Modułowa funkcja lambda

Modułowa funkcja lambda na płaszczyźnie zespolonej.

W matematyce modułowa funkcja lambda λ(τ) jest wysoce symetryczną funkcją holomorficzną na złożonej górnej półpłaszczyźnie . Jest niezmienniczy w ułamkowym działaniu liniowym grupy kongruencji Γ(2) i generuje pole funkcyjne odpowiedniego ilorazu, tj. jest to moduł Hauptmodul dla krzywej modularnej X (2). W dowolnym punkcie τ jego wartość można opisać jako stosunek krzyżowy punktów rozgałęzień rozgałęzionego podwójnego pokrycia linii rzutowej krzywą eliptyczną ${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ langle 1 \ tau \ rangle}$ , gdzie mapa jest zdefiniowana jako iloraz przez inwolucję [-1]

Rozwinięcie q, gdzie jest nomem , jest podane przez: $\ Displaystyle q = e ^ {\ pi i \ tau}}$

${\ Displaystyle \ lambda (\ tau) = 16q-128q ^ {2} + 704q ^ { 3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\kropki }$ . OEIS : A115977

Symetryzując funkcję lambda pod kanonicznym działaniem grupy symetrycznej S ₃ na X (2), a następnie odpowiednio normalizując, otrzymuje się funkcję na górnej półpłaszczyźnie, która jest niezmienna w ramach pełnej grupy modułowej ${\ displaystyle \ operatorname {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})} i w rzeczywistości jest to modułowy$ niezmiennik j Kleina .

Wykres x→ λ(ix)

Właściwości modułowe

Funkcja jest niezmienna w grupie generowanej przez ${\ Displaystyle \ lambda (\ tau)}$

${\ Displaystyle \ tau \ mapsto \ tau + 2 \ ; \ \ tau \ mapsto {\ Frac {\ tau} {1-2 \ tau}} \.}$

Generatory grupy modułowej działają wg

${\ Displaystyle \ tau \ mapsto \ tau + 1 \: \ \ lambda \ mapsto {\ Frac {\ lambda} {\ lambda -1}} \;}$

${\ Displaystyle \ tau \ mapsto - {\ Frac {1} {\ tau}} \: \ \ lambda \ mapsto 1- \ lambda \.}$

W konsekwencji działanie grupy modułowej na jest działaniem grupy anharmonicznej , co daje sześć wartości stosunku krzyżowego : ${\ Displaystyle \ lambda (\ tau)}$

${\ Displaystyle \ lewo \ lbrace {\ lambda, {\ Frac {1} {1- \ lambda}}, {\ Frac {\ lambda -1} {\ lambda}}, {\ Frac {1} {\ lambda} },{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace \ .}$

Relacje z innymi funkcjami

Jest to kwadrat modułu eliptycznego, czyli ${\ Displaystyle \ lambda (\ tau) = k ^ {2} (\ tau)}$ . Jeśli chodzi o funkcję eta Dedekinda i funkcje theta , ${\ Displaystyle \ eta (\ tau)$ }

${\ Displaystyle \ lambda (\ tau) = {\ Bigg (} {\ Frac {{\ sqrt {2}} \, \ eta ({\ tfrac {\ tau} {2}}) \ eta ^ { 2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(\tau)}{\theta _{ 3}^{4}(\tau )}}}$

I,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {{\ duży (} \ lambda (\ tau) {\ duży)} ^ {1/4}}} - {\ duży (} \ lambda (\ tau) {\ duży) }^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau}}})}{\eta (\tau)}} \right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}({\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2} ({\tfrac {\tau}}}}}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ teta _ {2} (\ tau) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ { \infty }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}}}$

${\ Displaystyle \ theta _ {3} (\ tau) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi ja \ tau n ^ {2}}}$

${\ Displaystyle \ teta _ {4} (\ tau) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (-1) ^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}}$

${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}}$$eliptycznych$ półokresy Weierstrassa , niech parą okresów ω .

