Funkcja błędu

Nie mylić z funkcją Loss .

Funkcja błędu
Wykres funkcji błędu
Informacje ogólne
Ogólna definicja	${\ Displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$
Obszary zastosowania	Prawdopodobieństwo, termodynamika
Domena, domena kodowa i obraz
Domena	${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$
Obraz	${\ Displaystyle \ lewo (-1,1 \ prawo)}$
Podstawowe funkcje
Parytet	Dziwne
Specyficzne funkcje
Korzeń	0
Pochodna	$\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} z}} \ operatorname {erf} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\pi}}}e^{-z^{2}}}$
funkcja pierwotna	${\ Displaystyle \ int \ nazwa operatora {erf} z \ dz = z \ nazwa operatora {erf} z + {\ Frac {e ^ {- z ^{2}}}{\sqrt {\pi}}}+C}$
Definicja serii
szereg Taylora	${\ Displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ suma _{n=0}^{\infty}{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k} }}$

W matematyce funkcja błędu (zwana także funkcją błędu Gaussa ), często oznaczana przez erf , jest złożoną funkcją zmiennej zespolonej zdefiniowanej jako:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {-t ^ {2}} \, \ operatorname { d} t.}$

Ta całka jest specjalną (nieelementarną ) funkcją sigmoidalną , która często występuje w równaniach prawdopodobieństwa , statystyce i równaniach różniczkowych cząstkowych . W wielu z tych aplikacji argumentem funkcji jest liczba rzeczywista. Jeśli argument funkcji jest rzeczywisty, to wartość funkcji jest również rzeczywista.

W statystyce dla nieujemnych wartości x funkcja błędu ma następującą interpretację: dla zmiennej losowej Y o rozkładzie normalnym ze średnią 0 i odchyleniem standardowym 1 / √ 2 , erf x jest prawdopodobieństwem, że Y mieści się w przedziale [− x , x ] .

Dwie ściśle powiązane funkcje to komplementarna funkcja błędu ( erfc ) zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} z = 1- \ operatorname {erf} z,}$

oraz urojoną funkcję błędu ( erfi ) zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erfi} z = -i \ nazwa operatora {erf} iz,}$

gdzie i jest jednostką urojoną .

Nazwa

Nazwa „funkcja błędu” i jej skrót erf zostały zaproponowane przez JWL Glaishera w 1871 r. ze względu na jej związek z „teorią prawdopodobieństwa, a zwłaszcza teorią błędów ”. Uzupełnienie funkcji błędu zostało również omówione przez Glaishera w osobnej publikacji z tego samego roku. Dla „prawa łatwości” błędów, których gęstość jest dana przez

${\ Displaystyle f (x) = \ lewo ({\ Frac {c} {\ pi}} \ prawej) ^ {\ Frac {1} {2 }}e^{-cx^{2}}}$

( rozkład normalny ), Glaisher oblicza prawdopodobieństwo błędu leżącego między p i q jako:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {c} {\ pi}} \ prawo) ^ {\ Frac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} e ^ {-cx ^ {2} }\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left (p{\sqrt {c}}\prawo)\prawo).}$

Wykres funkcji błędu Erf(z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

Aplikacje

Gdy wyniki serii pomiarów są opisane rozkładem normalnym z odchyleniem standardowym σ i wartością oczekiwaną 0, to erf ( a / σ √ 2 ) jest prawdopodobieństwem, że błąd pojedynczego pomiaru mieści się między − a a + a , za pozytywne A. Jest to przydatne na przykład przy określaniu bitowej stopy błędów cyfrowego systemu komunikacyjnego.

Funkcje błędu i komplementarne funkcje błędu występują na przykład w rozwiązaniach równania ciepła , gdy warunki brzegowe są określone przez funkcję schodkową Heaviside'a .

Funkcję błędu i jej przybliżenia można wykorzystać do oszacowania wyników, które mają duże lub małe prawdopodobieństwo. Mając zmienną losową X ~ Norm[ μ , σ ] (rozkład normalny ze średnią μ i odchyleniem standardowym σ ) i stałą L < μ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pr [X \ równoważnik L ]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }} \\&\około A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{wyrównane}}}$

gdzie A i B są pewnymi stałymi liczbowymi. Jeśli L jest wystarczająco daleko od średniej, konkretnie μ − L ≥ σ √ ln k , to:

${\ Displaystyle \ Pr [X \ równoważnik L] \ równoważnik A \ exp (- B \ ln {k}) = {\ frac {A}{k^{B}}}}$

więc prawdopodobieństwo dąży do 0 jako k → ∞ .

