Krzywa modułowa

W teorii liczb i geometrii algebraicznej krzywa modułowa Y (Γ) jest powierzchnią Riemanna lub odpowiadającą jej krzywą algebraiczną , zbudowaną jako iloraz złożonej górnej półpłaszczyzny H w wyniku działania podgrupy kongruencji Γ grupy modułowej macierze całkowe 2×2 SL(2, Z ). Termin krzywa modułowa może być również używany w odniesieniu do zwartych krzywych modułowych X (Γ), które są zwartościami uzyskanymi przez dodanie skończonej liczby punktów (zwanych wierzchołkami Γ ) do tego ilorazu (poprzez działanie na rozszerzonej zespolonej górnej połowie płaszczyzny ). Punkty krzywej modułowej parametryzują klasy izomorfizmu krzywych eliptycznych , wraz z dodatkową strukturą zależną od grupy Γ. Taka interpretacja pozwala na podanie czysto algebraicznej definicji krzywych modularnych, bez odwoływania się do liczb zespolonych, a ponadto dowieść, że krzywe modularne są definiowane albo na polu liczby wymierne Q lub pole cyklotomiczne Q (ζ _n ). Ten ostatni fakt i jego uogólnienia mają fundamentalne znaczenie w teorii liczb.

Definicja analityczna

Grupa modułowa SL(2, Z ) oddziałuje na górną półpłaszczyznę poprzez ułamkowe przekształcenia liniowe . Analityczna definicja krzywej modułowej obejmuje wybór podgrupy kongruencji Γ z SL(2, Z ), tj. podgrupy zawierającej główną podgrupę kongruencji poziomu N Γ( N ), dla pewnej dodatniej liczby całkowitej N , gdzie

${\ Displaystyle \ Gamma (N) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \\\ koniec {pmatrix}}: \ a \ równoważny d \ równoważny 1 \ mod N {\ tekst {i}} b,c\odpowiednik 0\mod N\prawo\}.}$

Minimalne takie N nazywa się poziomem Γ . Złożoną strukturę można umieścić na ilorazie Γ\ H , aby otrzymać niezwartą powierzchnię Riemanna, zwykle oznaczaną jako Y (Γ).

Zwarte krzywe modularne

Wspólne zagęszczenie Y (Γ) uzyskuje się przez dodanie skończonej liczby punktów zwanych wierzchołkami Γ. W szczególności odbywa się to poprzez rozważenie działania Γ na rozszerzonej złożonej górnej połowie płaszczyzny H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Wprowadzamy topologię na H *, biorąc za podstawę:

• dowolny otwarty podzbiór H ,
• dla wszystkich r > 0 zestaw ${\ Displaystyle \ {\ infty \} \ puchar \ {\ tau \ in \ mathbf {H} \ mid {\ text{Im}}(\tau)>r\}}$
• dla wszystkich liczb całkowitych względnie pierwszych a , c i wszystkich r > 0 obraz ${\ Displaystyle \ {\ infty \} \ kubek \ {\ tau \ w \ mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}$ pod działaniem

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & -m \\ c & n \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie m , n są liczbami całkowitymi takimi, że an + cm = 1.

To zamienia H * w przestrzeń topologiczną, która jest podzbiorem sfery Riemanna P ¹ ( C ). Grupa Γ działa na podzbiór Q ∪ {∞ }, rozbijając go na skończenie wiele orbit zwanych wierzchołkami Γ . Jeśli Γ działa przechodnio na Q ∪ {∞ }, to przestrzeń Γ\ H * staje się zwartością Alexandroffa Γ\ H . Po raz kolejny złożoną strukturę można umieścić na ilorazie Γ\ H * przekształcenie go w powierzchnię Riemanna oznaczoną jako X (Γ), która jest teraz zwarta . Ta przestrzeń jest zwartością Y (Γ).

Przykłady

₀₀ Najczęstszymi przykładami są krzywe X ( N ), X ( N ) i X1 ( _N ) związane z podgrupami Γ( N ), Γ ( N ) i Γ1 ₍ N ) .

Krzywa modułowa X (5) ma rodzaj 0: jest to sfera Riemanna z 12 wierzchołkami położonymi na wierzchołkach dwudziestościanu foremnego . Pokrycie X (5) → X (1) jest realizowane przez działanie grupy dwudziestościennej na sferę Riemanna. Ta grupa jest prostą grupą rzędu 60, izomorficzną z A ₅ i PSL(2, 5).

Krzywa modułowa X (7) to kwartet Kleina rodzaju 3 z 24 wierzchołkami. Można to interpretować jako powierzchnię z trzema uchwytami wyłożonymi płytkami o 24 siedmiokątach, z wierzchołkiem pośrodku każdej twarzy. Te nachylenia można zrozumieć za pomocą funkcji dessins d'enfants i Belyi - wierzchołki to punkty leżące nad ∞ (czerwone kropki), podczas gdy wierzchołki i środki krawędzi (czarne i białe kropki) to punkty leżące nad 0 i 1. Grupa Galois pokrycia X (7) → X (1) jest prostą grupą rzędu 168 izomorficzną z PSL (2, 7) .