${\ Displaystyle e_ {1} = \ wp \ lewo ({\ Frac {\ omega _{1}}{2}}\right),\quad e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),\quad e_{3 }=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

mamy

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {e_ {3} -e_ {2}} {e_ {1} -e_ {2}}} \,.}$

Ponieważ trzy wartości półokresu są różne, pokazuje to, że nie przyjmuje wartości 0 lub 1. ${\ displaystyle \ lambda}$

Relacja do niezmiennika j to

${\ Displaystyle j (\ tau) = {\ Frac {256 (1- \ lambda (1- \ lambda)} ^ {3}} {(\ lambda (1- \ lambda)) ^ {2}}} = { \frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

który jest j - niezmiennikiem krzywej eliptycznej postaci Legendre'a ${\ Displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- \ lambda)}$

${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}$ do niech

${\ Displaystyle \ tau = i {\ Frac {K \ {1-m \}} {K \ {m \}}}}$

gdzie $jest$ całkowitą całką eliptyczną pierwszego rodzaju z parametrem $= k ^ {2}}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ lambda (\ tau) = m.}$

Równania modułowe

Równanie modułowe stopnia $λ$ gdzie ${\ Displaystyle \ lambda (\ tau)}$ liczbą pierwszą) jest równaniem algebraicznym w $)$${\ Displaystyle \ lambda (p \ tau$ i . λ ${\ Displaystyle \ lambda (p \ tau) = u ^ {8}$ i ${\ Displaystyle \ lambda (\ tau) = v ^ {8}}$ , modułowe równania stopni są odpowiednio ${\ Displaystyle p = 2,3,5,7}$

${\ Displaystyle (1 + u ^ {4}) ^ {2} v ^ {8} -4u ^ {4} = 0,}$

${\ Displaystyle u ^ {4} -v ^ {4} + 2 uv (1-u ^ {2} v ^ {2}) = 0,}$

${\ Displaystyle u ^ {6} -v ^ {6} + 5u ^ {2} v ^ {2} (u ^ {2}-v^{2})+4uv(1-u^{4}v^{4})=0,}$

${\ Displaystyle (1-u ^ {8}) (1-v ^ {8}) - (1-uv) ^ {8} = 0.}$

Wielkość można traktować jako funkcję holomorficzną na górnej półpłaszczyźnie $Displaystyle$$\ operatorname {Im} \ tau > 0} : v {\ displaystyle v$$a$ ( )

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} v & = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ tanh {\ Frac {(k-1/2) \ pi i} {\ tau}} = {\ sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{k\in \mathbb {Z}}e^{(2k^{2}+k)\pi i\tau} }{\sum _{k\in \mathbb {Z}}e^{k^{2}\pi i\tau }}}\\&={\cfrac {{\sqrt {2}}e^{\ pi i\tau /8}}{1+{\cfrac {e^{\pi i\tau }}{1+e^{\pi i\tau }+{\cfrac {e^{2\pi i\ tau }}{1+e^{2\pi i\tau }+{\cfrac {e^{3\pi i\tau }}{1+e^{3\pi i\tau }+\ddots }} }}}}}}\end{wyrównane}}}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ lambda (i) = 1/2}$ , równania modułowe mogą być użyte do podania wartości algebraicznych ${\ Displaystyle \ lambda (pi)}$ dla dowolnego główny ${\ displaystyle p}$ . Wartości algebraiczne są również podane przez ${\ Displaystyle \ lambda (ni)}$

${\ Displaystyle \ lambda (ni) = \ prod _ {k = 1} ^ {n / 2}\operatorname {sl} ^{8}{\frac {(2k-1)\varpi }{2n}}\quad (n\,{\text{parzyste}})}$

${\ Displaystyle \ lambda (ni) = {\ Frac {1} {2 ^ {n}}} \ prod _ {k = 1} ^ { n-1}\left(1-\operatorname {sl} ^{2}{\frac {k\varpi }{n}}\right)^{2}\quad (n\,{\text{nieparzysty}} )}$

gdzie $sinus$ lemniskatowy , a $stała$ lemniskatowa . _

Gwiazda Lambda

Definicja i obliczanie gwiazdy lambda

Funkcja ( gdzie ) $}$ wartość modułu eliptycznego $\ lambda ^ {*} ($$k} ,$$displaystyle$ których pełna całka eliptyczna pierwszego rodzaju jej ${\ Displaystyle K ({\ sqrt {1-k ^ {2}}})}$ są powiązane następującym wyrażeniem:

