Twierdzenie Liouville'a (złożona analiza)

W analizie złożonej twierdzenie Liouville'a , nazwane na cześć Josepha Liouville'a (chociaż twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione przez Cauchy'ego w 1844 r.), stwierdza, że każda ograniczona cała funkcja musi być stała . $,$ to, że każda funkcja holomorficzna $dla$ której istnieje liczba dodatnia taka że ${\ Displaystyle | f (z) | \ równoważnik M}$ $\ mathbb {C}} .$ wszystkich $Displaystyle$ jest stała do {\ Równoważnie, niestałe funkcje holomorficzne na $.$ nieograniczone obrazy

Twierdzenie to jest znacznie ulepszone przez małe twierdzenie Picarda , które mówi, że każda cała funkcja, której obraz pomija dwie lub więcej liczb zespolonych, musi być stała.

Dowód

To ważne twierdzenie ma kilka dowodów.

Standardowy dowód analityczny wykorzystuje fakt, że funkcje holomorficzne są analityczne .

Dowód

Jeśli f jest całą funkcją, można ją przedstawić za pomocą jej szeregu Taylora około 0:

${\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k}}$

gdzie (według wzoru całkowego Cauchy'ego )

$\ Displaystyle a_ {k} = {\ Frac {f ^ {(k)} (0)} {k!}} = {1 \ ponad 2\pi i}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta ^{k+1}}}\,d\zeta }$

a C _r jest kołem około 0 o promieniu r > 0. Załóżmy, że f jest ograniczone: tj. istnieje stała M taka, że ${\ Displaystyle | f (z) | \ równoważnik M}$ dla wszystkich z . Możemy oszacować bezpośrednio

${\ Displaystyle | a_ {k} | \ równoważnik {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ oint _ {C_ {r}} {\ frac {|f(\zeta )|}{|\zeta |^{k+1}}}\,|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi}}\oint _{C_{ r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}\oint _{ C_{r}}|d\zeta |={\frac {M}{2\pi r^{k+1}}}2\pi r={\frac {M}{r^{k}}}, }$

₀ gdzie w drugiej nierówności wykorzystaliśmy fakt, że ${\ displaystyle | z| = r}$ na kole do _r . Ale wybór r w powyższym jest dowolną liczbą dodatnią. Zatem pozwalając r zmierzać do nieskończoności (pozwolimy r zmierzać do nieskończoności, ponieważ f jest analityczne na całej płaszczyźnie) daje k ₌ 0 dla wszystkich k ≥ 1. Zatem f ( z ) = a i to dowodzi twierdzenia.

Inny dowód wykorzystuje właściwość wartości średniej funkcji harmonicznych.

Dowód

Mając dane dwa punkty, wybierz dwie kule, których środkiem są podane punkty i mają jednakowy promień. Jeśli promień jest wystarczająco duży, dwie kule będą się pokrywać, z wyjątkiem dowolnie małej części ich objętości. Ponieważ f jest ograniczone, średnie z dwóch kul są dowolnie bliskie, więc f przyjmuje tę samą wartość w dowolnych dwóch punktach.

Dowód można dostosować do przypadku, w którym funkcja harmoniczna f jest ograniczona powyżej lub poniżej. Zobacz Funkcja harmoniczna # Twierdzenie Liouville'a .

Wnioski

Podstawowe twierdzenie algebry

Istnieje krótki dowód podstawowego twierdzenia algebry opartego na twierdzeniu Liouville'a.

Żadna cała funkcja nie dominuje nad inną całą funkcją

Konsekwencją twierdzenia jest to, że „naprawdę różne” całe funkcje nie mogą nad sobą dominować, tzn. jeśli f i g są całkowite, a | fa | ≤ | g | wszędzie wtedy f = α· g dla pewnej liczby zespolonej α. Weź pod uwagę, że dla g = 0 twierdzenie jest trywialne, więc zakładamy, że ${\ Displaystyle g \ neq 0.}$ Rozważ funkcję h = f / g . Wystarczy udowodnić, że h można rozszerzyć na całą funkcję, w którym to przypadku wynik wynika z twierdzenia Liouville'a. Holomorfia h jest wyraźna, z wyjątkiem punktów g ^-1 (0). Ale ponieważ h jest ograniczone, a wszystkie zera g są izolowane, wszelkie osobliwości muszą być usuwalne. Zatem h można rozszerzyć na całkowicie ograniczoną funkcję, która z twierdzenia Liouville'a implikuje, że jest stała.

