Powierzchnia Riemanna

Powierzchnia Riemanna dla funkcji f ( z ) = √ z . Dwie osie poziome reprezentują rzeczywistą i urojoną część z , podczas gdy oś pionowa przedstawia rzeczywistą część √ z . Urojona część √ z jest reprezentowana przez kolorowanie punktów. Dla tej funkcji jest to również wysokość po obróceniu wykresu o 180° wokół osi pionowej.

W matematyce , szczególnie w analizie zespolonej , powierzchnia Riemanna jest połączoną jednowymiarową rozmaitością zespoloną . Powierzchnie te zostały po raz pierwszy zbadane i nazwane na cześć Bernharda Riemanna . Powierzchnie Riemanna można traktować jako zdeformowane wersje płaszczyzny zespolonej : lokalnie w pobliżu każdego punktu wyglądają jak fragmenty płaszczyzny zespolonej, ale globalna topologia może być zupełnie inna. Na przykład mogą wyglądać jak kula lub torus lub kilka sklejonych arkuszy.

Głównym zainteresowaniem powierzchniami Riemanna jest to, że między nimi można zdefiniować funkcje holomorficzne . Powierzchnie Riemanna są obecnie uważane za naturalne środowisko do badania globalnego zachowania tych funkcji, zwłaszcza funkcji wielowartościowych, takich jak pierwiastek kwadratowy i inne funkcje algebraiczne lub logarytm .

Każda powierzchnia Riemanna jest dwuwymiarową rzeczywistą rozmaitością analityczną (tj. powierzchnią ), ale zawiera więcej struktur (w szczególności strukturę złożoną ), która jest potrzebna do jednoznacznego zdefiniowania funkcji holomorficznych. Dwuwymiarową rzeczywistą rozmaitość można przekształcić w powierzchnię Riemanna (zwykle na kilka nierównoważnych sposobów) wtedy i tylko wtedy, gdy jest orientowalna i metryzowalna . Tak więc kula i torus dopuszczają złożone struktury, ale wstęga Möbiusa , butelka Kleina i rzeczywista płaszczyzna rzutowa nie rób.

Fakty geometryczne dotyczące powierzchni Riemanna są tak „ładne”, jak to tylko możliwe i często dostarczają intuicji i motywacji do uogólnień na inne krzywe, rozmaitości lub rozmaitości. Twierdzenie Riemanna – Rocha jest doskonałym przykładem tego wpływu.

Definicje

Istnieje kilka równoważnych definicji powierzchni Riemanna.

Powierzchnia Riemanna X jest połączoną zespoloną rozmaitością o zespolonym wymiarze jeden. Oznacza to, że X jest spójną przestrzenią Hausdorffa , która jest wyposażona w atlas wykresów na otwartym dysku jednostkowym płaszczyzny zespolonej : dla każdego punktu x ∈ X istnieje sąsiedztwo x , które jest homeomorficzne z otwartym dyskiem jednostkowym zespolonego samolot i mapy przejść między dwoma nakładającymi się wykresami muszą być holomorficzne .
Powierzchnia Riemanna to zorientowana rozmaitość (rzeczywistego) wymiaru drugiego – powierzchnia dwustronna – wraz ze strukturą konforemną . Ponownie, rozmaitość oznacza, że lokalnie w dowolnym punkcie x z X przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem płaszczyzny rzeczywistej. Dodatek „Riemann” oznacza, że X jest wyposażony w dodatkową strukturę umożliwiającą pomiar kąta na rozmaitości, a mianowicie klasę równoważności tzw. metryk riemannowskich . Dwie takie metryki są uważane za równoważne , jeśli mierzone przez nie kąty są takie same. Wybór klasy równoważności metryk na X jest dodatkowym punktem odniesienia struktury konforemnej.

Ze złożonej struktury powstaje struktura konforemna, wybierając standardową metrykę euklidesową podaną na płaszczyźnie zespolonej i przenosząc ją do X za pomocą wykresów. Pokazanie, że struktura konforemna determinuje strukturę złożoną, jest trudniejsze.

Przykłady

Sfera Riemanna.

torus.

