Niezdefiniowany (matematyka)

W matematyce termin niezdefiniowany jest często używany w odniesieniu do wyrażenia, któremu nie jest przypisana interpretacja lub wartość (na przykład forma nieokreślona , ​​która ma skłonność do przyjmowania różnych wartości). Termin ten może przybierać różne znaczenia w zależności od kontekstu. Na przykład:

• W różnych gałęziach matematyki pewne pojęcia są wprowadzane jako pojęcia pierwotne (np. terminy „punkt”, „linia” i „kąt” w geometrii ). Ponieważ terminy te nie są zdefiniowane w kategoriach innych pojęć, można je określać jako „terminy nieokreślone”.
• $na przykład funkcja$ funkcja jest „nieokreślona” w punktach poza jej - wartościach rzeczywistych dla ujemnej ${\ displaystyle x}$ (tj. nie przypisuje żadnej wartości argumentom ujemnym).
• W algebrze niektóre operacje arytmetyczne mogą nie przypisywać znaczenia pewnym wartościom jej operandów (np. dzielenie przez zero ). W takim przypadku wyrażenia zawierające takie operandy są określane jako „nieokreślone”.

Niezdefiniowane terminy

W starożytności geometrzy próbowali zdefiniować każdy termin. Na przykład Euclid zdefiniował punkt jako „to, co nie ma części”. W dzisiejszych czasach matematycy uznają, że próba zdefiniowania każdego słowa nieuchronnie prowadzi do definicji okrężnych i dlatego pozostawiają niektóre terminy (takie jak „punkt”) niezdefiniowane ( więcej informacji można znaleźć w pojęciu pierwotnym ).

To bardziej abstrakcyjne podejście pozwala na owocne uogólnienia. W topologii przestrzeń topologiczną można zdefiniować jako zbiór punktów obdarzonych pewnymi właściwościami, ale w ogólnym ujęciu charakter tych „punktów” pozostaje całkowicie niezdefiniowany. Podobnie w teorii kategorii kategoria składa się z „przedmiotów” i „strzałek”, które ponownie są prymitywnymi, niezdefiniowanymi terminami. Pozwala to na zastosowanie takich abstrakcyjnych teorii matematycznych w bardzo różnych konkretnych sytuacjach.

w arytmetyce

Wyrażenie 0 / 0 jest nieokreślone w arytmetyce, jak wyjaśniono w dzieleniu przez zero (to samo wyrażenie jest używane w rachunku różniczkowym do reprezentowania nieokreślonej postaci ).

0⁰ Matematycy mają różne opinie co do tego, czy należy zdefiniować jako równe 1, czy też pozostawić niezdefiniowane.

Dalsze informacje: Zero do potęgi zero

Wartości, dla których funkcje są niezdefiniowane

Zbiór liczb, dla których zdefiniowano funkcję , nazywa się dziedziną funkcji. Jeśli liczba nie należy do dziedziny funkcji, mówi się, że funkcja jest „niezdefiniowana” dla tej liczby. $przykłady$ typowe , i $fa$${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}$ , co jest niezdefiniowane (w systemie liczb rzeczywistych) dla wartości ujemnej ${\ displaystyle x}$ .

W trygonometrii

trygonometrii dla wszystkich funkcji $Displaystyle \ tan \ theta}$$\ Displaystyle \ sec \ theta}$$i$ niezdefiniowane dla wszystkich ${\ textstyle \ teta = \ pi \ lewo (n - {\ Frac {1} {2}} \ prawej)}$ , podczas gdy funkcje ${\ Displaystyle \ łóżeczko \ teta }$ i ${\ Displaystyle \ csc \ theta}$ są niezdefiniowane dla wszystkich ${\ Displaystyle \ theta = \ pi n}$ .

W złożonej analizie

W analizie złożonej $w$ , funkcja holomorficzna jest niezdefiniowana nazywany jest osobliwością . Rozróżnia się usuwalne osobliwości (tj $)$ funkcję można rozszerzyć holomorficznie do $,$ bieguny ( tj. funkcję można rozszerzyć meromorficznie do i istotne osobliwości może istnieć żadne meromorficzne rozszerzenie do ${\ displaystyle z} ).$

W informatyce

Notacja za pomocą ↓ i ↑

W teorii obliczalności , jeśli jest funkcją częściową na ${ \ displaystyle$${\ Displaystyle f (a) \ downarrow}$$}$ i jest elementem $\$$displaystyle S}$ , to jest to zapisane jako i jest odczytywane jako „ f ( a ) jest zdefiniowane ”.

Jeśli $za {\$ należy do domeny , to jest to zapisywane jako $f (a) \ uparrow}$$Displaystyle$ i jest odczytywane jako „ ${\ Displaystyle f (a)}$ jest nieokreślony ".

Symbole nieskończoności

W analizie , teorii miary i $ujemną$ dyscyplinach matematycznych symbol jest często $.$ do oznaczenia nieskończonej pseudoliczby wraz z jej Symbol sam w sobie nie ma dobrze zdefiniowanego znaczenia, ale wyrażenie takie jak ${\ Displaystyle \ lewo \ {a_ {n} \ prawo \} \ rightarrow \ infty}$ jest skrótem oznaczającym rozbieżną sekwencję , która w pewnym momencie jest ostatecznie większa niż jakakolwiek dana liczba rzeczywista.

za pomocą symboli $nieokreślone$ Jednak niektóre rozszerzenia definiują następujące konwencje dodawania i mnożenia:

•    ${\ Displaystyle x + \ infty = \ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} \ puchar \ {\ infty \}}$ .
•    ${\ Displaystyle -\ infty + x = - \ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} \ kubek \ {- \ infty \} }$ .
•    ${\ Displaystyle x \ cdot \ infty = \ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$ .

Żadne rozsądne rozszerzenie dodawania i mnożenia z nie istnieje w następujących przypadkach: ${\ displaystyle \ infty}$

• ${\ Displaystyle \ infty - \ infty}$
• ${\ Displaystyle 0 \ cdot \ infty}$ (chociaż w teorii miary jest to często definiowane jako ${\ Displaystyle 0}$ )
• ${\ Displaystyle {\ Frac {\ infty} {\ infty}}}$
• ${\ Displaystyle - \ infty [{1 (0)}]}$

Aby uzyskać więcej informacji, zobacz rozszerzoną oś liczb rzeczywistych .

Dalsza lektura

•   Inteligentny, James R. (1988). Nowoczesne geometrie (wyd. Trzecie). Brooks/Cole. ISBN 0-534-08310-2 .