISSN 0167-6687 . MR 1172687 . Zbl 0743.62014 .