Stos modułów krzywych eliptycznych

W matematyce stos modułów krzywych eliptycznych oznaczany jako ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1,1}}$ lub ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ textrm {ell}}}$$.$ jest stosem nad eliptycznych Zauważmy, że jest to szczególny przypadek stosu modułów krzywych algebraicznych ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g, n}}$ . W szczególności jego punkty z wartościami w pewnym polu odpowiadają krzywym $S}$ na polu, a bardziej ogólnie morfizmy ze schematu do niego odpowiadają krzywym eliptycznym na $displaystyle$ . Budowa tej przestrzeni trwa ponad sto lat z powodu różnych uogólnień krzywych eliptycznych w miarę rozwoju tej dziedziny. Wszystkie te uogólnienia są zawarte w ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1,1}}$ .

Nieruchomości

Gładki stos Deligne-Mumford

Stos modułów krzywych eliptycznych jest płynnie oddzielonym stosem Deligne'a-Mumforda typu skończonego na ${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (\ mathbb {Z})}$ , ale nie jest schematem, jak mają krzywe eliptyczne nietrywialne automorfizmy.

niezmiennik j

Istnieje odpowiedni morfizm $.$ , zgrubnej przestrzeni modułów krzywych eliptycznych, określonej przez - niezmiennik krzywej .

Konstrukcja na liczbach zespolonych

Klasyczną obserwacją jest to, że każda krzywa eliptyczna nad $jest$ według jej okresów . Biorąc pod uwagę podstawę jego integralnej homologii ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w H_ {1} (E, \ mathbb {Z})}$ i globalnej holomorficznej postaci różniczkowej ${\ Displaystyle \ omega \ w \ Gamma (E, \ Omega _ {E} ^ {1})}$ (który istnieje, ponieważ jest gładki, a wymiar przestrzeni takich różniczek jest równy rodzajowi , 1), całek

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ int _ {\ alfa} \ omega & \ int _ {\ beta} \ omega \ koniec {bmatrix}} = {\begin{bmatrix}\omega _{1}&\omega_{2}\end{bmatrix}}}$$

$. I odwrotnie, biorąc$ generatory dla - $rangi$ 2 wewnątrz ^pg 158 $\ styl wyświetlania E_{\Lambda }=\mathbb {C} /\Lambda }$ uwagę integralną siatkę $displaystyle$ 2 {\ $2}$ wewnątrz , istnieje osadzenie złożonego $torusa$ na ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$ z funkcji Weierstrassa P ^{pg 165} . Ta zgodność izomorficzna jest dana przez ${\ Displaystyle \ phi: \ mathbb {C} / \ Lambda \ do E (\ mathbb {C})$

$${\ Displaystyle z \ mapsto [\ wp (z, \ Lambda), \ wp '(z, \ Lambda ),1]\w \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$$

i zachowuje jednorodność sieci , która jest relacją równoważności ${\ displaystyle \ Lambda}$

$${\ Displaystyle Z \ Lambda \ sim \ Lambda ~ {\ tekst {dla}} ~ z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$$

Następnie standardowo zapisuje się siatkę w postaci $h}}}$$} \ cdot \ tau$ Displaystyle \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { $}$$}$ górnej półpłaszczyzny ponieważ kratę można pomnożyć przez , i $}$ Lambda ${\ Displaystyle \ tau, - \ tau}$ oba generują tę samą podsieć. Następnie górna półpłaszczyzna daje przestrzeń parametrów wszystkich krzywych $eliptycznych$ . Istnieje dodatkowa równoważność krzywych wynikająca z działania

$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Mat}}_{2,2}(\mathbb {Z}):ad-bc=1 \Prawidłowy\}}$$

gdzie krzywa eliptyczna zdefiniowana przez siatkę jest izomorficzna $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau '}$ krzywymi zdefiniowanymi przez siatkę $\ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}$$Displaystyle$ podane przez działanie modularne

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ cdot \ tau & ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\\&=\tau '\end{wyrównane}}}$$

Następnie stos modułów krzywych eliptycznych nad ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ określony przez iloraz stosu do

$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1,1} \ cong [{\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z} )\ odwrotny ukośnik {\mathfrak {h}}]}$$

Zauważ, że niektórzy autorzy konstruują tę przestrzeń modułów, zamiast tego używając działania grupy modułowej ${\ Displaystyle {\ tekst {PSL}} _ {2} (\ mathbb { Z} )={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z})/\{\pm I\}}$ . $tylko trywialne stabilizatory$ tym przypadku punkty w gęste

Podstawowe domeny działania $kolorach$ na górnej półpłaszczyźnie są tutaj pokazane jako pary dzieląc przewagę. „Standardowa” domena podstawowa jest pokazana z ciemniejszymi krawędziami. Odpowiednio identyfikując punkty na granicy tego obszaru, otrzymujemy zgrubną przestrzeń modułów krzywych eliptycznych. Stos punktów w ${\ Displaystyle \ tau = i}$ i $e ^ {\ pi i/3}}$ znajdują się na granicy tego regionu.