Prawdopodobieństwo, że X [ La _, L _b ] znajduje się w przedziale można wyprowadzić jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Pr [L_ {a} \ równoważnik X \ równoważnik L_ {b}] & = \ int _ {L_ {a}} ^ {L_ {b}} {\ Frac {1} {{\sqrt {2\pi}}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\, \mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{wyrównane}}}$

Nieruchomości

Działki w płaszczyźnie zespolonej

Całka exp(− z ² )

erf z

Właściwość erf (− z ) = −erf z oznacza, że ​​funkcja błędu jest funkcją nieparzystą . Wynika to bezpośrednio z faktu, że całka e ^{− t 2} jest funkcją parzystą (funkcja pierwotna funkcji parzystej, której początek jest równy zeru, jest funkcją nieparzystą i odwrotnie).

Ponieważ funkcja błędu jest całą funkcją , która przenosi liczby rzeczywiste na liczby rzeczywiste, dla dowolnej liczby zespolonej z :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} {\ overline {z}} = {\ overline {\ nazwa operatora {erf} z}}}$

gdzie z jest złożonym koniugatem z .

Całki f = exp(− z ² ) i f = erf z są pokazane na zespolonej płaszczyźnie z na rysunkach po prawej stronie z kolorowaniem dziedzin .

Funkcja błędu w + ∞ wynosi dokładnie 1 (patrz całka Gaussa ). Na osi rzeczywistej erf z zbliża się do jedności przy z → +∞ i −1 przy z → −∞ . Na wyimaginowanej osi ma tendencję do ± i ∞ .

szereg Taylora

Funkcja błędu jest całą funkcją ; nie ma osobliwości (z wyjątkiem tej w nieskończoności), a jego rozwinięcie Taylora zawsze jest zbieżne, ale jest słynnie znane „[...] ze złej zbieżności, jeśli x > 1 ”.

Całki definiującej nie można obliczyć w postaci zamkniętej w kategoriach funkcji elementarnych , ale rozszerzając całkę e ^{- z 2} do jej szeregu Maclaurina i całkując wyraz po wyrazie, otrzymuje się szereg Maclaurina funkcji błędu jako:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {erf} z & = {\ Frac { 2}{\sqrt {\pi}}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+ 1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac { z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{wyrównane }}}$

  co zachodzi dla każdej liczby zespolonej z . Terminy mianownika to sekwencja A007680 w OEIS .

Do iteracyjnego obliczania powyższych szeregów przydatne może być następujące alternatywne sformułowanie:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {erf} z & = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&= {\frac {2}{\sqrt {\pi}}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{ n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{wyrównane}}}$

ponieważ −(2 k − 1) z ² / k (2 k + 1) wyraża mnożnik zamieniający k -ty wyraz na ( k + 1) -ty wyraz (biorąc pod uwagę z jako pierwszy wyraz).

Funkcja błędu urojonego ma bardzo podobny szereg Maclaurina, którym jest:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {erfi} z & = {\ Frac { 2}{\sqrt {\pi}}}\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt ]&={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10} }+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{wyrównane}}}$

  co zachodzi dla każdej liczby zespolonej z .

Pochodna i całka

Pochodna funkcji błędu wynika bezpośrednio z jej definicji:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} z}} \ operatorname {erf} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}$

Z tego pochodna urojonej funkcji błędu jest również natychmiastowa:

${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ operatorname {erfi} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}$

pierwotna funkcji błędu, którą można uzyskać przez całkowanie przez części , to

${\ Displaystyle Z \ operatorname {erf} z + {\ Frac {e ^ {- z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}$

Funkcja pierwotna urojonej funkcji błędu, którą można również uzyskać przez całkowanie przez części, to

${\ Displaystyle Z \ nazwa operatora {erfi} z - {\ Frac {e ^ {z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}$