Płaszczyzna zespolona C jest najbardziej podstawową powierzchnią Riemanna. Mapa f ( z ) = z ( mapa tożsamości ) definiuje wykres dla C , a { f } jest atlasem dla C . Mapa g ( z ) = z ^* ( mapa sprzężona ) definiuje również wykres na C , a { g } jest atlasem dla C . Wykresy f i g nie są kompatybilne, więc daje to C dwie różne struktury powierzchniowe Riemanna. W rzeczywistości, biorąc pod uwagę powierzchnię Riemanna X i jej atlas A , atlas sprzężony B = { f ^* : f ∈ A } nigdy nie jest zgodny z A i nadaje X odrębną, niekompatybilną strukturę Riemanna.
W analogiczny sposób każdy niepusty otwarty podzbiór płaszczyzny zespolonej można w naturalny sposób postrzegać jako powierzchnię Riemanna. Mówiąc bardziej ogólnie, każdy niepusty otwarty podzbiór powierzchni Riemanna jest powierzchnią Riemanna.
Niech S = C ∪ {∞} i niech f ( z ) = z gdzie z jest w S \ {∞} i g ( z ) = 1 / z gdzie z jest w S \ {0} i 1/∞ jest zdefiniowane jako będzie 0. Wtedy f i g są wykresami, są zgodne, a { f , g } jest atlasem dla S , dzięki czemu S na powierzchnię Riemanna. Ta konkretna powierzchnia nazywana jest sferą Riemanna , ponieważ można ją interpretować jako owijanie płaszczyzny zespolonej wokół kuli. W przeciwieństwie do płaszczyzny zespolonej jest zwarta .
teoria zwartych powierzchni Riemanna jest równoważna teorii rzutowych krzywych algebraicznych , które są zdefiniowane na liczbach zespolonych i nie są osobliwe. Na przykład torus C /( Z + τ Z ), gdzie τ jest liczbą zespoloną nierzeczywistą, odpowiada, poprzez funkcję eliptyczną Weierstrassa związaną z siecią Z + τ Z , krzywej eliptycznej określonej równaniem
y ² = x ³ + topór + b .

Tori są jedynymi powierzchniami Riemanna rodzaju pierwszego, powierzchnie wyższych rodzajów zapewniają powierzchnie hipereliptyczne

y ² = P ( x ),
gdzie P jest wielomianem zespolonym stopnia 2 g + 1.
Wszystkie zwarte powierzchnie Riemanna są $ponieważ$ , można je osadzić w . Wynika to z twierdzenia Kodairy o osadzeniu i faktu, że na dowolnej krzywej zespolonej istnieje dodatnia wiązka linii.
Kontynuacja analityczna dostarcza ważnych przykładów niezwartych powierzchni Riemanna .

fa ( z ) = arcsin z
fa ( z ) = log z
fa ( z ) = z ^1/2
fa ( z ) = z ^1/3
fa ( z ) = z ^1/4

Dalsze definicje i właściwości

Podobnie jak w przypadku każdej mapy między rozmaitościami zespolonymi, funkcja f : M → N między dwiema powierzchniami Riemanna M i N nazywana jest holomorficzną , jeśli dla każdego wykresu g w atlasie M i każdego wykresu h w atlasie N , mapa h ∘ f ∘ g ⁻¹ jest holomorficzne (jako funkcja od C do C ) gdziekolwiek jest to zdefiniowane. Kompozycja dwóch map holomorficznych jest holomorficzna. Dwie powierzchnie Riemanna M i N nazywane są biholomorficznymi (lub konforemnie równoważnymi , aby podkreślić konforemny punkt widzenia), jeśli istnieje bijatyczna funkcja holomorficzna od M do N , której odwrotność jest również holomorficzna (okazuje się, że ten ostatni warunek jest automatyczny i może więc pominąć). Dwie konforemnie równoważne powierzchnie Riemanna są pod każdym względem identyczne.

Orientowalność

Każda powierzchnia Riemanna, będąc rozmaitością zespoloną, jest orientowalna jak rozmaitość rzeczywista. Dla złożonych wykresów f i g z funkcją przejścia h = f ( g ⁻¹ ( z )), h można uznać za odwzorowanie z otwartego zbioru R ² do R ² , którego Jakobian w punkcie z jest po prostu rzeczywistym odwzorowaniem liniowym dany przez pomnożenie przez liczbę zespoloną h '( z ). Jednak rzeczywisty wyznacznik mnożenia przez liczbę zespoloną α równa się | α | ² , więc Jakobian z h ma dodatni wyznacznik. W konsekwencji atlas złożony jest atlasem zorientowanym.