_{0 0} Istnieje wyraźny model klasyczny dla X ( N ), klasyczna krzywa modułowa ; jest to czasami nazywane krzywą modułową. Definicję Γ( N ) można przekształcić w następujący sposób: to podgrupa grupy modułowej jest jądrem redukcji modulo N . Wtedy Γ ( N ) jest większą podgrupą macierzy, które są górnym trójkątem modulo N :

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}: \ c \ równoważnik 0 \ mod N \ prawo \} ,}$

a Γ ₁ ( N ) jest grupą pośrednią zdefiniowaną przez:

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}: \ a \ równoważnik d \ równoważnik 1 \ mod N, c \ równoważnik 0 \ mod N \ prawo \}.}$

₀ Krzywe te mają bezpośrednią interpretację jako przestrzenie modułów dla krzywych eliptycznych o strukturze poziomej iz tego powodu odgrywają ważną rolę w geometrii arytmetycznej . Krzywa modułowa X ( N ) poziomu N jest przestrzenią modułów dla krzywych eliptycznych z podstawą dla N - skrętu . Dla X ( N ) i X ₁ ( N ) struktura poziomów jest odpowiednio cykliczną podgrupą rzędu ₀ N i punkt porządkowy N . Krzywe te zbadano bardzo szczegółowo, aw szczególności wiadomo, że X ( N ) można zdefiniować na podstawie Q.

Równania definiujące krzywe modułowe są najbardziej znanymi przykładami równań modułowych . „Najlepsze modele” mogą bardzo różnić się od modeli zaczerpniętych bezpośrednio z funkcji eliptycznych . Operatory Heckego można badać geometrycznie jako odpowiedniki łączące pary krzywych modułowych.

Uwaga : zwarte ilorazy H występują dla grup Fuchsa Γ innych niż podgrupy grupy modularnej; ich klasa zbudowana z algebr kwaternionów jest również interesująca w teorii liczb.

Rodzaj

Pokrycie X ( N ) → X (1) to Galois z grupą Galois SL(2, N )/{1, −1}, która jest równa PSL(2, N ), jeśli N jest liczbą pierwszą. Stosując wzór Riemanna – Hurwitza i twierdzenie Gaussa – Bonneta , można obliczyć rodzaj X ( N ). Dla poziomu pierwszego p ≥ 5,

${\ Displaystyle - \ pi \ chi (X (p)) = | G | \ cdot D,}$

gdzie χ = 2 − 2 g jest charakterystyką Eulera , | G | = ( p +1) p ( p −1)/2 jest rzędem grupy PSL(2, p ), a D = π − π/2 − π/3 − π/ p jest defektem kątowym (2,3, p ) trójkąt. W rezultacie powstaje formuła

${\ Displaystyle g = {\ tfrac {1} {24}} (p + 2) (p-3) (p-5).}$

Zatem X (5) ma rodzaj 0, X (7) ma rodzaj 3, a X (11) ma rodzaj 26. Dla p = 2 lub 3 należy dodatkowo uwzględnić rozgałęzienie, czyli obecność rzędu p elementy w PSL(2, Z ) oraz fakt, że PSL(2, 2) ma rząd 6, a nie 3. Istnieje bardziej skomplikowany wzór na rodzaj krzywej modułowej X ( N ) dowolnego poziomu N , który obejmuje dzielniki N .

Rodzaj zero

Ogólnie rzecz biorąc , modułowe pole funkcyjne jest polem funkcyjnym krzywej modułowej (lub czasami innej przestrzeni modułów , która okazuje się być nieredukowalną różnorodnością ). Genus zero oznacza, że ​​takie pole funkcyjne ma jedną funkcję transcendentalną jako generator: na przykład funkcja j generuje pole funkcyjne X (1) = PSL(2, Z )\ H *. Tradycyjna nazwa takiego generatora, która jest unikalna aż do transformacji Möbiusa i może być odpowiednio znormalizowany, jest Hauptmodul ( główna lub główna funkcja modułowa ).

Przestrzenie X ₁ ( n ) mają rodzaj zero dla n = 1, ..., 10 i n = 12. Ponieważ każda z tych krzywych jest zdefiniowana na Q i ma punkt wymierny Q , wynika z tego, że istnieje nieskończenie wiele wymiernych punkty na każdej takiej krzywej, a więc nieskończenie wiele krzywych eliptycznych zdefiniowanych na Q z n -skrętnością dla tych wartości n . Odwrotnym stwierdzeniem, że tylko te wartości n mogą wystąpić, jest twierdzenie Mazura o skręcaniu .