Pochodne wyższego rzędu są podane przez

${\ Displaystyle \ operatorname {erf} ^ {(k)} z = {\ Frac {2 (-1) ^ {k-1}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ mathit {H} }_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1 }}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\kropki }$

gdzie H to wielomiany Hermite'a fizyków .

szereg Bürmanna

Rozwinięcie, które zbiega się szybciej dla wszystkich rzeczywistych wartości x niż rozwinięcie Taylora, uzyskuje się za pomocą twierdzenia Hansa Heinricha Bürmanna :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {erf} x & = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ nazwa operatora {sgn} x \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {- x ^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480} }\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\ prawo)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt] &={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac { \sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty}c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{wyrównane}}}$

gdzie sgn jest funkcją znaku . Zachowując tylko dwa pierwsze współczynniki i wybierając c ₁ = 31 / 200 i c ₂ = − 341 / 8000 , wynikowe przybliżenie pokazuje największy błąd względny przy x = ± 1,3796 , gdzie jest mniejszy niż 0,0036127:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} x \ około {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ nazwa operatora {sgn} x \ cdot {\ sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}} }}\left({\frac {\sqrt {\pi}}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000 }}e^{-2x^{2}}\prawo).}$

Funkcje odwrotne

Odwrotna funkcja błędu

Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną z , nie ma unikalnej liczby zespolonej w spełniającej erf w = z , więc prawdziwa funkcja odwrotna byłaby wielowartościowa. Jednak dla −1 < x < 1 istnieje unikalna liczba rzeczywista oznaczona jako erf ⁻¹ x spełniająca

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} \ lewo (\ nazwa operatora {erf} ^ {-1} x \ prawo) = x.}$

Odwrotna funkcja błędu jest zwykle definiowana za pomocą domeny (−1,1) i jest ograniczona do tej dziedziny w wielu systemach algebry komputerowej. Można go jednak rozszerzyć na dysk | z | <1 płaszczyzny zespolonej, używając szeregu Maclaurina

${\ Displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} z = \ suma _ {k = 0} ^ {\infty}{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi}}{2}}z\right)^{2k+1},}$

gdzie ₀ c = 1 i

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {k} & = \ suma _ {m = 0} ^ {k-1} {\ Frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1)(2m+1)}}\\&=\lewo\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{ 2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{wyrównane}}}$

Mamy więc rozwinięcie szeregu (z liczników i mianowników usunięto wspólne czynniki):

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} ^ {-1} z = {\ Frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ lewo (z + {\ Frac {\ pi} {12}} z ^ {3} +{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369 \pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

(Po anulowaniu ułamki licznik/mianownik są wpisami OEIS : A092676 / OEIS : A092677 w OEIS ; bez anulowania wyrazy licznika podane są we wpisie OEIS : A002067 .) Wartość funkcji błędu przy ±∞ jest równa ±1 .

dla | z | < 1 , mamy erf(erf ⁻¹ z ) = z .

Odwrotna komplementarna funkcja błędu jest zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erfc} ^ {-1} (1-z) = \ nazwa operatora {erf} ^ {-1} z.}$

Dla rzeczywistego x istnieje niepowtarzalna liczba rzeczywista erfi ⁻¹ x spełniająca erfi(erfi ⁻¹ x ) = x . Odwrotna funkcja błędu urojonego jest zdefiniowana jako erfi ⁻¹ x .

Dla dowolnego rzeczywistego x metoda Newtona może być użyta do obliczenia erfi ⁻¹ x , a dla −1 ≤ x ≤ 1 następujący szereg Maclaurina jest zbieżny:

${\ Displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} z = \ suma _ { k=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi}}{2}} z\prawo)^{2k+1},}$

gdzie c _k jest zdefiniowane jak powyżej.

Ekspansja asymptotyczna

Przydatnym asymptotycznym rozwinięciem komplementarnej funkcji błędu (a zatem także funkcji błędu) dla dużego rzeczywistego x jest

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {erfc} x & = {\ Frac {e ^ {-x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \left(1+\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x ^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}} \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}} },\end{wyrównane}}}$

gdzie (2 n − 1)!! jest podwójną silnią ( 2 n - 1) , która jest iloczynem wszystkich liczb nieparzystych do (2 n - 1) . Ten szereg jest rozbieżny dla każdego skończonego x , a jego znaczenie jako ekspansji asymptotycznej jest takie, że dla dowolnej liczby całkowitej N ≥ 1 ma się

${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} x = {\ Frac {e ^ {-x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ suma _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\lewo(2x^{2}\prawo)^{n}} }+R_{N}(x)}$

gdzie reszta, w notacji Landaua , jest

${\ Displaystyle R_ {N} (x) = O \ lewo (x ^ {- (1 + 2N)} e ^ {- x^{2}}\prawo)}$

jako x → ∞ .

