Twierdzenie Picarda

W analizie złożonej wielkie twierdzenie Picarda i małe twierdzenie Picarda są powiązanymi twierdzeniami o zakresie funkcji analitycznej . Zostały nazwane na cześć Émile'a Picarda .

Twierdzenia

kolorowania domeny funkcji exp ( 1 / z ), wyśrodkowany na istotnej osobliwości w z = 0. Odcień punktu z reprezentuje argument exp ( 1 / z ), luminancja reprezentuje jego wartość bezwzględną. Ten wykres pokazuje, że arbitralnie blisko osobliwości osiągane są wszystkie wartości niezerowe.

Twierdzenie Małego Picarda: $textstyle f(z)}$ funkcja jest $które$ i nie jest stała zbiór wartości, \ zakłada, że jest to albo cała płaszczyzna zespolona, albo płaszczyzna minus pojedynczy punkt.

Szkic dowodu: Oryginalny dowód Picarda opierał się na właściwościach modułowej funkcji lambda , zwykle oznaczanej przez λ, która, używając nowoczesnej terminologii, wykonuje holomorficzny uniwersalne pokrycie dwukrotnie przebitej płaszczyzny tarczą jednostkową. Ta funkcja jest wyraźnie skonstruowana w teorii funkcji eliptycznych . Jeśli f pomija dwie wartości, to złożenie f z odwrotnością funkcji modularnej odwzorowuje płaszczyznę na dysk jednostkowy, co implikuje, że f jest stałe zgodnie z twierdzeniem Liouville'a.

Twierdzenie to jest znaczącym wzmocnieniem twierdzenia Liouville'a, które mówi, że obraz całej funkcji niestałej musi być nieograniczony . Później znaleziono wiele różnych dowodów twierdzenia Picarda, a twierdzenie Schottky'ego jest jego ilościową wersją. W przypadku, gdy wartościom f brakuje jednego punktu, punkt ten nazywany jest wartością lakunarną funkcji.

$Wielkiego$ Picarda: analityczna f ma zasadniczą osobliwość $przebitym$ , w każdym sąsiedztwie przyjmuje wszystkie możliwe wartości, co najwyżej z jednym wyjątkiem, nieskończenie często.

$.$ znaczne wzmocnienie twierdzenia Casoratiego – Weierstrassa , które gwarantuje jedynie, że zakres jest gęsty na płaszczyźnie zespolonej Wynikiem Wielkiego Twierdzenia Picarda jest to, że każda cała, nie wielomianowa funkcja osiąga wszystkie możliwe wartości zespolone nieskończenie często, z co najwyżej jednym wyjątkiem.

„Pojedynczy wyjątek” jest potrzebny w obu twierdzeniach, jak pokazano tutaj:

e ^z jest całą niestałą funkcją, która nigdy nie jest równa 0,
${\ textstyle e ^ {\ frac {1}{z}}}$ ma zasadniczą osobliwość przy 0, ale nadal nigdy nie osiąga 0 jako wartości.

Dowód

Małe twierdzenie Picarda

Załóżmy, że $C}}$ $z_ {1 }}$ jest całą funkcją, która pomija dwie wartości $textstyle$ z . Rozważając ${\ textstyle {\ Frac {f (z) -z_ {0}} {z_ {1} -z_ {0}}}}$ możemy założyć bez utraty ogólności, że ${\ textstyle z_ {0}=0}$ i ${\ textstyle z_ {1} = 1}$ .

Ponieważ $}$ } jest po prostu spójny , a zakres $\$ $textstyle 0}$ , f ma logarytm holomorficzny . Niech $($ będzie całą funkcją taką, że $^ {2 \ pi ig (z)}}$ . Następnie zakres ${\ textstyle g}$ pomija wszystkie liczby całkowite. Za pomocą podobnego argumentu używającego wzoru kwadratowego istnieje cała funkcja taka, że $\$ $textstyle g (z) = \ cos (h (z$ . zakres pomija liczby zespolone postaci $cosh$ ${\textstyle 2\pi n\pm i\cosh ^{-1}(m)}$ , gdzie ${\textstyle n}$ jest liczbą całkowitą, a ${\textstyle m}$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