Jeśli f jest mniejsze lub równe skalarowi pomnożonemu przez jego dane wejściowe, to jest liniowe

Załóżmy, że f jest całkowite i | fa ( z )| jest mniejsze lub równe M | z |, dla M dodatnia liczba rzeczywista. Możemy zastosować wzór całkowy Cauchy'ego; mamy to

{\ Displaystyle | f' (z) | = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ lewo | \ oint _ {C_ {r}}} {\ Frac {f (\ zeta)} {(\ zeta - z)^{2}}}d\zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi}}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta)|}{ \left|(\zeta -z)^{2}\right|}}|d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi}}\oint _{C_{r}}{\frac { M|\zeta |}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|d\zeta \right|={\frac {MI}{2\pi }}}

gdzie I jest wartością pozostałej całki. To pokazuje, że f′ jest ograniczone i całkowite, więc musi być stałe, zgodnie z twierdzeniem Liouville'a. Całkowanie pokazuje następnie, że f jest afiniczne , a następnie, odwołując się z powrotem do pierwotnej nierówności, otrzymujemy, że stały składnik wynosi zero.

Niestałe funkcje eliptyczne nie mogą być zdefiniowane na ℂ

Twierdzenie można również wykorzystać do wywnioskowania, że dziedziną niestałej funkcji eliptycznej f nie może być ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$ Załóżmy, że tak. Następnie, jeśli a i b są dwoma okresami f takimi, że a / b nie jest rzeczywiste, rozważmy równoległobok P , którego wierzchołkami są 0, a , b i a + b . Następnie obraz f jest równe f ( P ). Ponieważ f jest ciągłe , a P jest zwarte , f ( P ) jest również zwarte, a zatem ograniczone. Zatem f jest stała.

$,$ że dziedziną niestałej funkcji eliptycznej f nie może być to, co faktycznie udowodnił Liouville w 1847 ., używając teorii funkcji eliptycznych. W rzeczywistości to Cauchy udowodnił twierdzenie Liouville'a.

Całe funkcje mają gęste obrazy

Jeśli f jest niestałą całą funkcją, to jej obraz jest gęsty w ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$ To może wydawać się znacznie silniejszym wynikiem niż twierdzenie Liouville'a, ale w rzeczywistości jest to łatwy wniosek. Jeśli obraz f nie jest gęsty, to istnieje liczba zespolona w i liczba rzeczywista r > 0 taka, że otwarty dysk o środku w w i promieniu r nie zawiera żadnego elementu obrazu f . Definiować

{\ Displaystyle g (z) = {\ Frac {1} {f (z) -w}}.}

Wtedy g jest ograniczoną całą funkcją, ponieważ dla wszystkich $z$ ,

{\ Displaystyle | g (z) | = {\ Frac {1} {1} {| f (z) -w |} < {\ Frac {1} {r}}.}

Zatem g jest stałe, a zatem f jest stałe.

Na zwartych powierzchniach Riemanna

Każda funkcja holomorficzna na zwartej powierzchni Riemanna jest z konieczności stała.

Niech $_$ zwartej $.$ _ Ze względu na zwartość istnieje punkt, w którym $M}$ ${\ Displaystyle | f (p) |}$ osiąga maksimum. Następnie możemy znaleźć wykres z sąsiedztwa do dysku jednostkowego $}$ , że ${\ displaystyle p_ {0}$ ${\ Displaystyle f (\ phi ^ {- 1} (z))}$ jest holomorficzny na dysku jednostkowym i ma maksimum w ${\ Displaystyle \ phi (p_ {0})\in \mathbb {D} }$ , więc jest stały, zgodnie z zasadą maksymalnego modułu .