Rzeczywiście, dokładna wartość reszty wynosi

${\ Displaystyle R_ {N} (x): = {\ Frac {(-1) ^ {N}} {\ sqrt {\ pi}}} 2 ^ {1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty}t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,}$

co wynika łatwo przez indukcję, pisanie

${\ Displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2 t) ^ {- 1} \ lewo (e ^ {- t ^{2}}\prawo)'}$

i całkowania przez części.

Dla wystarczająco dużych wartości x wystarczy kilka pierwszych wyrazów tego asymptotycznego rozwinięcia, aby uzyskać dobre przybliżenie erfc x (podczas gdy dla niezbyt dużych wartości x powyższe rozwinięcie Taylora przy 0 zapewnia bardzo szybką zbieżność).

Kontynuacja ekspansji frakcji

Ciągłe rozwinięcie ułamkowe komplementarnej funkcji błędu to:

${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} z = {\ Frac {z} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {-z ^ {2}} {\ cfrac {1} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}},\ qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$

Całka funkcji błędu z funkcją gęstości Gaussa

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {erf} \ lewo (ax + b \ prawo) {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \sigma ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x=\operatorname {erf} {\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}},\qquad a,b,\mu ,\sigma \ w \mathbb {R} }$

co wydaje się być związane z Ng i Gellerem, wzór 13 w sekcji 4.3 ze zmianą zmiennych.

Szereg czynnikowy

Odwrotny szereg czynnikowy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {erfc} z & = {\ Frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ \sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2} +1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi}}\,z}}\left( 1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z ^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{wyrównane}}}$

jest zbieżny dla Re( z ² ) > 0 . Tutaj

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q_ {n} & {\ overset {\ tekst {def}} {{} = {}}} {\ Frac {1} {\ Gamma \ lewo ({\ frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty}\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac { 1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\&=\sum _{k=0}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}\right )^{\bar {k}}s(n,k),\end{wyrównane}}}$

zn ^znakiem oznacza rosnącą silnię , a s ( n , k ) oznacza liczbę Stirlinga pierwszego rodzaju ze . Istnieje również reprezentacja przez nieskończoną sumę zawierającą podwójną silnię :

${\ Displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-2 )^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$

Przybliżenia numeryczne

Aproksymacja funkcjami elementarnymi

• Abramowitz i Stegun podają kilka przybliżeń o różnej dokładności (równania 7.1.25–28). Pozwala to wybrać najszybsze przybliżenie odpowiednie dla danej aplikacji. W kolejności rosnącej dokładności są to:

  ${\ Displaystyle \ operatorname {erf} x\około 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{ 4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$

  (maksymalny błąd: 5 × 10 ⁻⁴ )

  gdzie a ₁ = 0,278393 , a ₂ = 0,230389 , a ₃ = 0,000972 , a ₄ = 0,078108

  ${\ Displaystyle \ operatorname {erf} x \ około 1-$

  (maksymalny błąd: 2,5 × 10 ⁻⁵ )

  gdzie p = 0,47047 , za ₁ = 0,3480242 , za ₂ = −0,0958798 , za ₃ = 0,7478556

  $$Displaystyle \ operatorname {erf} x \ około 1- {\ Frac {1} \left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$
  (maksymalny błąd: 3 × 10 ⁻⁷ )

  gdzie ₃ za 1 = 0,0705230784 , za ₂ = 0,0422820123 , za ₌ = 0,0092705272 , za ₄ = 0,0001520143 , za ₅ = 0,0002765672 , za ₆ 0,0000430638

  $${\ Displaystyle \ operatorname {erf} x \ około 1- \ lewo (a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+piks.}}}$$
  (maksymalny błąd: 1,5 × 10 ⁻⁷ )

  gdzie p = 0,3275911 , za ₁ = 0,254829592 , za ₂ = −0,284496736 , za ₃ = 1,421413741 , za ₄ = −1,453152027 , za ₅ = 1,061405429

