Korzeń jedności

Piąty pierwiastek jedności (niebieskie punkty) na płaszczyźnie zespolonej

W matematyce pierwiastek jedności , czasami nazywany liczbą de Moivre'a , to dowolna liczba zespolona , ​​która daje 1 po podniesieniu do pewnej dodatniej potęgi całkowitej n . Pierwiastki jedności są używane w wielu gałęziach matematyki i są szczególnie ważne w teorii liczb , teorii znaków grupowych i dyskretnej transformacie Fouriera .

Pierwiastki jedności można zdefiniować w dowolnym polu . Jeśli charakterystyka ciała wynosi zero, pierwiastki są liczbami zespolonymi, które są również algebraicznymi liczbami całkowitymi . Dla ciał o dodatniej charakterystyce pierwiastki należą do ciała skończonego i odwrotnie , każdy niezerowy element ciała skończonego jest pierwiastkiem jedności. Każde algebraicznie domknięte ciało zawiera dokładnie n n -tych pierwiastków jedności, z wyjątkiem sytuacji, gdy n jest wielokrotnością (dodatniej) charakterystyki ciała.

Ogólna definicja

Geometryczna reprezentacja pierwiastka od drugiego do szóstego ogólnej liczby zespolonej w postaci biegunowej. Dla n- tego pierwiastka jedności przyjmij r = 1 i φ = 0. Pierwiastek główny zaznaczono na czarno.

n - ty pierwiastek jedności , gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, jest liczbą z spełniającą równanie

$${\ Displaystyle Z ^ {n} = 1.}$$

O ile nie określono inaczej, pierwiastki jedności można przyjąć jako liczby zespolone (w tym liczbę 1 i liczbę −1, jeśli n jest parzyste , które są zespolone z zerową częścią urojoną ), aw tym przypadku n- tym pierwiastkiem jedności są

$${\ Displaystyle \ exp \ lewo ({\ Frac {2k \ \ pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1, \kropki ,n-1.}$$

Jednak definiujące równanie pierwiastków jedności ma znaczenie na dowolnym polu (a nawet na dowolnym pierścieniu ) F , a to pozwala na rozważenie pierwiastków jedności w F . Niezależnie od tego, jakie jest pole F , pierwiastki jedności w F są albo liczbami zespolonymi, jeśli cechą charakterystyczną F jest 0, albo należą do ciała skończonego . I odwrotnie, każdy niezerowy element w polu skończonym jest pierwiastkiem jedności w tym polu. Zobacz Pierwiastek jedności modulo n i Skończone pole dla dalszych szczegółów.

n - ty pierwiastek jedności jest prymitywny , jeśli nie jest m-tym pierwiastkiem jedności dla jakiegoś mniejszego m , to znaczy jeśli

${\ Displaystyle z ^ {n} = 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad z ^ {m} \neq 1{\text{ dla }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Jeśli n jest liczbą pierwszą , to wszystkie n- te pierwiastki jedności, z wyjątkiem 1, są pierwotne.

W powyższym wzorze pod względem funkcji wykładniczych i trygonometrycznych pierwotnymi n -tymi pierwiastkami jedności są te, dla których k i n są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi .

Kolejne sekcje tego artykułu będą zgodne ze złożonymi korzeniami jedności. W przypadku pierwiastków jedności w polach o niezerowej charakterystyce, zobacz Pole skończone § Pierwiastki jedności . W przypadku pierwiastków jedności w pierścieniach modularnych liczb całkowitych zobacz Root of unity modulo n .

Właściwości elementarne

Każdy n -ty pierwiastek jedności z jest pierwiastkiem pierwotnym jedności dla pewnego a ≤ n , który jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą taką, że z ^a = 1 .