Funkcje

Każda niezwarta powierzchnia Riemanna dopuszcza niestałe funkcje holomorficzne (o wartościach w C ). W rzeczywistości każda niezwarta powierzchnia Riemanna jest rozmaitością Steina .

Natomiast na zwartej powierzchni Riemanna X każda funkcja holomorficzna o wartościach w C jest stała ze względu na zasadę maksimum . Jednak zawsze istnieją niestałe funkcje meromorficzne (funkcje holomorficzne o wartościach w sferze Riemanna C ∪ {∞}). Dokładniej, pole funkcyjne X jest skończonym rozszerzeniem C ( t ), pole funkcji w jednej zmiennej, czyli dowolne dwie funkcje meromorficzne są algebraicznie zależne. To stwierdzenie odnosi się do wyższych wymiarów, patrz Siegel (1955) . Funkcje meromorficzne można podać dość wyraźnie, używając funkcji teta Riemanna i mapy powierzchni Abela-Jacobiego .

Analityczne vs. algebraiczne

Istnienie niestałych funkcji meromorficznych może być wykorzystane do wykazania, że dowolna zwarta powierzchnia Riemanna jest rozmaitością rzutową , tj. może być dana przez równania wielomianowe wewnątrz przestrzeni rzutowej . W rzeczywistości można wykazać, że każda zwarta powierzchnia Riemanna może być osadzona w złożonej trójwymiarowej przestrzeni rzutowej . Jest to zaskakujące twierdzenie: powierzchnie Riemanna są określone przez lokalnie łatane wykresy. Jeśli doda się jeden warunek globalny, a mianowicie zwartość, powierzchnia jest koniecznie algebraiczna. Ta cecha powierzchni Riemanna pozwala badać je za pomocą analitycznej lub algebraicznej . Odpowiednie stwierdzenie dla obiektów o wyższych wymiarach jest fałszywe, tj. istnieją zwarte zespolone 2-rozmaitości, które nie są algebraiczne. Z drugiej strony, każda rzutowa rozmaitość zespolona jest z konieczności algebraiczna, patrz twierdzenie Chowa .

Jako przykład rozważmy torus T := C /( Z + τ Z ). Funkcja Weierstrassa należąca do sieci $_$ + Z jest na T _ _ Ta funkcja i jej pochodna generują ${\ Displaystyle \ wp _ {\ tau} '(z)}$ pole funkcyjne T . Istnieje równanie

{\ Displaystyle [\ wp '(z)] ^ {2} = 4 [\ wp (z) )]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}

gdzie współczynniki g ₂ i g ₃ zależą od τ, dając w ten sposób krzywą eliptyczną E _τ w sensie geometrii algebraicznej. Odwrócenie tego jest realizowane przez j-niezmiennik j ( E ), którego można użyć do określenia τ , a tym samym torusa.

Klasyfikacja powierzchni Riemanna

Zbiór wszystkich powierzchni Riemanna można podzielić na trzy podzbiory: hiperboliczne, paraboliczne i eliptyczne powierzchnie Riemanna. Geometrycznie odpowiadają one powierzchniom o ujemnej, zanikającej lub dodatniej stałej krzywiźnie przekroju . Oznacza to, że każda połączona powierzchnia Riemanna $stałej$ unikalną kompletną 2-wymiarową rzeczywistą $\ displaystyle -1,0}$ Riemanna o krzywiźnie równej lub lub ${\ displaystyle 1}$ który należy do konforemnej klasy metryk riemannowskich określonych przez jego strukturę jako powierzchnię Riemanna. Można to postrzegać jako konsekwencję istnienia współrzędnych izotermicznych .