  Wszystkie te przybliżenia są ważne dla x ≥ 0 . Aby użyć tych przybliżeń dla ujemnego x , wykorzystaj fakt, że erf x jest funkcją nieparzystą, więc erf x = −erf(− x ) .
• Granice wykładnicze i czyste przybliżenie wykładnicze dla komplementarnej funkcji błędu są dane przez

  ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {erfc} x & \ równoważnik {\ tfrac {1} {2}} e ^ {-2x ^ {2} }}+{\tfrac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&\quad x&>0\\\nazwa operatora {erfc} x& \około {\tfrac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{ 2}},&\quad x&>0.\end{wyrównane}}}$

• Powyższe zostało uogólnione na sumy N wykładników z rosnącą dokładnością wyrażoną w N , tak że erfc x może być dokładnie aproksymowana lub ograniczona przez 2 Q̃ ( √ 2 x ) , gdzie

  ${\ Displaystyle {\ tylda {Q}} (x) = \ suma _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {-b_ {n} x ^ {2}}.} W szczególności$

  istnieje jest systematyczną metodologią rozwiązywania współczynników liczbowych {( a _n , b _n )}
  ^N _{n = 1} , które dają przybliżenie minimaksu lub ograniczenie dla ściśle powiązanej funkcji Q : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) , lub Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) dla x ≥ 0 . Współczynniki {( a _n , b _n )}
  ^N _{n = 1} dla wielu wariantów przybliżeń wykładniczych i granic do N = 25 zostały udostępnione do otwartego dostępu jako obszerny zbiór danych.
• Ścisłe przybliżenie komplementarnej funkcji błędu dla x ∈ [0,∞) podają Karagiannidis i Lioumpas (2007), którzy dla odpowiedniego doboru parametrów { A , B } wykazali , że

  ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erfc} x \ około {\ Frac {\ lewo (1-e ^ {-Ax} \ prawo) e ^ {-x ^ {2}}} {B {\ sqrt {\ pi}} x}}.}$

  Ustalili { A , B } = {1,98,1,135} , co dało dobre przybliżenie dla wszystkich x ≥ 0 . Dostępne są również alternatywne współczynniki umożliwiające dostosowanie dokładności do konkretnego zastosowania lub przekształcenie wyrażenia w ścisłe ograniczenie.
• Jednoczłonowa dolna granica to

  $${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} x \ geq {\ sqrt {\ frac {2e }{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta > 1,} , gdzie$$

  można wybrać parametr β , aby zminimalizować błąd w żądanym przedziale aproksymacji.
• Inne przybliżenie podaje Siergiej Winitzki, używając swoich „globalnych przybliżeń Padé”:

  ${\ Displaystyle \ operatorname {erf } x\około \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi}}+ax^{2} }{1+ax^{2}}}\right)}}}$

  gdzie

  ${\ Displaystyle a = {\ Frac {8 (\ pi -3)} {3 \ pi (4-\ pi)}} \ około 0,140012.} Ma to być bardzo$

  dokładne w sąsiedztwie 0 i sąsiedztwie nieskończoność, a błąd względny jest mniejszy niż 0,00035 dla wszystkich rzeczywistych x . Użycie alternatywnej wartości a ≈ 0,147 zmniejsza maksymalny błąd względny do około 0,00013.

  To przybliżenie można odwrócić, aby uzyskać przybliżenie odwrotnej funkcji błędu:

  ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} ^ {-1} x \ około \ nazwa operatora {sgn} x \ cdot {\ sqrt {{\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)} {a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right) }}.}$

• $_ -\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{przypadków}}}$

  maksymalnym 1,2 × 10-7 ^to dla gdzie

  ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tau & = t \ cdot \ exp \ lewo (-x ^ {2} -1,26 551223 +1,00002368t+0,37409196t^{2}+0,09678418t^{3}-0,18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0,27886807t^{5}-1,13520398t^ {6}+1,48851587t^{7}-0,82215223t^{8}+0,17087277t^{9}\right)\end{wyrównane}}}$

  i

  ${\ Displaystyle t = {\ Frac {1} {1} + {\ Frac {1} {2}} | x|}}.}$

Tabela wartości

Dalsze informacje: oszacowanie przedziału , prawdopodobieństwo pokrycia i reguła 68–95–99,7