Dowolna liczba całkowita potęgi n- tego pierwiastka jedności jest również n- tym pierwiastkiem jedności, as

${\ Displaystyle (z ^ {k}) ^ {n} = z ^ {kn} = (z ^ {n}) ^ {k}=1^{k}=1.}$

Dotyczy to również ujemnych wykładników. W szczególności odwrotność n - tego pierwiastka jedności jest jego złożonym koniugatem , a także n- tym pierwiastkiem jedności:

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {z}} = z ^ {-1} = z ^ {n-1} = {\ bar {z}}.}$

Jeśli z jest n- tym pierwiastkiem jedności i a ≡ b (mod n ) , to z ^a = z ^b . Rzeczywiście, z definicji kongruencji modulo n , a = b + kn dla pewnej liczby całkowitej k , a zatem

${\ Displaystyle z ^ {a} = z ^ {b + kn} = z ^ {b} z ^ {kn} = z ^ {b} (z ^ {n}) ^ {k} = z ^ {b} 1^{k}=z^{b}.}$

z , biorąc pod uwagę potęgę z ^a z , mamy z ^a = z ^r , gdzie 0 ≤ r < n is the remainder of the Euclidean division of an.

Niech z będzie pierwotnym n- tym pierwiastkiem jedności. Wtedy potęgi z , z ² , ..., z ^{n −1} , ⁰ z ⁿ = z = 1 są n- tymi pierwiastkami jedności i wszystkie są różne. (Jeżeli z ^a = z ^b gdzie 1 ≤ a < b ≤ n , to z ^{b − a} = 1 , co oznaczałoby, że z nie byłoby prymitywne.) Oznacza to, że z , z ² , ..., z ^{n −1} , ⁰ z ⁿ = z = 1 wszystkie są n- tym pierwiastkiem jedności, ponieważ równanie wielomianu n -tego stopnia nad a pole (w tym przypadku ciało liczb zespolonych) ma co najwyżej n rozwiązań.

$a$ powyższego wynika, że ​​jeśli jest n - ${\ Displaystyle a \ równoważny b {\ pmod {n}}.}$ pierwiastkiem jedności, to tylko wtedy, gdy Jeśli z nie jest prymitywne, to ${\ Displaystyle a \ równoważny b {\ pmod {n}}}$ implikuje ${\ Displaystyle z ^ {a} = z ^ {b},}$ ale odwrotność może być fałszywa, jak pokazano w poniższym przykładzie. Jeśli n 4 $=$ , nieprymitywny n - jedności to z = –1 a ${\ Displaystyle 2 \ nie \ równoważne 4 {\ pmod {4}}.}$

Niech z będzie pierwotnym n- tym pierwiastkiem jedności. Potęga w = z ^k od z jest pierwiastkiem pierwotnym ath z jedności dla

${\ Displaystyle a = {\ Frac {n} {\ gcd (k, n)}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ gcd (k, n)}$ jest największym wspólnym dzielnikiem n i k . Wynika to z faktu, że ka jest najmniejszą wielokrotnością k będącą jednocześnie wielokrotnością n . Innymi słowy, ka jest najmniejszą wspólną wielokrotnością k i n . Zatem

${\ Displaystyle a = {\ Frac {\ nazwa operatora {lcm} (k, n)} {k}} = {\ Frac {kn} {k \ gcd (k, n)}} = {\ frac {n} \gcd(k,n)}}.}$

Tak więc, jeśli k i n są względnie pierwsze , z ^k jest również pierwotnym n- tym pierwiastkiem jedności, a zatem istnieją φ ( n ) różne prymitywne n -te pierwiastki jedności (gdzie φ jest totientową funkcją Eulera ). Oznacza to, że jeśli n jest liczbą pierwszą, wszystkie pierwiastki z wyjątkiem +1 są pierwotne.

Innymi słowy, jeśli R( n ) jest zbiorem wszystkich n -tych pierwiastków jedności, a P( n ) jest zbiorem pierwiastków pierwotnych, R( n ) jest rozłączną sumą P ( n ) :

${\ Displaystyle \ operatorname {R} (n) = \ bigcup _ {d \, | \, n} \ operatorname {P} (d)}$

gdzie zapis oznacza, że ​​d przechodzi przez wszystkie dodatnie dzielniki n , w tym 1 i n .