Zgodnie z $zawiera$ Landaua , jeśli ${\ textstyle h' (w) \ neq 0}$ , to dla wszystkich zakres ${\ textstyle {R> 0}}$ a dysk o promieniu ${\ textstyle | h' (w) | R / 72}$ . Ale z góry każdy wystarczająco duży dysk zawiera co najmniej jedną liczbę, której zakres ho pominie. Dlatego ${\ textstyle h' (w) = 0}$ dla wszystkich ${\ textstyle w}$ . Zgodnie z $podstawowym$ twierdzeniem rachunku różniczkowego $stała$ jest stała, więc .

Twierdzenie Wielkiego Picarda

Dowód Wielkiego Twierdzenia Picarda

₀₀₀₀ Załóżmy, że f jest funkcją analityczną na przebitej tarczy o promieniu r wokół punktu w , która pomija dwie wartości z i z ₁ . Rozważając ( f ( p + rz ) − z )/( z ₁ − z ) możemy przyjąć bez utraty ogólności, że z = 0, z ₁ = 1, w = 0, oraz r = 1.

Funkcja F ( z ) = f ( e ^{- z} ) jest analityczna w prawej półpłaszczyźnie Re ( z ) > 0. Ponieważ prawa półpłaszczyzna jest po prostu spójna, podobnie jak w dowodzie twierdzenia Małego Picarda, istnieje funkcje analityczne G i H określone na prawej półpłaszczyźnie w taki sposób, że F ( z ) = e ^{2π iG ( z )} i G ( z ) = cos( H ( z )). Dla dowolnego w w prawej półpłaszczyźnie otwarty dysk o promieniu Re( w ) wokół w jest zawarty w domenie H . Z twierdzenia Landaua i obserwacji o zasięgu H w dowodzie twierdzenia Little Picarda wynika, że istnieje stała C > 0 taka, że | H ′ ( w ) | ≤ do / Re ( w ). Zatem dla wszystkich liczb rzeczywistych x ≥ 2 i 0 ≤ y ≤ 2π,

{\ Displaystyle | H (x + iy) | = \ lewo | H (2 + iy) + \ int _ {2} ^ {x} H' (t + iy) \, \ operatorname {d} t\prawo|\równoważnik |H(2+iy)|+\int _{2}^{x}{\frac {C}{t}}\,\mathrm {d} t\równik A\log x, }

gdzie A > 0 jest stałą. Więc | sol ( x + iy )| ≤ x ^ZA .

Następnie obserwujemy, że F ( z + 2π i ) = F ( z ) w prawej półpłaszczyźnie, co implikuje, że G ( z + 2π i ) − G ( z ) jest zawsze liczbą całkowitą. Ponieważ G jest ciągła, a jej dziedzina jest spójna , różnica G ( z + 2π i ) − G ( z ) = k jest stałą. Innymi słowy, funkcja G ( z ) − kz / (2π i ) ma okres 2π i . Zatem istnieje funkcja analityczna g zdefiniowana w przebitym dysku o promieniu e ⁻² wokół 0 taka, że G ( z ) − kz / (2π i ) = g ( e ^{− z} ).

Używając ograniczenia na G powyżej, dla wszystkich liczb rzeczywistych x ≥ 2 i 0 ≤ y ≤ 2π,

{\ Displaystyle \ lewo | G (x + iy) - {\ Frac {k (x + iy)} {2 \ pi i}} \ prawo | \ równoważnik x^{A}+{\frac {|k|}{2\pi }}(x+2\pi )\leq C'x^{A'}}

zachodzi, gdzie A ′ > A i C ′ > 0 są stałymi. Ze względu na okresowość ta granica faktycznie obowiązuje dla wszystkich y . Zatem mamy ograniczenie | g ( z )| ≤ C ′(−log| z |) ^{A ′} dla 0 < | z | < mi ⁻² . Zgodnie z twierdzeniem Riemanna o usuwalnych osobliwościach g rozciąga się na funkcję analityczną w otwartym dysku o promieniu e ⁻² wokół 0.