X	erf x	1 − erf x
0	0	1
0,02	0,022 564 575	0,977 435 425
0,04	0,045 111 106	0,954 888 894
0,06	0,067 621 594	0.932 378 406
0,08	0.090 078 126	0.909 921 874
0,1	0.112 462 916	0.887 537 084
0,2	0,222 702 589	0,777 297 411
0,3	0,328 626 759	0,671 373 241
0,4	0,428 392 355	0,571 607 645
0,5	0,520 499 878	0,479 500 122
0,6	0.603 856 091	0,396 143 909
0,7	0.677 801 194	0,322 198 806
0,8	0,742 100 965	0.257 899 035
0,9	0.796 908 212	0,203 091 788
1	0,842 700 793	0,157 299 207
1.1	0.880 205 070	0.119 794 930
1.2	0.910 313 978	0,089 686 022
1.3	0.934 007 945	0,065 992 055
1.4	0.952 285 120	0.047 714 880
1.5	0,966 105 146	0,033 894 854
1.6	0,976 348 383	0,023 651 617
1.7	0.983 790 459	0,016 209 541
1.8	0.989 090 502	0,010 909 498
1.9	0.992 790 429	0,007 209 571
2	0,995 322 265	0,004 677 735
2.1	0.997 020 533	0,002 979 467
2.2	0,998 137 154	0,001 862 846
2.3	0.998 856 823	0,001 143 177
2.4	0,999 311 486	0.000 688 514
2.5	0.999 593 048	0.000 406 952
3	0.999 977 910	0.000 022 090
3.5	0,999 999 257	0.000 000 743

Powiązane funkcje

Uzupełniająca funkcja błędu

Uzupełniająca funkcja błędu , oznaczona jako erfc , jest zdefiniowana jako

Wykres komplementarnej funkcji błędu Erfc(z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {erfc} x & = 1 - \ nazwa operatora {erf} x\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}\int _{x}^{\infty}e^{-t^{2}}\,\ argumentacja {d} t\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} x,\end{wyrównane}}}$

która definiuje również erfcx , skalowaną komplementarną funkcję błędu (której można użyć zamiast erfc , aby uniknąć niedomiaru arytmetycznego ). Inna forma erfc x dla x ≥ 0 jest znana jako formuła Craiga, od imienia jej odkrywcy:

${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} (x \ mid x \ geq 0) = {\ Frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} \ exp \ left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$

To wyrażenie jest poprawne tylko dla dodatnich wartości x , ale może być użyte w połączeniu z erfc x = 2 − erfc(− x ) w celu uzyskania erfc( x ) dla wartości ujemnych. Ta forma jest korzystna, ponieważ zakres całkowania jest stały i skończony. Rozszerzenie tego wyrażenia na erfc sumy dwóch nieujemnych zmiennych jest następujące:

${\ Displaystyle \ operatorname {erfc} (x + y \ mid x, y \ geq 0) = {\ Frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2} }\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }} \right)\,\mathrm {d} \theta .}$

Wyimaginowana funkcja błędu

Wyimaginowana funkcja błędu , oznaczona jako erfi , jest zdefiniowana jako

Wykres urojonej funkcji błędu Erfi(z) na płaszczyźnie zespolonej od -2-2i do 2+2i z kolorami utworzonymi za pomocą funkcji Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {erfi} x & = -i \ nazwa operatora {erf} ix\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi}}}e^{x^{2}}D(x),\end{wyrównane}}}$

gdzie D ( x ) jest funkcją Dawsona (której można użyć zamiast erfi , aby uniknąć przepełnienia arytmetycznego ).

Pomimo nazwy „funkcja błędu urojonego”, erfik x jest rzeczywisty, gdy x jest rzeczywisty.