${\ Displaystyle \ qquad}$

Punkty stosu/orbifoldu

$} ponieważ każda$$)$ punkty w izomorficzne ze stosem klasyfikacyjnym ${\ Displaystyle B (\ mathbb {Z} / 2$$}$ eliptyczna odpowiada podwójnemu pokryciu , więc na punkcie odpowiada ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}$ do inwolucji tych dwóch gałęzi pokrycia. Jest kilka punktów szczególnych ^{pg 10-11} odpowiadające krzywym eliptycznym z $displaystyle$ niezmiennikiem równym i $1728}$ { $\ displaystyle 0}$ , gdzie grupy automorfizmów są rzędu 4, 6, odpowiednio ^{pg 170} . Jeden punkt w $6$ ze stabilizatorem rzędu $odpowiada$ , a punkty stabilizatorowi rzędu $6}$ odpowiadają ${\ Displaystyle \ tau = e ^ {2 \ pi i/3}, e ^ {\ pi i/3}}$ ^{pg 78} .

Reprezentacja inwolucji płaskich krzywych

Biorąc pod uwagę krzywą płaską za pomocą jej równania Weierstrassa

$${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + topór + b}$$

i rozwiązanie ${\ Displaystyle (t, s)}$$j \ neq 0,1728 }$ ​​ogólnie dla j-niezmiennika jest $Z} / 2}$$\ mathbb {\ Displaystyle$ -inwolucja wysyłanie ${\ Displaystyle (t, s) \ mapsto (t, -s)}$ . W szczególnym przypadku krzywej ze złożonym mnożeniem

$${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + topór}$$

Z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 4}$ -inwolucja wysyłanie $\ Displaystyle (t, s) \ mapsto (-t, {\ sqrt {-1}}\cdot s)}$ . Innym szczególnym przypadkiem jest sytuacja, gdy ${\ displaystyle a = 0}$ , więc krzywa for

$${\ Displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + b}$$

Z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 6}$ -inwolucja wysyłanie $, -s)}$$\ zeta _ {3 }$$\$ gdzie jest trzecim pierwiastkiem jedności mi $Displaystyle e ^ {2 \ pi i/3}$ .

Dziedzina podstawowa i wizualizacja

Istnieje podzbiór górnej połowy płaszczyzny zwany domeną podstawową , który zawiera każdą klasę izomorfizmu krzywych eliptycznych. To jest podzbiór

$${\ Displaystyle D = \ {z \ w {\ mathfrak {h}}: | z | \ geq 1 {\ tekst {i}} {\ tekst {Re}} (z)\równik 1/2\}}$$

Warto wziąć pod uwagę tę przestrzeń, ponieważ pomaga ona zwizualizować stos. ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1,1}$ } Z mapy ilorazowej

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ do {\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ backslash {\ mathfrak {h}}}$$

obraz jest $suriekcyjny$ a jego wnętrze jest iniekcyjne ^{pg 78} . Ponadto punkty na granicy można zidentyfikować za pomocą ich lustrzanego odbicia w ramach wysyłania inwolucji ${$${\ Displaystyle {\ tekst {Re}} (z) \ mapsto - {\ tekst {Re}$$P} ^$$mathbb$ \ \ z punktem usuniętym w nieskończoności ^{str. 52} .

Wiązki liniowe i funkcje modularne

Istnieją wiązki linii nad stosem modułów $⊗ k {\$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1,1}} L$ } przekroje odpowiadają funkcjom modularnym na górnej połowie płaszczyzny. $displaystyle f$$}$ . Na do $mathfrak {h}}}$ są ${\ Displaystyle {\ text {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ - akcje zgodne z akcją na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ podane przez

$${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ razy {\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy {\ mathfrak { h}}} \ do {\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy {\ mathfrak {h}}}}$$

Stopień działania jest określony przez ${\ displaystyle k}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix} }:(z,\tau )\mapsto \left((c\tau +d)^{k}z,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)}$$

