Usuwalna osobliwość

Wykres paraboli z usuwalną osobliwością przy x = 2

W analizie złożonej wyjmowalna osobliwość funkcji holomorficznej jest punktem, w którym funkcja jest niezdefiniowana , ale możliwe jest przedefiniowanie funkcji w tym punkcie w taki sposób, że wynikowa funkcja jest regularna w sąsiedztwie tego punktu.

Na przykład (nieznormalizowana) funkcja sinc

${\ Displaystyle {\ tekst {sinc}} (z) = {\ Frac {\ sin z} {z}}}$

ma osobliwość w z = 0 . Tę osobliwość można usunąć, definiując $displaystyle {\ text {sinc}} (0): = 1,},$ \ który jest granicą sinc , gdy z dąży do 0. Wynikowa funkcja jest holomorficzna. W tym przypadku przyczyną problemu było nadanie sinc nieokreślonej formy . Biorąc szeregu potęg dla ${\textstyle {\frac {\sin(z)}{z}}}$ wokół punktu osobliwego to pokazuje

${\ Displaystyle {\ text {sinc}} (z) = {\ Frac {1} {z}} \ lewo (\ suma _ {k = 0} ^ {\ infty}} {\ Frac {(-1) ^ { k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^ {2k}}{(2k+1)!}}=1-{\frac {z^{2}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{5!}}-{\ frac {z^{6}}{7!}}+\cdots .}$

Formalnie $\ in U}$ jeśli jest otwartym podzbiorem płaszczyzny $zespolonej$ , to punkt $Displaystyle$ U ${\ Displaystyle U}$ i jest holomorficzną , a następnie $: U \ setminus \ {a \} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ sol $} , która$$Displaystyle$$g$ } pokrywa z $\ displaystyle f} }$ { na ${\ Displaystyle U \ setminus \ {a \}}$ . Mówimy, $jeśli$ jest holomorficznie rozciągalny na ${\ displaystyle U},$ taka a ${\ displaystyle g}$ istnieje.

Twierdzenie Riemanna

Riemanna o usuwalnych osobliwościach jest następujące:

Twierdzenie - Niech będzie otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, $\ displaystyle a \ in D}$ i $} \ displaystyle f}$$re$ { $displaystyle$ funkcja holomorficzna zdefiniowana na zbiorze ${\ displaystyle D \ setminus \ {a \}}$ . Następujące są równoważne:

1. ${\ displaystyle f}$ jest holomorficznie rozciągalny na za $\ displaystyle a}$ .
2. ${\ displaystyle f}$ jest w sposób ciągły rozszerzalny na za $\ displaystyle a}$ .
3. Istnieje sąsiedztwo , na $_$$ograniczony$ . _ _
4. ${\ Displaystyle \ lim _ {z \ do a} (za) f (z) = 0}$ .

Implikacje 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 są trywialne. Aby udowodnić 4 ⇒ 1, najpierw przypominamy sobie, że holomorfia funkcji w $jest$ równoważna temu, że jest ona analityczna w $,$ dowód ) tj. ma reprezentację szeregów potęgowych. Definiować

${\ Displaystyle h (z) = {\ rozpocząć {przypadki} (za) ^ {2} f (z) & z \ neq a, \\ 0&z = a. \ koniec {przypadków}}}$

Oczywiście h jest holomorficzne na i istnieje ${\ Displaystyle D \ setminus \ {a \}}$

${\ Displaystyle h' (a) = \ lim _{z\do a}{\frac {(za)^{2}f(z)-0}{za}}=\lim _{z\do a}(za)f(z)=0}$

przez 4, stąd h jest holomorficzne na D i ma szereg Taylora o a :

${\ Displaystyle h (z) = c_ {0} + c_ {1} (za) + c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + \ cdots \,. }$

₀ Mamy c = h ( a ) = 0 i c ₁ = h ' ( a ) = 0; W związku z tym

${\ Displaystyle h (z) = c_ {2} (za) ^ {2} + c_ {3} (za) ^ {3} + \ cdots \,.}$

Stąd, gdzie z ≠ a , mamy:

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {h (z)} {(za) ^ {2}}} = c_ {2} + c_ {3} (za) + \ cdots \,.}$

Jednakże,

${\ Displaystyle g (z) = c_ {2} + c_ {3} (za) + \ cdots \,.}$

jest holomorficzny na D , a więc jest przedłużeniem f .

Inne rodzaje osobliwości

W przeciwieństwie do funkcji zmiennej rzeczywistej, funkcje holomorficzne są na tyle sztywne, że ich izolowane osobliwości można całkowicie sklasyfikować. Osobliwość funkcji holomorficznej albo w ogóle nie jest osobliwością, tj. osobliwością usuwalną, albo jednym z dwóch następujących typów:

1. W świetle twierdzenia Riemanna, biorąc pod uwagę nieusuwalną osobliwość, można by zapytać, czy istnieje liczba naturalna $taka$ , że $\ displaystyle \lim _{z\rightarrow a}(za)^{m+1}f(z)=0}$ . Jeśli tak, $\$ nazywany jest biegunem , a najmniejszy taki $displaystyle a}$${\ displaystyle m}$ jest rzędu za ${\ displaystyle a$ . Tak więc usuwalne osobliwości są dokładnie biegunami rzędu 0. Funkcja holomorficzna wybucha równomiernie w pobliżu innych biegunów.
2. Jeśli izolowana osobliwość $, ani$ ani usuwalna $biegunowa$ , nazywana jest osobliwością zasadniczą Twierdzenie Wielkiego Picarda pokazuje $,$ takie $odwzorowuje$ każde przebite otwarte sąsiedztwo całą płaszczyznę zespoloną, z punkt.

Zobacz też

• Zdolność analityczna
• Usuwalna nieciągłość

Linki zewnętrzne

• Usuwalny punkt osobliwy w Encyklopedii Matematyki