Kiedy funkcja błędu jest obliczana dla dowolnych złożonych argumentów z , wynikowa złożona funkcja błędu jest zwykle omawiana w postaci przeskalowanej jako funkcja Faddeeva :

${\ Displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} \ nazwa operatora {erfc} (-iz) = \ nazwa operatora {erfcx} (-iz).}$

Dystrybuanta

Funkcja błędu jest zasadniczo identyczna ze standardową funkcją skumulowanego rozkładu normalnego , oznaczoną jako Φ , nazywaną także norm( x ) przez niektóre języki oprogramowania , ponieważ różnią się one jedynie skalowaniem i translacją. Rzeczywiście,

funkcja rozkładu normalnego skumulowanego wykreślona na płaszczyźnie zespolonej

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi}}}\int _{-\infty}^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2} }\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}} \right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{wyrównane }}}$

lub przestawiony na erf i erfc :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {erf} (x) & = 2 \ Phi \ lewo (x {\ sqrt {2}} \ prawo) -1 \\ [6pt] \ nazwa operatora {erfc} (x )&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)\\&=2\left(1-\Fi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right) .\end{wyrównane}}}$

W konsekwencji funkcja błędu jest również ściśle związana z funkcją Q , która jest prawdopodobieństwem końca standardowego rozkładu normalnego. Funkcję Q można wyrazić za pomocą funkcji błędu jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q (x) & = {\ Frac {1} {2}} - {\ Frac {1} {2}} \ operatorname {erf} {\ Frac {x} {\ sqrt {2}}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} {\frac {x}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$

Odwrotność Φ jest znana jako normalna funkcja kwantylowa lub funkcja probitowa i może być wyrażona jako odwrotna funkcja błędu jako

${\ Displaystyle \ operatorname {probit} (p) = \ Phi ^ {-1} (p) = {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {-1} (2p-1) = - {\ sqrt {2}}\nazwa_operatora {erfc} ^{-1}(2p).}$

Standardowa normalna cdf jest częściej używana w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce, a funkcja błędu jest częściej używana w innych gałęziach matematyki.

Funkcja błędu jest szczególnym przypadkiem funkcji Mittaga-Lefflera i może być również wyrażona jako zlewająca się funkcja hipergeometryczna (funkcja Kummera):

${\ Displaystyle \ operatorname {erf} x = {\ Frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} M \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {3} {2}} ,-x^{2}\prawo).}$

Ma proste wyrażenie w postaci całki Fresnela .

Pod względem uregulowanej funkcji gamma P i niepełnej funkcji gamma ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} x = \ nazwa operatora {sgn} x \ cdot P \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ prawej) = {\ frac {\ nazwa operatora {sgn } x}{\sqrt {\pi}}}\gamma \left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right).}$

sgn x jest funkcją znaku .

Uogólnione funkcje błędów

Wykres uogólnionych funkcji błędu E _n ( x ) : szara krzywa: E ₁ ( x ) = 1 − e ^{− x} / √ π czerwona krzywa: E ₂ ( x ) = erf ( x ) zielona krzywa: E ₃ ( x ) niebieska krzywa: E ₄ ( x ) złota krzywa: E ₅ ( x ) .

Niektórzy autorzy omawiają bardziej ogólne funkcje:

${\ Displaystyle E_ {n} (x) = {\ Frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {-t ^ {n}} \, \ argumentacja {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi}}}\sum _{p=0}^{\infty}(-1)^{p}{\frac {x^{ np+1}}{(np+1)p!}}.}$

Godne uwagi przypadki to:

• ₀ E ( x ) jest linią prostą przechodzącą przez początek: ₀ E ( x ) = x / e √ π
• E ₂ ( x ) to funkcja błędu, erf x .

Po podzieleniu przez n ! , wszystkie E _n dla nieparzystych n wyglądają podobnie (ale nie identycznie). Podobnie E _n dla parzystego n wyglądają podobnie (ale nie identycznie) do siebie po prostym dzieleniu przez n ! . Wszystkie uogólnione funkcje błędów dla n > 0 wyglądają podobnie po dodatniej stronie x wykresu.