$}$ trywialna wiązka liniowa ze stopniem do $displaystyle k$ unikalny pakiet linii oznaczony ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ otimes k}}$ . $} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ , że działanie na czynnik ${ \ Displaystyle {\ tekst {SL$ reprezentacją SL } na $⊗$${\ mathcal {L}} ^ {\ otimes$ Displaystyle . Sekcje $_$ zatem ${\ Displaystyle f \ in \ Gamma (\ mathbb {C} \ razy {\ mathfrak {h}})}$ zgodne z działaniem ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} _ { 2} (\ mathbb {Z})}$ lub równoważnie funkcje ${\ Displaystyle f: {\ mathfrak {h}} \ do \ mathbb {C}}$ takie, że

$${\ Displaystyle f \ lewo ({\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}} \ cdot \ tau \right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$$

Jest to dokładnie warunek, aby funkcja holomorficzna była modularna.

Formy modułowe

Formy modułowe to modułowe funkcje, które można rozszerzyć do kompaktyfikacji

$${\ Displaystyle {\ overline {{\ mathcal {L}} ^ {\ czasami k}}} \ do {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {1,1 }}$$

$,$ ponieważ w celu zagęszczenia stosu dodać punkt w nieskończoności, co odbywa się w procesie ${\ displaystyle q}$ -dysk (gdzie funkcja modułowa ma swoje rozszerzenie) ^{pgs 29-33} ${\ displaystyle q$ }

Uniwersalne krzywe

$1$ krzywych uniwersalnych proces dwuetapowy: ( ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ mathfrak {h}} \ do {\ mathfrak {h}}} a następnie (2)$ pokaż, że zachowuje się to dobrze w odniesieniu do ${ \ Displaystyle {\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ - akcja na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ . Połączenie tych dwóch działań razem daje stos ilorazu

$${\ Displaystyle [({\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ ltimes \ mathbb {Z} ^ {2} )\backslash \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}]}$$

Krzywa wersalska

Każda ranga 2 ${\ Displaystyle \ mathbb$$\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ -krata w -działanie na ${$$} styl wyświetlania \mathbb {C} }$ . Tak jak poprzednio, ponieważ każda krata jest homotetyczna z kratą postaci ${\ Displaystyle (1, \ tau)}$ , to akcja ${\ Displaystyle (m, n)}$ wysyła punkt ${\ Displaystyle Z \ w \ mathbb {C}}$ do

$${\ Displaystyle (m, n) \ cdot z \ mapsto z + m \ cdot 1 + n \ cdot \ tau}$$

Ponieważ działanie $się$$Z} ^ {2}}$ { \ Displaystyle ${$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ razy {\ mathfrak {h}}}$

$${\ Displaystyle (m, n) \ cdot (z, \ tau) \ mapsto (z + m \ cdot 1 +n\cdot \tau ,\tau )}$$

dając przestrzeń ilorazu

$${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ mathfrak {h}} \ do {\ mathfrak {h}}}$$

rzutując na ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ .

SL ₂ -działanie na Z ²

Jest $\ tekst {SL}} _ {2} (\ mathbb {Z})}$ { -działanie na ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$ zgodne z działaniem na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ , co oznacza podany punkt ${\ Displaystyle z \ in {\ mathfrak {h}}}$ i za ${\ displaystyle g\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ , nowa krata $\ cdot z}$$z$ i wywołana akcja , która zachowuje się zgodnie Ta czynność jest dana przez

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix}}: (m, n) \mapsto (m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

co jest mnożeniem macierzy po prawej stronie, więc

$${\ Displaystyle (m, n) \ cdot {\ rozpocząć {pmatrix} a & b \\ c & d \ koniec {pmatrix }}=(am+cn,bm+dn)}$$

Zobacz też

• Domena podstawowa
• Jednorodność
• Struktura poziomu (geometria algebraiczna)
• Moduły rozmaitości abelowych
• odmiana Shimura
• Krzywa modułowa
• Kohomologia eliptyczna

• Hain, Richard (2008), Wykłady o modułach przestrzeni krzywych eliptycznych , arXiv : 0812,1803 , Bibcode : 2008arXiv0812.1803H
• Lurie, Jacob (2009), Badanie kohomologii eliptycznej (PDF)
•   Olsson, Martin (2016), Przestrzenie algebraiczne i stosy , Colloquium Publications, tom. 62, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-1470427986

Linki zewnętrzne

• moduły+stos+krzywych+eliptycznych w n Lab
• „Stos modułów krzywych eliptycznych” , projekt Stacks