Stąd G ( z ) − kz / (2π i ) jest ograniczona na półpłaszczyźnie Re( z ) ≥ 3. Zatem F ( z ) e ^{− kz} jest ograniczona na półpłaszczyźnie Re ( z ) ≥ 3, oraz f ( z ) z ^k jest ograniczona w przebitym dysku o promieniu e ⁻³ wokół 0. Z twierdzenia Riemanna o usuwalnych osobliwościach f ( z ) z ^k rozciąga się na funkcję analityczną w otwartym dysku o promieniu e ^-3 wokół 0. Dlatego f nie ma istotnej osobliwości w punkcie 0.

Dlatego, jeśli funkcja f ma zasadniczą osobliwość w punkcie 0, zakres f w dowolnym otwartym dysku wokół 0 pomija co najwyżej jedną wartość. Jeśli f przyjmuje wartość tylko skończenie często, to w wystarczająco małym otwartym dysku wokół 0, f pomija tę wartość. Więc f ( z ) przyjmuje wszystkie możliwe wartości zespolone, z wyjątkiem co najwyżej jednej, nieskończenie często.

Uogólnienie i aktualne badania

Twierdzenie Wielkiego Picarda jest prawdziwe w nieco bardziej ogólnej formie, która odnosi się również do funkcji meromorficznych :

Twierdzenie Wielkiego Picarda (wersja meromorficzna): Jeśli M jest powierzchnią Riemanna , w punktem na M , P ¹ ( C ) = C ∪ {∞} oznacza sferę Riemanna , a f : M \{ w } → P ¹ ( C ) jest funkcją holomorficzną z zasadniczą osobliwością w w , to na dowolnym otwartym podzbiorze M zawierającym w , funkcja f ( z ) osiąga nieskończenie często wszystkie oprócz najwyżej dwóch punktów P ¹ ( C ).

Przykład: Funkcja f ( z ) = 1/(1 - e ^{1/ z} ) jest meromorficzna na C* = C - {0}, płaszczyźnie zespolonej z usuniętym początkiem. Ma zasadniczą osobliwość w z = 0 i osiąga wartość ∞ nieskończenie często w dowolnym sąsiedztwie 0; jednak nie osiąga wartości 0 lub 1.

Przy tym uogólnieniu twierdzenie Małego Picarda wynika z twierdzenia Wielkiego Picarda , ponieważ cała funkcja jest albo wielomianem, albo ma zasadniczą osobliwość w nieskończoności. Podobnie jak w przypadku małego twierdzenia, (co najwyżej dwa) punkty, które nie zostały osiągnięte, są wartościami lakunarnymi funkcji.

Następujące przypuszczenie jest związane z „Twierdzeniem Wielkiego Picarda”:

Hipoteza: Niech { U ₁ , ..., U _n } będzie zbiorem otwartych połączonych podzbiorów C , które pokrywają przebity dysk jednostkowy D \ {0}. Załóżmy, że na każdym U _j istnieje iniekcyjna funkcja holomorficzna f _j , taka że d f _j = d f _k na każdym przecięciu U _j ∩ U _k . Następnie różniczki sklejają się, tworząc meromorficzną formę 1 na D .

Jest jasne, że różniczki sklejają się ze sobą w holomorficzną 1-formę g d z na D \ {0}. W szczególnym przypadku, gdy reszta g przy 0 wynosi zero , przypuszczenie wynika z „twierdzenia Wielkiego Picarda”.

Notatki

^ Elsner, B. (1999). „Całka po działaniu hipereliptycznym” (PDF) . Annales de l'Institut Fourier . 49 (1): 303–331. doi : 10.5802/aif.1675 .

Conway, John B. (1978). Funkcje jednej zmiennej zespolonej I (wyd. 2). Skoczek. ISBN 0-387-90328-3 .
Szurman, Jerry. „Szkic twierdzenia Picarda” (PDF) . Źródło 2010-05-18 .

[1] Elsner, B. (1999). „Całka po działaniu hipereliptycznym” (PDF) . Annales de l'Institut Fourier . 49 (1): 303–331. doi : 10.5802/aif.1675 .