₀ X ( N ) z rodzaju jeden

Krzywe modułowe $równa jednej z 12 wartości$$rodzaju$ jeden wtedy i tylko wtedy, gdy poniższej tabeli Jako krzywe eliptyczne nad , mają minimalne, całkowe modele Weierstrassa $displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x +a_{6}}$ . $minimalna wśród wszystkich$ jest, $Weierstrassa$ wartość bezwzględna dyskryminatora jest dla tej samej krzywej Poniższa tabela zawiera unikalne zredukowane , minimalne, całkowe modele Weierstrassa, co oznacza ${\ Displaystyle \ textstyle a_ {1}, a_ {3} \ w \ {0,1 \}}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle a_ {2}$ . Ostatnia kolumna tej tabeli odnosi $LMFDB$ do strony głównej odpowiedniej eliptycznej krzywej modułowej w danych funkcji L i formularzy modułowych (

${\ Displaystyle X_ {0} (N)}$ z rodzaju 1

${\ Displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ { 3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$
${\ displaystyle N}$	${\ Displaystyle [a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, a_ {6}]}$	${\ Displaystyle \ delta}$	LMFDB
11	[0, -1, 1, -10, -20]	${\ Displaystyle \ textstyle -11 ^ {5}}$	połączyć
14	[1, 0, 1, 4, -6]	${\ Displaystyle \ textstyle -2 ^ {6} \ cdot 7 ^ {3}}$	połączyć
15	[1, 1, 1, -10, -10]	${\ Displaystyle \ textstyle 3 ^ {4} \ cdot 5 ^ {4}}$	połączyć
17	[1, -1, 1, -1, -14]	${\ Displaystyle \ textstyle -17 ^ {4}}$	połączyć
19	[0, 1, 1, -9, -15]	${\ Displaystyle \ textstyle -19 ^ {3}}$	połączyć
20	[0, 1, 0, 4, 4]	${\ Displaystyle \ textstyle -2 ^ {8} \ cdot 5 ^ {2}}$	połączyć
21	[1, 0, 0, -4, -1]	${\ Displaystyle \ textstyle 3 ^ {4} \ cdot 7 ^ {2}}$	połączyć
24	[0, -1, 0, -4, 4]	${\ Displaystyle \ textstyle 2 ^ {8} \ cdot 3 ^ {2}}$	połączyć
27	[0, 0, 1, 0, -7]	${\ Displaystyle \ textstyle -3 ^ {9}}$	połączyć
32	[0, 0, 0, 4, 0]	${\ Displaystyle \ textstyle -2 ^ {12}}$	połączyć
36	[0, 0, 0, 0, 1]	${\ Displaystyle \ textstyle -2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {3}}$	połączyć
49	[1, -1, 0, -2, -1]	${\ Displaystyle \ textstyle -7 ^ {3}}$	połączyć

Związek z grupą Monster

Dość rzadkie krzywe modularne rodzaju 0 okazały się mieć duże znaczenie w związku z monstrualnymi domysłami bimbru. Już w XIX wieku obliczono kilka współczynników q ich Hauptmoduln, ale szokiem było to, że te same duże liczby całkowite pojawiają się jako wymiary reprezentacji największej sporadycznej grupy prostej Monster.

₀₀ Innym powiązaniem jest to, że krzywa modułowa odpowiadająca normalizatorowi Γ ( p ) + ^z Γ ( ₀ p ) w SL(2, R ) ma rodzaj zero wtedy i tylko wtedy, gdy p wynosi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 , 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 lub 71, i to są właśnie czynniki pierwsze rzędu grupy potworów . Wynik około Γ ( p ) ⁺ zawdzięczają Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg i John G. Thompson w latach 70. XX wieku, a późniejsza obserwacja odnosząca się do grupy potworów pochodzi od Ogga, który napisał artykuł oferujący butelkę whisky Jack Daniel's każdemu, kto mógłby wyjaśnić ten fakt, co było punktem wyjścia dla teorii potwornego bimbru .

Zależność jest bardzo głęboka i, jak wykazał Richard Borcherds , obejmuje również uogólnione algebry Kaca-Moody'ego . Prace w tej dziedzinie podkreśliły znaczenie funkcji modułowych , które są meromorficzne i mogą mieć bieguny na wierzchołkach, w przeciwieństwie do form modułowych , które są holomorficzne wszędzie, łącznie z wierzchołkami, i były głównymi przedmiotami badań przez większą część XX wiek.

Zobacz też

• Twierdzenie Manina-Drinfelda
• Stos modułów krzywych eliptycznych
• Twierdzenie o modułowości
• Odmiana Shimura , uogólnienie krzywych modułowych na wyższe wymiary

• Steven D. Galbraith - Równania dla krzywych modułowych

•    Shimura, Goro (1994) [1971], Wprowadzenie do arytmetycznej teorii funkcji automorficznych , Publikacje Towarzystwa Matematycznego Japonii, tom. 11, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08092-5 , MR 1291394 , Kanô Memorial Lectures, 1 {{ cytat }} : CS1 maint: postscriptum ( link )
•   Panczyszkin, AA; Parshin, AN , „Krzywa modułowa” , Encyklopedia matematyki , ISBN 1-4020-0609-8
•   Ogg, Andrew P. (1974), „Automorphismes de courbes modulaires” (PDF) , Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, tom 16, no. 1 (1974–1975), wyd. NIE. 7 (w języku francuskim), MR 0417184