Funkcja Liouvilliana

W matematyce funkcje Liouvillian obejmują zbiór funkcji , w tym funkcje elementarne i ich całki powtarzane . Funkcje liouvilliańskie można rekurencyjnie definiować jako całki innych funkcji liouvilliańskich.

Mówiąc dokładniej, funkcja Liouvillian jest funkcją jednej zmiennej , która jest złożeniem skończonej liczby operacji arytmetycznych (+, −, ×, ÷) , wykładników , stałych , rozwiązań równań algebraicznych (uogólnienie n -tego pierwiastka ), i funkcje pierwotne . Funkcja logarytmiczna nie musi być jawnie uwzględniona, ponieważ jest całką ${\ displaystyle 1/x$ } .

Z definicji wynika bezpośrednio, że zbiór funkcji Liouvilliańskich jest domknięty na operacje arytmetyczne, składanie i całkowanie. Jest również domknięty podczas różniczkowania . Nie zamyka się w granicach i nieskończonych sumach .

Funkcje Liouvillian zostały wprowadzone przez Josepha Liouville'a w serii artykułów z lat 1833-1841.

Przykłady

Wszystkie funkcje elementarne są liouvilliańskie.

Przykładami dobrze znanych funkcji, które są liouvilliańskie, ale nie są elementarne, są nieelementarne funkcje pierwotne , na przykład:

• Funkcja błędu , mi $\ Displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ Frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• Całki wykładnicze ( Ei ), logarytmiczne ( Li lub li ) i Fresnela ( S i C ).

Wszystkie funkcje Liouvillian są rozwiązaniami algebraicznych równań różniczkowych , ale nie odwrotnie. Przykłady funkcji, które są rozwiązaniami algebraicznych równań różniczkowych, ale nie Liouvillian, obejmują:

• funkcje Bessela ( z wyjątkiem przypadków szczególnych);
• funkcje hipergeometryczne ( poza przypadkami szczególnymi).

Przykłady funkcji, które nie są rozwiązaniami algebraicznych równań różniczkowych, a zatem nie są liouvilliańskie, obejmują wszystkie funkcje transcendentalnie transcendentalne , takie jak:

• funkcja gamma ;
• funkcja zeta .

Zobacz też

• Wyrażenie w formie zamkniętej - Formuła matematyczna obejmująca zadany zestaw operacji
• Różniczkowa teoria Galois - Badanie grup symetrii Galois pól różniczkowych
• Twierdzenie Liouville'a (algebra różniczkowa) - mówi, kiedy funkcje pierwotne funkcji elementarnych można wyrazić jako funkcje elementarne
• Całka nieelementarna - Całki nie dające się wyrazić w postaci zamkniętej z funkcji elementarnych
• Teoria Picarda-Vessiota - Badanie rozszerzeń pola różniczkowego indukowanych przez liniowe równania różniczkowe

Dalsza lektura

•   Davenport, JH (2007). „Co może oznaczać„ zrozumienie funkcji ””. W Kauers, M.; Kerber, M.; Górnik, R.; Windsteiger, W. (red.). W kierunku zmechanizowanych asystentów matematycznych . Berlin/Heidelberg: Springer. s. 55 –65. ISBN 978-3-540-73083-5 .