${\ Displaystyle {\ Frac {K \ lewo [{\ sqrt {1- \ lambda ^ {*} (x) ^ {2 }}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}}$

Wartości można obliczyć w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x)}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x) = {\ Frac {\ theta _ {2} ^ {2} (i {2} \sqrt {x}})}{\theta _{3}^{2}(i{\sqrt {x}})}}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x) = \ lewo [\ suma _ {a = - \ infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\suma _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x) = \ lewo [\ suma _ {a=-\infty}^{\infty}\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}$

Funkcje i są ze sobą powiązane w następujący sposób: $\ lambda ^ {*}$$}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x) = {\ sqrt {\ lambda (i {\ sqrt {x}})}}}$

Właściwości gwiazdy lambda

Każda wartość dodatniej liczby wymiernej jest dodatnią liczbą algebraiczną : ${\ displaystyle \ lambda ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x \ in \ mathbb {Q} ^ {+}) \ in \ mathbb {A} ^ {+}.}$

${\ Displaystyle K (\ lambda ^ {*} (x))}$ i mi $\ Displaystyle E (\ lambda ^ {*} (x))}$ ( całkowitą całkę eliptyczną drugiego rodzaju $w$ postaci zamkniętej za pomocą funkcji gamma dla dowolnego jak udowodnili Selberg i 1949.

Poniższe wyrażenie jest poprawne dla wszystkich ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ :

${\ Displaystyle {\ sqrt {n}} = \ suma _ {a = 1} ^ {n} \ nazwa operatora {dn} \ lewo [{\ Frac {2a} {n}} K \ left[\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right)\right];\lambda ^{*}\left({\frac {1}{n}}\right) \Prawidłowy]}$

gdzie jest funkcją eliptyczną Jacobiego $delta$ amplitudinis z modułem $displaystyle k}$ .

Znając jedną wartość, tej formuły można użyć do obliczenia powiązanych $\ Displaystyle \ lambda ^ {*}$ : $}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (n ^ {2} x) = \ lambda ^ {*} (x) ^ {n} \ prod _ {a = 1} ^ {n} \ nazwa operatora {sn} \ lewo \{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {sn}}$ to funkcja eliptyczna Jacobiego sinus amplitudinis z modułem ${\ displaystyle k}$ .

Dalsze relacje:

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x) ^ {2} + \ lambda ^ {*} (1/x) ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle [\ lambda ^ {*} (x) + 1] [\ lambda ^ {*} (4/ x)+1]=2}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (4x) = {\ Frac {1- {\ sqrt {1- \ lambda ^ {*} (x) ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1- \lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan \left\{{\frac {1}{2}}\arcsin[\lambda ^{*}(x)]\right\ }^{2}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (x) - \ lambda ^ {*} (9x) = 2 [\ lambda ^ {*} (x) \ lambda ^ {*} ( 9x)]^{1/4}-2[\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(9x)]^{3/4}}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i a ^ {6} -f ^ {6} = 2af + 2a ^ {5} f ^ {5} \, & \ lewo (a = \ lewo [{\ Frac {2 \ lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\left(f=\left[{\ frac {2\lambda ^{*}(25x)}{1-\lambda ^{*}(25x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)\\&a^{8} +b^{8}-7a^{4}b^{4}=2{\sqrt {2}}ab+2{\sqrt {2}}a^{7}b^{7}\,&\ left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\ prawo)&\lewo(b=\lewo[{\frac {2\lambda ^{*}(49x)}{1-\lambda ^{*}(49x)^{2}}}\prawo]^{1 /12}\right)\\&a^{12}-c^{12}=2{\sqrt {2}}(ac+a^{3}c^{3})(1+3a^{2} c^{2}+a^{4}c^{4})(2+3a^{2}c^{2}+2a^{4}c^{4})\,&\lewo(a= \left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^{1/12}\right)&\ left(c=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(121x)}{1-\lambda ^{*}(121x)^{2}}}\right]^{1/12}\ po prawej)\\&(a^{2}-d^{2})(a^{4}+d^{4}-7a^{2}d^{2})[(a^{2}- d^{2})^{4}-a^{2}d^{2}(a^{2}+d^{2})^{2}]=8ad+8a^{13}d^{ 13}\,&\left(a=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(x)}{1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]^ {1/12}\right)&\left(d=\left[{\frac {2\lambda ^{*}(169x)}{1-\lambda ^{*}(169x)^{2}}} \right]^{1/12}\right)\end{aligned}}}$$