Uwagi

Niech będzie jednopunktowym zagęszczeniem płaszczyzny zespolonej ${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$ $\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ Zamiast funkcji holomorficznych zdefiniowanych w regionach w $,$ rozważyć regiony w ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}.}$ Patrząc w ten sposób, jedyna możliwa osobliwość dla całych funkcji, zdefiniowana na $\ Displaystyle \ mathbb {C} \ podzbiór \ mathbb {C} \ kubek \ {\ infty \},}$ jest punktem $\infty$ . Jeśli cała funkcja $f$ jest ograniczona w sąsiedztwie $\infty$ , to $\infty$ jest usuwalną osobliwością f $,$ tj. $f$ nie może wybuchnąć ani zachowywać się chaotycznie w $\infty$ . W świetle rozwinięcia szeregów potęgowych nie jest zaskakujące, że twierdzenie Liouville'a jest prawdziwe.

Podobnie, jeśli cała funkcja ma biegun rzędu $n$ w punkcie $\infty$ — to znaczy rośnie pod względem wielkości w sposób porównywalny do $z n$ w pewnym sąsiedztwie $\infty$ — wtedy $f$ jest wielomianem. Tę rozszerzoną wersję twierdzenia Liouville'a można określić bardziej precyzyjnie: jeśli $| fa (z) | \leq M | zn_|$ dla $| z |$ wystarczająco duże, to $f$ jest wielomianem stopnia co najwyżej $n$ . Można to udowodnić w następujący sposób. Ponownie weźmy reprezentację $f w szeregu Taylora$ ,

{\ Displaystyle f (z) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {k}.}

Argument użyty podczas dowodu z wykorzystaniem oszacowań Cauchy'ego pokazuje, że dla wszystkich $k \geq 0$ ,

{\ Displaystyle | a_ {k} | \ równoważnik Mr ^ {nk}.}

Więc jeśli $k > n$ , to

{\ Displaystyle | a_ {k} | \ równoważnik \ lim _ {r \ do \ infty} Mr ^ {nk} = 0.}

Dlatego $k k = 0$ =

Twierdzenie Liouville'a nie obejmuje uogólnień liczb zespolonych znanych jako liczby podwójne i liczby podwójne .

Zobacz też

Twierdzenie Mittaga-Lefflera

^ Solomentsev, ED; Stiepanow, SA; Kvasnikov, IA (2001) [1994], "Twierdzenia Liouville'a" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
^ Nelson Edward (1961). „Dowód twierdzenia Liouville'a” . Obrady AMS . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
Bibliografia _ Gerharda Rosenbergera (1997). Podstawowe twierdzenie algebry . Springer Science & Business Media. s. 70–71. ISBN 978-0-387-94657-3 .
Bibliografia zewnętrzne _ _ _ _ 88, s. 277–310, ISSN 0075-4102 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 11.07.2012 Linki
Bibliografia _ _ _ _ _ _ 8, Paryż: Gauthiers-Villars (opublikowane 1882)
^ Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics , Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, tom. 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
^ zwięzły kurs analizy zespolonej i powierzchni Riemanna, Wilhelm Schlag, wniosek 4.8, s. 77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Zarchiwizowane 2017-08-30 w Wayback Machine
Bibliografia _ Flim, Rachel (15 stycznia 2017). „Twierdzenia Liouville'a w podwójnych i podwójnych płaszczyznach” . Dziennik matematyki licencjackiej Rose-Hulman . 12 (2).

Linki zewnętrzne

[1] Solomentsev, ED; Stiepanow, SA; Kvasnikov, IA (2001) [1994], "Twierdzenia Liouville'a" , Encyklopedia matematyki , EMS Press

[2] Nelson Edward (1961). „Dowód twierdzenia Liouville'a” . Obrady AMS . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .

[3] Bibliografia _ Gerharda Rosenbergera (1997). Podstawowe twierdzenie algebry . Springer Science & Business Media. s. 70–71. ISBN 978-0-387-94657-3 .

[4] Bibliografia zewnętrzne _ _ _ _ 88, s. 277–310, ISSN 0075-4102 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 11.07.2012 Linki

[5] Bibliografia _ _ _ _ _ _ 8, Paryż: Gauthiers-Villars (opublikowane 1882)

[6] Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics , Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, tom. 15, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7

[7] zwięzły kurs analizy zespolonej i powierzchni Riemanna, Wilhelm Schlag, wniosek 4.8, s. 77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Zarchiwizowane 2017-08-30 w Wayback Machine

[8] Bibliografia _ Flim, Rachel (15 stycznia 2017). „Twierdzenia Liouville'a w podwójnych i podwójnych płaszczyznach” . Dziennik matematyki licencjackiej Rose-Hulman . 12 (2).