Całka nieelementarna

W matematyce nieelementarna funkcja pierwotna danej funkcji elementarnej jest funkcją pierwotną (lub całką nieoznaczoną), która sama w sobie nie jest funkcją elementarną (tj. funkcją zbudowaną ze skończonej liczby ilorazów funkcji stałych , algebraicznych , wykładniczych , trygonometrycznych i logarytmicznych przy użyciu operacji na polach ). Twierdzenie Liouville'a w 1835 r. dostarczył pierwszego dowodu na istnienie nieelementarnych funkcji pierwotnych. Twierdzenie to stanowi również podstawę algorytmu Rischa do określania (z trudem), które funkcje elementarne mają elementarne funkcje pierwotne.

Przykłady

Przykłady funkcji z nieelementarnymi funkcjami pierwotnymi obejmują:

${\ Displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {4}}}}$ ( całka eliptyczna )
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ ln x}}}$ ( całka logarytmiczna )
${\ Displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$ ( funkcja błędu , całka Gaussa )
${\ Displaystyle \ sin (x ^ {2})}$ i ${\ Displaystyle \ cos (x ^ {2})}$ ( całka Fresnela )
${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin (x)}} {x}} = \ operatorname {sinc} (x)}$ ( całka sinusoidalna , całka Dirichleta )
${\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {-x}} {x}}}$ ( całka wykładnicza )
$x}} \,}$ (w kategoriach całki wykładniczej)
${\ Displaystyle \ ln (\ ln x) \,}$ (w kategoriach całki logarytmicznej)
${\ Displaystyle {x ^ {c-1}} e ^ {- x}}$ ( niekompletna funkcja gamma ); dla $;$ może być zapisana w postaci całki dla funkcji błędu do $\ Displaystyle c = {\ tfrac {1} {2}}}$ dla $całkowitej$ funkcja pierwotna jest elementarna.

Niektórym powszechnym nieelementarnym funkcjom pierwotnym nadano nazwy, definiujące tak zwane funkcje specjalne , a formuły obejmujące te nowe funkcje mogą wyrażać większą klasę nieelementarnych funkcji pierwotnych. Powyższe przykłady zawierają nazwy odpowiednich funkcji specjalnych w nawiasach.

Nieruchomości

Nieelementarne funkcje pierwotne często można oszacować za pomocą szeregu Taylora . Nawet jeśli funkcja nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, jej szereg Taylora można zawsze całkować wyraz po wyrazie, jak wielomian , dając funkcję pierwotną jako szereg Taylora o tym samym promieniu zbieżności . Jednak nawet jeśli całka ma zbieżny szereg Taylora, jej ciąg współczynników często nie ma wzoru elementarnego i musi być oceniany termin po wyrazie, z tym samym ograniczeniem dla całkowego szeregu Taylora.

Nawet jeśli nie jest możliwe obliczenie całki nieoznaczonej (pierwotnej) w kategoriach elementarnych, zawsze można przybliżyć odpowiednią całkę oznaczoną przez całkowanie numeryczne . Istnieją również przypadki, w których nie ma elementarnej funkcji pierwotnej, ale określone całki oznaczone (często całeki niewłaściwe na nieograniczonych przedziałach ) można obliczyć w kategoriach elementarnych: najsłynniejsza całka Gaussa ${\ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}}.}$

Domknięciem pod całkowaniem zbioru funkcji elementarnych jest zbiór funkcji Liouvilliańskich .

Zobacz też

Funkcja algebraiczna – funkcja, którą można zdefiniować jako pierwiastek równania wielomianowego
Wyrażenie w formie zamkniętej - Formuła matematyczna obejmująca zadany zestaw operacji
Pochodna – Chwilowa stopa zmian (matematyka)
Algebra różniczkowa - Algebra z formalnym wyprowadzeniem i względnym obszarem matematyki
Listy całek
Twierdzenie Liouville'a (algebra różniczkowa) - mówi, kiedy funkcje pierwotne funkcji elementarnych można wyrazić jako funkcje elementarne
Twierdzenie Richardsona – Nierozstrzygalność równości liczb rzeczywistych
Integracja symboliczna - w matematyce obliczanie funkcji pierwotnej w postaci zamkniętej
Licealny problem algebry Tarskiego – problem matematyczny
Funkcja transcendentalna - funkcja analityczna, która nie spełnia równania wielomianowego

Integracja funkcji nieelementarnych , SOS MATHematics.com; obejrzano 7 grudnia 2012 r.

Dalsza lektura

Williams, Dana P., NONEELEMENTARY ANTYPOZYCYJNE , 1 grudnia 1993 r. Dostęp 24 stycznia 2014 r.