Ponieważ liczność R ( n ) wynosi n , a liczność P( n ) to φ ( n ) , demonstruje to klasyczną formułę

${\ Displaystyle \ suma _ {d \, | \, n} \ varphi (d) = n.}$

Właściwości grupy

Grupa wszystkich korzeni jedności

Iloczyn i multiplikatywna odwrotność dwóch pierwiastków jedności są również pierwiastkami jedności. W rzeczywistości, jeśli x ^m = 1 i y ⁿ = 1 , to ( x ⁻¹ ) ^m = 1 i ( xy ) ^k = 1 , gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością m i n .

Dlatego korzenie jedności tworzą grupę abelową podczas mnożenia. Ta grupa jest podgrupą skrętną grupy kołowej .

Grupa n- tych pierwiastków jedności

Dla liczby całkowitej n iloczyn i multiplikatywna odwrotność dwóch n -tych pierwiastków jedności są również n -tymi pierwiastkami jedności. Dlatego n- ty pierwiastek jedności przy mnożeniu tworzy grupę abelową.

Mając prymitywny n- ty pierwiastek z jedności ω , pozostałe n- te pierwiastki są potęgami ω . Oznacza to, że grupa n -tych pierwiastków jedności jest grupą cykliczną . Warto zauważyć, że termin grupa cykliczna wywodzi się z faktu, że grupa ta jest podgrupą grupy kołowej .

Grupa Galois prymitywnych n- tych pierwiastków jedności

Niech $będzie$ rozszerzeniem pola liczb wymiernych przez prymitywny n ty $pierwiastek$ ω _ Ponieważ każdy n -ty pierwiastek jedności jest potęgą ω , pole zawiera wszystkie n- te pierwiastki jedności, a $} (\ omega)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ omega)}$ jest rozszerzeniem ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$ Galois

Jeśli k jest liczbą całkowitą, ω ^k jest pierwotnym n- tym pierwiastkiem jedności wtedy i tylko wtedy, gdy k i n są względnie pierwsze . W tym przypadku mapa

${\ Displaystyle \ omega \ mapsto \ omega ^ {k}}$

indukuje automorfizm $,$ który każdy n - pierwiastek jedności na jego - potęgę. Każdy automorfizm z jest uzyskiwany w ten sposób i te automorfizmy tworzą grupę Galois z ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ omega) Q$$Displaystyle \ mathbb {Q} (\ omega) }$ nad polem wymiernych.

Reguły potęgowania implikują, że złożenie dwóch takich automorfizmów uzyskuje się przez pomnożenie wykładników. Wynika z tego, że mapa

${\ Displaystyle k \ mapsto \ lewo (\ omega \ mapsto \ omega ^ {k} \ prawej)}$

definiuje izomorfizm grupowy między jednostkami pierścienia liczb całkowitych modulo n a grupą Galois ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ omega).}$

To pokazuje, że ta grupa Galois jest abelowa , a zatem implikuje, że pierwotne korzenie jedności można wyrazić w terminach rodników .

Wyrażenie trygonometryczne

Trzecie korzenie jedności

Formuła De Moivre'a , która jest ważna dla wszystkich rzeczywistych x i liczb całkowitych n , to

${\ Displaystyle \ lewo (\ cos x + i \ sin x \ prawo) ^ {n} = \ cos nx + i \ sin nx.}$

Ustawienie x = 2π / n daje prymitywny n -ty pierwiastek jedności – otrzymujemy

${\ Displaystyle \ lewo (\ sałata {\ Frac {2 \ pi}} {n}} + i\sin {\frac {2\pi}{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

Ale

${\ Displaystyle \ lewo (\ sałata {\ Frac {2 \ pi}} {n }}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi}}{n}}+i\sin {\frac { 2k\pi }{n}}\neq 1}$

dla k = 1, 2, …, n - 1 . Innymi słowy,

${\ Displaystyle \ sałata {\ Frac {2 \ pi} {n}} + ja \ grzech {\ Frac {2 \ pi} {n}}}$

jest prymitywnym n- tym pierwiastkiem jedności.