Te uogólnione funkcje można równoważnie wyrazić dla x > 0 za pomocą funkcji gamma i niepełnej funkcji gamma :

${\ Displaystyle E_ {n} (x) = {\ Frac {1} {\sqrt {\pi}}}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n} },x^{n}\prawo)\prawo),\qquad x>0.}$

Dlatego możemy zdefiniować funkcję błędu w kategoriach niepełnej funkcji gamma:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {erf} x = 1 - {\ Frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {2}}, x ^ {2} \ prawo ).}$

Całki iterowane komplementarnej funkcji błędu

Całki iterowane komplementarnej funkcji błędu są określone przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {i} ^ {n} \! \ nazwa operatora {erfc} z & = \ int _ {z} ^ {\infty}\operatorname {i} ^{n-1}\!\operatorname {erfc} \zeta \,\mathrm {d} \zeta \\[6pt]\operatorname {i} ^{0}\!\ nazwa_operatora {erfc} z&=\nazwa_operatora {erfc} z\\\nazwa_operatora {i} ^{1}\!\nazwa_operatora {erfc} z&=\nazwa_operatora {ierfc} z={\frac {1}{\sqrt {\ pi }}}e^{-z^{2}}-z\nazwa_operatora {erfc} z\\\nazwa_operatora {i} ^{2}\!\nazwa_operatora {erfc} z&={\tfrac {1}{4 }}\left(\operatorname {erfc} z-2z\operatorname {ierfc} z\right)\\\end{aligned}}}$

Ogólna formuła rekurencyjna to

${\ Displaystyle 2n \ cdot \ nazwa operatora {i} ^ {n} \! \ nazwa operatora {erfc} z =\nazwa_operatora {i} ^{n-2}\!\nazwa_operatora {erfc} z-2z\cdot \nazwa_operatora {i} ^{n-1}\!\nazwa_operatora {erfc} z}$

Mają szereg potęgowy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {i} ^ {n} \! \ nazwa operatora {erfc} z = \ suma _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(- z)^{j}}{2^{nj}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {nj}{2}}\right)}},}$

z których wynikają własności symetrii

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {i} ^ {2m} \! \ nazwa operatora {erfc} (-z) = - \ nazwa operatora {i} ^ {2m} \! \ nazwa operatora {erfc} z + \ suma _ {q = 0} ^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(mq)-1}(2q)!(mq)!}}}$

I

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {i} ^ {2m + 1} \! \ nazwa operatora {erfc} (-z) = \ nazwa operatora {i} ^ {2m + 1} \! \ nazwa operatora {erfc} z + \ suma _ {q =0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(mq)-1}(2q+1)!(mq)!}}.}$

Implementacje

Jako rzeczywista funkcja rzeczywistego argumentu

• W systemach operacyjnych zgodnych z Posix , nagłówek math.h powinien zadeklarować, a biblioteka matematyczna libm powinna udostępniać funkcje erf i erfc ( podwójna precyzja ), jak również ich odpowiedniki o pojedynczej i rozszerzonej precyzji erff , erfl i erfcf , erfcl .
• Biblioteka naukowa GNU udostępnia funkcje erf , erfc , log(erf) i skalowane błędy.

Jako złożona funkcja złożonego argumentu

• libcerf , numeryczna biblioteka C dla złożonych funkcji błędów, zapewnia złożone funkcje cerf , cerfc , cerfcx i funkcje rzeczywiste erfi , erfcx z dokładnością około 13–14 cyfr, w oparciu o funkcję Faddeeva zaimplementowaną w pakiecie MIT Faddeeva

Zobacz też

Powiązane funkcje

• Całka gaussowska po całej linii rzeczywistej
• Funkcja Gaussa , pochodna
• Funkcja Dawsona , renormalizowana funkcja błędu urojonego
• Całka Goodwina-Statona

W prawdopodobieństwie

• Normalna dystrybucja
• Normalna skumulowana funkcja dystrybucji , skalowana i przesunięta postać funkcji błędu
• Probit , funkcja odwrotna lub kwantylowa normalnego CDF
• Q-funkcja , prawdopodobieństwo ogona rozkładu normalnego

Dalsza lektura

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 7” . Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. Tom. 55 (Dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); pierwsze wyd.). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Narodowe Biuro Standardów; Publikacje Dover. P. 297. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
•   Prasa, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), „Sekcja 6.2. Niekompletna funkcja gamma i funkcja błędu” , Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (wyd. 3), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068 -8
•    Temme, Nico M. (2010), „Funkcje błędów, całki Dawsona i Fresnela” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

Linki zewnętrzne

• Tabela całek funkcji błędu