W złożonych terminach analitycznych twierdzenie Poincaré-Koebe o uniformizacji (uogólnienie twierdzenia Riemanna o odwzorowaniu ) stwierdza, że każda prosto połączona powierzchnia Riemanna jest konforemnie równoważna jednemu z poniższych:

Kula $_$ _ ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$ ;
Płaszczyzna zespolona ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ;
Otwarty dysk ${\ Displaystyle \ mathbf {D}: = \ {z \ in \ mathbf {C}: | z | <1 \}} który jest$ izomorficzny z górną półpłaszczyzną ${\ Displaystyle \ mathbf {H}: = \ {z \ in \ mathbf {C}: \ operatorname {im} (z)> 0 \}}$ .

Powierzchnia Riemanna jest eliptyczna, paraboliczna lub hiperboliczna w zależności od tego, czy jej uniwersalne pokrycie jest izomorficzne z ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ lub re $\ Displaystyle \ mathbf {D}}$ . Elementy w każdej klasie dopuszczają dokładniejszy opis.

Powierzchnie eliptyczne Riemanna

Sfera Riemanna jest jedynym przykładem, ponieważ nie ma grupy działającej na nią przez przekształcenia biholomorficzne swobodnie i odpowiednio nieciągle , a więc ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C})}$ każda powierzchnia Riemanna, której uniwersalne pokrycie jest z nią izomorficzna, $musi$ izomorficzna

Powierzchnie paraboliczne Riemanna

Jeśli jest $}$ Riemanna, której uniwersalne pokrycie jest izomorficzne z płaszczyzną zespoloną, to jest izomorficzne z jedną z następujących powierzchni: ${\ displaystyle X$

${\ Displaystyle \ mathbf {C}$ ;
iloraz ${\ Displaystyle \ mathbf {C} /\ mathbf {Z}}$ ;
iloraz do ${\ Displaystyle \ mathbf {C} / (\ mathbf {Z} + \ mathbf {Z} \ tau)}$ gdzie ${\ Displaystyle \ tau \ w \ mathbf {$ z ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} (\ tau)> 0}$ .

Topologicznie istnieją tylko trzy typy: płaszczyzna, walec i torus . Ale podczas gdy w dwóch pierwszych $przypadkach$ (paraboliczna) struktura powierzchni Riemanna jest wyjątkowa, zmiana parametru trzecim przypadku daje nieizomorficzne powierzchnie Riemanna. Opis za pomocą $parametru$ przestrzeń Teichmüllera „zaznaczonych” powierzchni Riemanna (oprócz struktury powierzchni Riemanna dodaje się dane topologiczne „oznakowania”, które można postrzegać jako ustalony homeomorfizm torusa). Aby otrzymać przestrzeń modułów analitycznych (zapominając o oznaczeniu) bierze się iloraz przestrzeni Teichmüllera przez grupę klas odwzorowania . W tym przypadku jest to krzywa modularna .

Hiperboliczne powierzchnie Riemanna

W pozostałych przypadkach jest to hiperboliczna powierzchnia $Riemanna , czyli izomorficzna z ilorazem$ półpłaszczyzny przez grupę fuchsowską (jest to czasami nazywane modelem fuchsowskim dla powierzchni). Typ topologiczny $kuli$ być dowolną orientowalną powierzchnią z wyjątkiem torusa i .

Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy $jest$ . Wtedy jego typ topologiczny jest opisany przez jego rodzaj ${\ displaystyle g \ geq 2}$ . Jego przestrzeń Teichmüllera i przestrzeń modułów są ${\ Displaystyle 6g-6}$ . Można podać podobną klasyfikację powierzchni Riemanna typu skończonego (to znaczy homeomorficznych z powierzchnią zamkniętą minus skończona liczba punktów). Jednak ogólnie przestrzeń modułów powierzchni Riemanna o nieskończonym typie topologicznym jest zbyt duża, aby dopuszczać taki opis.