Specjalne wartości

Wartości gwiazdy lambda liczb całkowitych typu 4n-3: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (1) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (5) = \ sin \ lewo [{\ Frac {1} {2}} \ arcsin \ lewo ({\ sqrt {5}} -2 \ prawo) \right]}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (9) = {\ Frac {1} {2}} ({\ sqrt {3}} -1) ({\ sqrt {2}} - {\ sqrt [{4}] {3}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (13) = \ grzech \ lewo [{\frac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)\prawo]}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (17) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin \left[{\frac {1}{64}}\left(5+{\sqrt {17}}-{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}}\right)^{3}\ prawo]\prawo\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (21) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin [(8-3 {\ sqrt {7 }})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\right\}}$ ${\ styl wyświetlania \lambda ^{*}(25)={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5 }})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (33) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2} }\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (37) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin [({\ sqrt {37}} -6) ^ {3}] \ prawej \}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (45) = \ sin \ lewo \{{\frac {1}{2}}\arcsin[(4-{\sqrt {15}})^{2}({\sqrt {5}}-2)^{3}]\right\} }$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (49) = {\ Frac {1} {4} }(8+3{\sqrt {7}})(5-{\sqrt {7}}-{\sqrt[{4}]{28}})\left({\sqrt {14}}-{\ sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {5- {\sqrt {7}}}}\right)}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (57) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin [(( 170-39 {\sqrt {19}})(2- {\sqrt {3}})^{3}]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (73) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin \ lewo [{\ Frac {1} {64}} \left(45+5{\sqrt {73}}-3{\sqrt {50{\sqrt {73}}+426}}\right)^{3}\right]\right\}}$ Wartości gwiazdy lambda liczb całkowitych typu 4n-2: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (2) = {\ sqrt {2}} -1}$ ${\ styl wyświetlania \lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (10) = ({\ sqrt {10}} -3) ({\ sqrt {2}} -1) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (14) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arctan \left[{\frac {1}{8}}\left(2{\sqrt {2}}+1-{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}}\right)^{3 }\prawo]\prawo\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (18) = ({\ sqrt {2}} -1) ^ {3} (2- {\ sqrt { 3}}) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (22) = (10-3 {\ sqrt {11 }})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (30) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2} }\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (34) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {4}} \ arcsin \ lewo [{\ Frac {1} {9}} ({ \sqrt {17}}-4)^{2}\right]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (42) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arctan [(2 {\ sqrt {7}} -3 {\ sqrt {3}} )^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (46) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arctan \ lewo [{\ Frac {1} {64}} \ lewo (3+ { \sqrt {2}}-{\sqrt {6{\sqrt {2}}+7}}\right)^{6}\right]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (58) = (13 {\ sqrt {58}} -99) ({\ sqrt {2}} -1) ^ {6}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (70) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arctan [({\ sqrt { 5}} -2)^{4}({\sqrt {2}}-1)^{6}]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (78) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arctan [(5 {\ sqrt {13}} -18) ^ {2} ({ \ sqrt {26}} -5) ^ {2}] \ prawej \}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*}(82)=\tan \left\{{\frac {1}{4}}\arcsin \left[{\frac {1}{4761}}(8{\sqrt {41}}-51) ^{2}\prawo]\prawo\}}$ Wartości gwiazdy lambda liczb całkowitych typu 4n-1: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (3) = {\ Frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} ({\ sqrt {3 }} -1)}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (7) = {\ Frac {1} {4 {\ sqrt {2}}}} (3- {\ sqrt {7}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (11) = {\ Frac {1} {8 { \sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)\left({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+ 2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+ {\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (15) = {\ Frac {1} {8 {\ sqrt {2}}}} (3- {\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2- {\sqrt {3}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (19) = {\ Frac {1} {8 {\sqrt {2}}}}(3{\sqrt {19}}+13)\lewo[{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3 }}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{6}}({\sqrt {19}}- 2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\frac {1}{3}}(5 -{\sqrt {19}})\right]^{4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (23) = {\ Frac {1} {16 {\ sqrt {2}}}} (5+ {\ sqrt {23}}) \ lewo [{\ Frac {1} {6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\frac {1}{6}}({\ sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}+{\frac {2}{3}}\right]^{4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (27) = {\ Frac {1} {16 {\ sqrt {2}}}} ({\ sqrt {3}} -1) ^ {3} \ lewo [{\ frac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{4}}-{\sqrt[{3}]{2}}+1)-{\sqrt[{ 3}] {2}}+1\right]^{4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (39) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin \ lewo [{\ Frac {1} {16}} \ lewo (6- { \sqrt {13}}-3{\sqrt {6{\sqrt {13}}-21}}\right)\right]\right\}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (55) = \ sin \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin \ lewo [{\ frac {1} {512}} \ lewo (3 {\ sqrt {5}}-3-{\sqrt {6{\sqrt {5}}-2}}\right)^{3}\right]\right\}}$ Wartości gwiazdy lambda liczb całkowitych typu 4n: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (4) = ({\ sqrt {2}} -1) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (8) = \ lewo ({\ sqrt {2}} + 1- {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} + 2}} \right)^{2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (12) = ({\ sqrt {3}} - {\ sqrt {2}}) ^ {2} ({\ sqrt {2}} -1 ) ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (16) = ({\ sqrt {2}} + 1) ^ {2} ({\ sqrt [{4}] {2}} -1) ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (20) = \ tan \ lewo [{\ Frac {1} {4}} \ arcsin ({\ sqrt {5}} -2) \ prawo] ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (24) = \ dębnik \ lewo \ {{\frac {1}{2}}\arcsin[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]\right\}^{2 }}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (28) = (2 {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {7}}) ^ { 2} ({\ sqrt {2}} -1) ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (32) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arcsin \ lewo [\ lewo ({\ sqrt {2}} + 1- {\ sqrt {2{\sqrt {2}}+2}}\right)^{2}\right]\right\}^{2}}$ Wartości gwiazdy lambda ułamków wymiernych: ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} \ prawej) = {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} - 2}}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {1} {3}} \ prawej) = {\ Frac {1 {2{\sqrt {2}}}}({\sqrt {3}}+1)}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {2} {3}} \ prawej) = (2- {\ sqrt {3}}) ({\ sqrt {3}} + {\ sqrt {2}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {1} {4}} \ prawo) =2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {3} {4}} \ prawej) = {\ sqrt [{4}] {8}} ({\ sqrt {3}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1){\sqrt {({\sqrt {3}}-1)^{3}}}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {1} {5}} \ prawej) = {\ Frac {1} {2} {\sqrt {2}}}}\left({\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}+{\sqrt {5}}-1\right)}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {2} {5}} \ prawej) = ({\ sqrt {10}} - 3)({\sqrt {2}}+1)^{2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {3} {5}} \ prawej) = {\ Frac {1} {8 {\ sqrt {2}}}} (3+ {\ sqrt { 5}}) ({\ sqrt {5}} - {\ sqrt {3}}) (2+ {\ sqrt {3}})}$ ${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} \ lewo ({\ Frac {4} {5}} \ prawej) = \ tan \ lewo [{\ Frac {\ pi} {4}} - {\frac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)\right]^{2}}$

