Sąsiedztwo (matematyka)

Zbiór na otoczeniem punktu, dysk zawarty w

W topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki sąsiedztwo ( lub sąsiedztwo ) jest jednym z podstawowych pojęć w przestrzeni topologicznej . Jest to ściśle związane z koncepcjami zbioru otwartego i wnętrza . Intuicyjnie rzecz biorąc, sąsiedztwo punktu to zbiór punktów zawierających ten punkt, w którym można przesunąć się o pewną odległość w dowolnym kierunku od tego punktu bez opuszczania zbioru.

Definicje

Sąsiedztwo punktu

Jeśli jest przestrzenią topologiczną i jest w { to sąsiedztwo jest podzbiorem , który obejmuje zbiór otwarty zawierający ,

punktem do topologicznego wnętrza .

Sąsiedztwo nie musi podzbiorem otwartym ale kiedy jest otwarte w się to sąsiedztwem otwartym Wiadomo, że niektórzy autorzy wymagają, aby dzielnice były otwarte, dlatego ważne jest, aby zwrócić uwagę na konwencje.

Zamknięty prostokąt nie ma otoczenia na żadnym z jego rogów ani na granicy, ponieważ nie ma otwartego zbioru zawierającego jakikolwiek róg.

Zbiór, który jest otoczeniem każdego ze swoich punktów, jest otwarty, ponieważ można go wyrazić jako sumę zbiorów otwartych zawierających każdy z jego punktów. Zamknięty prostokąt, jak pokazano na rysunku, nie jest otoczeniem wszystkich jego punktów; punkty na krawędziach lub rogach prostokąta nie są zawarte w żadnym otwartym zbiorze zawartym w prostokącie.

Zbiór wszystkich sąsiedztw punktu nazywa się systemem sąsiedztwa w punkcie.

Sąsiedztwo zbioru

Jeśli jest podzbiorem przestrzeni topologicznej to sąsiedztwo zbiorem otwarty \ zawierający , S

tego, że zbiór jest otoczeniem wtedy i wszystkich punktów w jest otoczeniem i wtedy, wnętrza V Sąsiedztwo który jest również otwartym nazywa otwartym sąsiedztwem Sąsiedztwo punktu to tylko szczególny przypadek tej definicji.

W przestrzeni metrycznej

Zbiór jednolite .
Sąsiedztwo epsilon liczby na osi liczb

W przestrzeni metrycznej zbiór jest otoczeniem punktu, jeśli istnieje otwarta ze środkiem promieniem takim, że p {\ displaystyle p}

zawiera się

nazywa się jednolitym sąsiedztwem zbioru , jeśli istnieje liczba dodatnia że ​​dla wszystkich elementów

zawiera się

Dla { -sąsiedztwo zbioru to zbiór wszystkich punktów w \ r suma wszystkich otwartych kul o promieniu r , które są wyśrodkowane w punkcie w ):

Wynika z tego bezpośrednio, że jednolitym sąsiedztwem, a zbiór jest jednolitym sąsiedztwem wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewnej wartości

Przykłady

Zbiór M jest otoczeniem liczby a , ponieważ istnieje ε-sąsiedztwo liczby a , które jest podzbiorem M.

Biorąc pod uwagę zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłą metryką euklidesową i podzbiorem zdefiniowanym jako

wtedy jest zbioru , ale nie jest jednorodnym tego zbioru .

Topologia z sąsiedztwa

Powyższa definicja jest przydatna, jeśli pojęcie zbioru otwartego jest już zdefiniowane. Istnieje alternatywny sposób definiowania topologii, najpierw definiując układ sąsiedztwa , a następnie zbiory otwarte jako zbiory zawierające sąsiedztwo każdego z ich punktów.

System sąsiedztwa na to przypisanie filtra podzbiorów X każdego X taki, że

  1. punkt elementem każdego w
  2. każdy zawiera trochę N tak, że dla każdego y w jest w

Można pokazać, że obie definicje są zgodne, to znaczy topologia uzyskana z układu sąsiedztwa zdefiniowanego za pomocą zbiorów otwartych jest topologią oryginalną i odwrotnie, wychodząc z układu sąsiedztwa.

Jednolite dzielnice

W jednolitej przestrzeni nazywa się jednolite sąsiedztwo P. { Phi takie, że zawiera wszystkie punkty , które są -blisko jakiegoś punktu to znaczy dla wszystkich

Usunięta okolica

Usunięte sąsiedztwo punktu ( czasami nazywane przebitym to sąsiedztwo bez Na przykład przedział jest sąsiedztwem linii rzeczywistej , więc zbiór to usunięte sąsiedztwo Usunięte sąsiedztwo danego punktu nie jest w rzeczywistości sąsiedztwem punktu. Pojęcie usuniętego sąsiedztwa występuje w definicji granicy funkcji oraz w definicji punktów granicznych (między innymi).

Zobacz też

  • System sąsiedztwa – (dla punktu x) zbiór wszystkich sąsiedztw dla punktu x
  • Region (matematyka) - Spójny otwarty podzbiór przestrzeni topologicznej
  • Sąsiedztwo rurkowe - sąsiedztwo podrozmaitości homeomorficzne z normalną wiązką tej podrozmaitości