Mapy między powierzchniami Riemanna

Klasyfikacja geometryczna znajduje odzwierciedlenie w mapach między powierzchniami Riemanna, jak wyszczególniono w twierdzeniu Liouville'a i twierdzeniu Little Picarda : mapy od hiperbolicznej przez paraboliczną do eliptycznej są łatwe, ale mapy od eliptycznej do parabolicznej lub od parabolicznej do hiperbolicznej są bardzo ograniczone (w rzeczywistości generalnie stałe !). Istnieją inkluzje dysku w płaszczyźnie w kuli: ${\ Displaystyle \ Delta \ podzbiór \ mathbf {C} \ podzbiór {\ widehat {\ mathbf {C}}},}$ ale każda mapa holomorficzna od kuli do płaszczyzny jest stała, każda mapa holomorficzna od płaszczyzny do dysku jednostkowego jest stała (twierdzenie Liouville'a), aw rzeczywistości każda mapa holomorficzna od płaszczyzny do płaszczyzny minus dwa punkty jest stała (Little Picard twierdzenie)!

Przebite kule

Stwierdzenia te są wyjaśnione, biorąc pod uwagę typ kuli Riemanna z pewną $liczbą$ Bez przebić jest to sfera Riemanna, która jest eliptyczna. Z jednym przebiciem, które można umieścić w nieskończoności, jest to płaszczyzna zespolona, która jest paraboliczna. W przypadku dwóch nakłuć jest to przebita płaszczyzna lub alternatywnie pierścień lub cylinder, który jest paraboliczny. Przy trzech lub więcej przebiciach jest to hiperbola – porównaj parę spodni . Można mapować od jednego przebicia do dwóch za pomocą mapy wykładniczej (która jest cała i ma zasadniczą osobliwość w nieskończoności, więc nie jest zdefiniowana w nieskończoności i pomija zero i nieskończoność), ale wszystkie mapy od zera do jednego lub więcej, lub jedno lub dwa nakłucia do trzech lub więcej są stałe.

Rozgałęzione przestrzenie pokrywające

Kontynuując w tym duchu, zwarte powierzchnie Riemanna mogą być mapowane na powierzchnie niższego rodzaju, ale nie na wyższe rodzaje, z wyjątkiem map stałych. Dzieje się tak, ponieważ mapy holomorficzne i meromorficzne zachowują $a$ lokalnie jak więc mapy niestałe są pokrywające mapy , a dla zwartych powierzchni Riemanna są one ograniczone przez Riemanna- Formuła Hurwitza w topologii algebraicznej , która odnosi się do charakterystyki Eulera przestrzeni i rozgałęzionej okładki.

Na przykład hiperboliczne powierzchnie Riemanna są rozgałęzione i pokrywają przestrzenie kuli (mają niestałe funkcje meromorficzne), ale kula nie pokrywa ani nie odwzorowuje powierzchni wyższych rodzajów, z wyjątkiem stałej.

Izometrie powierzchni Riemanna

Grupa izometrii ujednoliconej powierzchni Riemanna (odpowiednik konforemnej grupy automorfizmów ) odzwierciedla jej geometrię:

rodzaj 0 – grupą izometrii kuli jest grupa Möbiusa przekształceń rzutowych linii zespolonej,
grupa izometrii płaszczyzny to podgrupa ustalająca nieskończoność, a płaszczyzny przebitej to podgrupa pozostawiająca niezmienny zbiór zawierający tylko nieskończoność i zero: albo ustalająca je obie, albo zamieniająca je (1/ z ).
grupa izometrii górnej półpłaszczyzny jest rzeczywistą grupą Möbiusa; jest to sprzężone z grupą automorfizmów dysku.
rodzaj 1 - grupa izometrii torusa jest w ogólnych translacjach (jako odmiana abelowa ), chociaż siatka kwadratowa i siatka heksagonalna mają symetrie addycyjne od obrotu o 90 ° i 60 °.
Dla rodzaju g ≥ 2 grupa izometrii jest skończona i ma porządek co najwyżej 84 ( g -1), zgodnie z twierdzeniem Hurwitza o automorfizmach ; powierzchnie, które realizują to ograniczenie, nazywane są powierzchniami Hurwitza.
Wiadomo, że każdą skończoną grupę można zrealizować jako pełną grupę izometrii jakiejś powierzchni Riemanna.
- Dla rodzaju 2 kolejność jest zmaksymalizowana przez powierzchnię Bolzy z rzędem 48.
- Dla rodzaju 3 kolejność jest maksymalizowana przez kwarc Kleina z rzędem 168; jest to pierwsza powierzchnia Hurwitza, a jej grupa automorfizmu jest izomorficzna z unikalną grupą prostą rzędu 168, która jest drugą najmniejszą nieabelową grupą prostą. Ta grupa jest izomorficzna zarówno z PSL(2,7) , jak i PSL(3,2) .
- W przypadku rodzaju 4 powierzchnia Bringa jest wysoce symetryczną powierzchnią.
- Dla rodzaju 7 kolejność jest maksymalizowana przez powierzchnię Macbeatha z rzędem 504; jest to druga powierzchnia Hurwitza, a jej grupa automorfizmu jest izomorficzna z PSL (2,8), czwartą najmniejszą nieabelową grupą prostą.