Niezmienniki klas Ramanujana

$G_ {n}}$ klas Ramanujana i są ${\ displaystyle$ jako

${\ Displaystyle G_ {n} = 2 ^ {- 1/4} e ^ {\pi {\sqrt {n}}/24}\prod _{k=0}^{\infty}\left(1+e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}} \right),}$

${\ Displaystyle g_ {n} = 2 ^ {- 1/4} e ^ {\ pi {\ sqrt {n}} / 24}\prod _{k=0}^{\infty}\left(1-e^{-(2k+1)\pi {\sqrt {n}}}\right),}$

gdzie ${\ Displaystyle n \ w \ mathbb {Q} ^ {+}}$ . Dla takich $niezmiennikami$ są liczby algebraiczne. Na przykład

${\ Displaystyle g_ {58} = {\ sqrt {\ Frac {5+ {\ sqrt {29}}} {2}}}, \ quad g_ {190} = {\ sqrt {({\ sqrt {5}} +2)({\sqrt {10}}+3)}}.}$

Tożsamości z niezmiennikami klas obejmują

${\ Displaystyle G_ {n} = G_ {1/n}, \ quad g_ {n} = {\ Frac {1} {g_ {4/n}}}, \ quad g_ {4n} = 2 ^ {1/ 4}g_{n}G_{n}.}$

Niezmienniki klas są bardzo blisko spokrewnione z $}$ modułowymi Webera i ${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {1}$ . Oto relacje między gwiazdą lambda a niezmiennikami klas:

${\ Displaystyle G_ {n} = \ sin \ {2 \ arcsin [\ lambda ^ {*} (n)] \} ^ {-1/12} = 1 {\ duży /} \ lewo [{\ sqrt [{ 12}] {2\lambda ^{*}(n)}}{\sqrt[{24}]{1-\lambda ^{*}(n)^{2}}}\right]}$

${\ Displaystyle g_ {n} = \ tan \ {2 \ arctan [\ lambda ^ {*} (n)] \} ^ {- 1/12} = {\ sqrt [{12}] {[1- \lambda ^{*}(n)^{2}]/[2\lambda ^{*}(n)]}}}$

${\ Displaystyle \ lambda ^ {*} (n) = \ tan \ lewo \ {{\ Frac {1} {2}} \ arctan [g_ {n} ^ {- 12 }]\right\}={\sqrt {g_{n}^{24}+1}}-g_{n}^{12}}$

Inne występy

Małe twierdzenie Picarda

Funkcja lambda jest używana w oryginalnym dowodzie twierdzenia Little Picarda , że ​​cała niestała funkcja na płaszczyźnie zespolonej nie może pominąć więcej niż jednej wartości. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Picarda w 1879 roku. Załóżmy, jeśli to możliwe, że f jest całkowite i nie przyjmuje wartości 0 i 1. Ponieważ λ jest holomorficzne, ma lokalną holomorficzną odwrotność ω określoną z dala od 0,1,∞. Rozważmy funkcję z → ω( f ( z )). Zgodnie z twierdzeniem o monodromii jest to holomorficzne i odwzorowuje płaszczyznę zespoloną C do górnej połowy płaszczyzny. Na tej podstawie łatwo jest skonstruować funkcję holomorficzną od C do dysku jednostkowego, która zgodnie z twierdzeniem Liouville'a musi być stała.

Rojenia

Funkcja ${\ Displaystyle \ tau \ mapsto 16 / \ lambda (2 \ tau) -8}$ jest znormalizowanym modułem Haupt dla grupy ${\ Displaystyle \ Gamma _ { 0} (4)}$ i jego rozwinięcie q ${\ Displaystyle q ^ {-1} + 20q-62q ^ {3} + \ kropki}$ , OEIS : A007248 gdzie $klasie$ stopniowanym charakterem dowolnego elementu w koniugacji grupy na .

przypisy

Inny

•    Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , wyd. (1972), Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0 , Zbl 0543.33001
•    Chandrasekharan, K. (1985), Funkcje eliptyczne , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 281, Springer-Verlag , s. 108–121, ISBN 3-540-15295-4 , Zbl 0575.33001
•    Conway, John Horton ; Norton, Simon (1979), „Monstrualny bimber”, Biuletyn Towarzystwa Matematycznego w Londynie , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR 0554399 , Zbl 0424.20010
•    Rankin, Robert A. (1977), Modułowe formy i funkcje , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X , Zbl 0376.10020
•    Reinhardt, WP; Walker, PL (2010), „Elliptic Modular Function” , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248

• Borwein, JM i Borwein, PB Pi i AGM: studium analitycznej teorii liczb i złożoności obliczeniowej. Nowy Jork: Wiley, s. 139 i 298, 1987.

• Conway, JH i Norton, SP „Monstrous Moonshine”. Byk. Matematyka Londynu. soc. 11, 308-339, 1979.

• Selberg, A. i Chowla, S. „O funkcji Zeta Epsteina”. J. Reine Angew. Matematyka 227, 86-110, 1967.

Linki zewnętrzne

• Modułowa funkcja lambda w Fungrim