Algebraiczne równanie różniczkowe
W matematyce algebraiczne równanie różniczkowe jest równaniem różniczkowym , które można wyrazić za pomocą algebry różniczkowej . Istnieje kilka takich pojęć, zgodnie z zastosowaną koncepcją algebry różniczkowej.
Zamiarem jest uwzględnienie równań tworzonych za pomocą operatorów różniczkowych , w których współczynniki są funkcjami wymiernymi zmiennych (np. równanie hipergeometryczne ). Algebraiczne równania różniczkowe są szeroko stosowane w algebrze komputerowej i teorii liczb .
Prostym pojęciem jest wielomianowe pole wektorowe , czyli pole wektorowe wyrażone w odniesieniu do standardowej bazy współrzędnych jako pierwsze pochodne cząstkowe ze współczynnikami wielomianu. Jest to rodzaj algebraicznego operatora różniczkowego pierwszego rzędu.
preparaty
- Wyprowadzenia D mogą być używane jako algebraiczne odpowiedniki części formalnej rachunku różniczkowego , dzięki czemu algebraiczne równania różniczkowe mają sens w pierścieniach przemiennych .
- Teoria pól różniczkowych została stworzona, aby wyrazić teorię różniczkową Galois w kategoriach algebraicznych.
- Można rozważyć algebrę Weyla W operatorów różniczkowych ze współczynnikami wielomianowymi ; pewne moduły M mogą być użyte do wyrażenia równań różniczkowych, zgodnie z prezentacją M .
- Koncepcja koneksji Koszula jest czymś, co można łatwo przełożyć na geometrię algebraiczną , dając algebraiczny odpowiednik sposobu, w jaki układy równań różniczkowych są reprezentowane geometrycznie przez wiązki wektorowe z koneksjami.
- Pojęcie dżetu można opisać w kategoriach czysto algebraicznych, tak jak to zrobiono w ramach projektu EGA Grothendiecka .
- Teoria D-modułów jest globalną teorią liniowych równań różniczkowych i została rozwinięta w celu uwzględnienia istotnych wyników teorii algebraicznej (w tym zgodności Riemanna-Hilberta dla wyższych wymiarów).
Rozwiązania algebraiczne
Zwykle nie jest tak, że ogólnym rozwiązaniem algebraicznego równania różniczkowego jest funkcja algebraiczna : rozwiązywanie równań zwykle daje nowe funkcje przestępne . Przypadek rozwiązań algebraicznych jest jednak bardzo interesujący; klasyczna lista Schwarza dotyczy przypadku równania hipergeometrycznego. W teorii różniczkowej Galois przypadek rozwiązań algebraicznych to taki, w którym różniczkowa grupa Galois G jest skończona (równoważnie wymiaru 0 lub skończonej grupy monodromicznej w przypadku powierzchni Riemanna i równań liniowych). Przypadek ten pozostaje w relacji z całą teorią mniej więcej tak, jak teoria niezmienników ma się do teorii reprezentacji grupowej . Grupa G jest na ogół trudna do obliczenia, zrozumienie rozwiązań algebraicznych jest wskazaniem górnych granic dla G .
Linki zewnętrzne
- Michałow, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "Algebra różniczkowa" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
- Michałow, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], „Rozszerzenie pola różniczkowego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press