Rekurencja Panjera

Rekurencja Panjera to algorytm do $losowe$$,$ prawdopodobieństwa złożonej zmiennej losowej $.$ jak losowymi _ _ W bardziej ogólnych przypadkach rozkład S to a dystrybucja złożona . Rekurencja dla rozważanych przypadków specjalnych została przedstawiona w artykule Harry'ego Panjera (wybitnego emerytowanego profesora, University of Waterloo ). Jest szeroko stosowany w naukach aktuarialnych (patrz także ryzyko systemowe ).

Czynności wstępne

Interesuje $nas$$zmienna$ gdzie _ $_$ _

Dystrybucja wielkości roszczeń

Zakładamy, że ${\ displaystyle X_ {i} \,}$ jest iid i niezależny od ${\ displaystyle N \,}$ . Ponadto $muszą$ być rozłożone na siatce $h\mathbb {N} _{0}\,$ szerokości kraty $h>0\,$.

${\ displaystyle f_ {k} = P [X_ {i} = hk]. \,}$

W praktyce aktuarialnej uzyskuje $się przez dyskretyzację$ roszczeń (górna, dolna ...).

Dystrybucja numerów roszczeń

Liczba roszczeń N jest zmienną losową , o której mówi się , że ma „rozkład liczby roszczeń” i która może przyjmować wartości 0, 1, 2, .... itd. W przypadku „rekurencji Panjera” rozkład prawdopodobieństwa N musi należeć do klasy Panjer , inaczej znanej jako klasa rozkładów ( a , b , , otherwise known as the (a,b,0) class of distributions. This class consists of all counting random variables which fulfill the following relation:

${\ Displaystyle P [N = k] = p_ {k} = \ lewo (a + {\ Frac {b} {k}} \ prawej) \ cdot p_ {k-1}, ~ ~ k \ geq 1. \,}$

dla niektórych i ${\$$displaystyle b}$ , które spełniają za $geq 0 \,}$ . Wartość początkowa jest określana w taki sposób, że $= 0} ^ {\ infty} p_ {k} = 1. \,$$k$

Rekurencja Panjera wykorzystuje tę iteracyjną zależność do określenia rekurencyjnego sposobu konstruowania rozkładu prawdopodobieństwa S . Poniżej $oznacza$ funkcję generującą prawdopodobieństwo N : w celu patrz tabela w klasie rozkładów (a, b, 0). W { \ Displaystyle W_ {N} (x) }

W przypadku, gdy numer reklamacji jest znany, prosimy zwrócić uwagę na algorytm De Pril . Algorytm ten jest odpowiedni do obliczania rozkładu $dyskretnych$ zmiennych losowych .

rekursja

Algorytm daje teraz rekurencję do obliczenia ${\ Displaystyle g_ {k} = P [S = hk] \,}$ .

Wartość początkowa to ${\ Displaystyle g_ {0} = W_ {N} (f_ {0}) \,}$ ze specjalnymi przypadkami

$\ Displaystyle g_ {0} = p_ {0} \ cdot \ exp (f_ {0} b) \ quad {\ tekst {jeśli}} \ quad a = 0, \,}$

I

$\ Frac {p_ {0}} {(1-f_ {0} a) ^ {1 + b / a}}} \ quad {\ tekst {dla}} \ quad a \ neq 0, \,}$

i kontynuuj

${\ Displaystyle g_ {k} = {\ Frac {1} {1-f_ {0} a}} \ suma _ {j = 1} ^ {k} \ lewo (a + {\ Frac {b \ cdot j} {k}} \ prawo) \ cdot f_ {j} \ cdot g_ {kj}. \,}$

Przykład

Poniższy przykład pokazuje przybliżoną gęstość gdzie S $\, = \, \ suma _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}} i X ∼ Frechet ( 1,7 , 1 ) {\ Displaystyle \ scriptstyle X \$$szerokością$$z$ \ kraty h = 0,04. (Zobacz dystrybucję Frécheta ).

Jak zaobserwowano, problem może pojawić się podczas inicjalizacji rekurencji. Guégan i Hassani (2009) zaproponowali rozwiązanie tego problemu.

Linki zewnętrzne

• Rekurencja Panjera i dystrybucje, z którymi może być używana