Klasyfikacja oparta na teorii funkcji

Powyższy schemat klasyfikacji jest zwykle używany przez geometrów. Istnieje inna klasyfikacja powierzchni Riemanna, która jest zwykle używana przez złożonych analityków. Wykorzystuje inną definicję „parabolicznego” i „hiperbolicznego”. W tym alternatywnym schemacie klasyfikacji powierzchnia Riemanna nazywana jest parabolą , jeśli na powierzchni nie ma niestałych ujemnych funkcji podharmonicznych i jest inaczej nazywana hiperbolą . Ta klasa powierzchni hiperbolicznych jest dalej podzielona na podklasy w zależności od tego, czy przestrzenie funkcyjne inne niż ujemne funkcje podharmoniczne są zdegenerowane, np. powierzchnie Riemanna, na których wszystkie ograniczone funkcje holomorficzne są stałe lub na których wszystkie ograniczone funkcje harmoniczne są stałe, lub na których wszystkie dodatnie funkcje harmoniczne są stałe itp.

Aby uniknąć nieporozumień, nazwijmy klasyfikację opartą na metrykach stałej krzywizny klasyfikacją geometryczną , a opartą na degeneracji przestrzeni funkcyjnych klasyfikacją teoretyczno-funkcjonalną . Na przykład powierzchnia Riemanna składająca się z „wszystkich liczb zespolonych oprócz 0 i 1” jest paraboliczna w klasyfikacji opartej na teorii funkcji, ale jest hiperboliczna w klasyfikacji geometrycznej.

Zobacz też

Twierdzenia dotyczące powierzchni Riemanna

Notatki

Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemanna Surfaces (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90465-8
Pablo Arés Gastesi, Książka Powierzchnie Riemanna .
Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052 , zwł. rozdział IV.
Jost, Jürgen (2006), Compact Riemanna Surfaces , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 208–219, ISBN 978-3-540-33065-3
Papadopoulos, Athanase, wyd. (2007), Podręcznik teorii Teichmüllera. Tom. I (PDF) , IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, tom. 11, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS), Zurych, doi : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6 , MR 2284826 , S2CID 119593165
Lawton, Sean; Peterson, Elisha (2009), Papadopoulos, Athanase (red.), Podręcznik teorii Teichmüllera. Tom. II , IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, tom. 13, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS), Zurych, arXiv : math/0511271 , doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5 , MR 2524085 , S2CID 16687772
Papadopoulos, Athanase, wyd. (2012), Podręcznik teorii Teichmüllera. Tom. III , IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, tom. 19, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS), Zurych, doi : 10.4171/103 , ISBN 978-3-03719-103-3
* Remmert, Reinhold (1998). „Od powierzchni Riemanna do złożonych przestrzeni”. Seminaires et Congrès . Zbl 1044.01520 .
Siegel, Carl Ludwig (1955), „Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten”, Nachrichten der Akademie der Wissenschaften w Getyndze. II. Mathematisch-Physikalische Klasse , 1955 : 71–77, ISSN 0065-5295 , MR 0074061
Weyl, Hermann (2009) [1913], Koncepcja powierzchni Riemanna (wyd. 3), New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-47004-7 , MR 0069903

Linki zewnętrzne

„Powierzchnia Riemanna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
McMullen, C. „Kompleksowa analiza powierzchni Riemanna Math 213b” (PDF) . Matematyka Harvardu . Uniwersytet Harwardzki.

Kontrola autorytetu
Biblioteki Narodowe	Hiszpania Francja Dane BnF Niemcy Izrael Stany Zjednoczone Japonia Republika Czeska
Inny	SZYBKO Identyfikator ref