Wzór ten pokazuje, że na płaszczyźnie zespolonej n - te pierwiastki jedności leżą w wierzchołkach wielokąta foremnego n-bocznego wpisanego w okrąg jednostkowy , z jednym wierzchołkiem w punkcie 1 (patrz wykresy dla n = 3 i n = 5 na Prawidłowy). Ten fakt geometryczny odpowiada za termin „cyklotomiczny” w takich wyrażeniach, jak pole cyklotomiczne i wielomian cyklotomiczny ; pochodzi od greckich korzeni „ cyklo ” (kółko) plus „ tomos ” (przeciąć, podzielić).

Wzór Eulera

${\ Displaystyle e ^ {ix} = \ sałata x + i \ sin x,}$

który jest ważny dla wszystkich rzeczywistych x , może być użyty do umieszczenia wzoru na n- ty pierwiastek jedności w formie

${\ Displaystyle e ^ {2 \ pi ja {\ Frac {k} {n}}} \ quad 0 \ równoważnik k <n.}$

Z dyskusji w poprzedniej sekcji wynika, że ​​jest to prymitywny n -pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy ułamek k / n jest najniższy; to znaczy, że k i n są względnie pierwsze. Liczba niewymierna , którą można wyrazić jako część rzeczywistą pierwiastka jedności; to znaczy, ponieważ ${\ Displaystyle \ cos (2 \ pi k/n)}$ jest nazywana liczbą trygonometryczną .

Wyrażenie algebraiczne

N - te pierwiastki jedności są z definicji pierwiastkami wielomianu x ⁿ − 1 , a zatem są liczbami algebraicznymi . Ponieważ wielomian ten nie jest nierozkładalny (z wyjątkiem n = 1 ), pierwotne n -te pierwiastki jedności są pierwiastkami nierozkładalnego wielomianu niższego stopnia, zwanego n-tym wielomianem cyklotomicznym , często oznaczanego jako Φ _n . Stopień Φ _n jest określony przez Funkcja totient Eulera , która zlicza (między innymi) liczbę pierwotnych n- tych pierwiastków jedności. Pierwiastki Φ _n są dokładnie pierwotnymi n -tymi pierwiastkami jedności.

Teorię Galois można wykorzystać do wykazania, że ​​wielomiany cyklotomiczne można wygodnie rozwiązać za pomocą rodników. (Trywialna forma $prymitywne$ , takie jak 1, które nie są pierwiastkami wielomianu cyklotomicznego, i ponieważ nie podaje osobno części rzeczywistej i urojonej.) Oznacza to, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n istnieje wyrażenie zbudowane z liczb całkowitych przez wydobycie pierwiastków, dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (i nic więcej), takie że prymityw N pierwiastki jedności to dokładnie zbiór wartości, które można uzyskać wybierając wartości dla ekstrakcji pierwiastków ( k możliwych wartości dla k -tego pierwiastka). (Aby uzyskać więcej informacji, patrz § Pola cyklotomiczne poniżej).

Gauss udowodnił , że prymitywny n -ty pierwiastek jedności można wyrazić tylko pierwiastkami kwadratowymi , dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy można skonstruować za pomocą kompasu i wyprostować n - kąt foremny . Dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy n jest albo potęgą dwójki , albo iloczynem potęgi dwójki i liczb pierwszych Fermata , z których wszystkie są różne.

Jeśli z $- tym pierwiastkiem jedności,$ prymitywnym n samo dotyczy 1/ z , a jest dwa razy z . Innymi słowy, $jako$ jest _wielomianem odwrotnym , wielomian , który ma r pierwiastek, można wywnioskować z Φ _n za pomocą standardowej manipulacji wielomianami odwrotnymi, a pierwotne n -te pierwiastki jedności można wywnioskować z pierwiastków przez rozwiązanie równania kwadratowego $} displaystyle z ^ {2} -rz + 1 = 0.}$$Displaystyle R_ {n}$ Oznacza to, że część rzeczywista pierwotnego pierwiastka to ${\ Displaystyle {\ Frac {r} {2}}},$ a jego część urojona to ${\ Displaystyle \ pm ja {\ sqrt {1- \ lewo ({\ Frac {r} {2}} \ prawo) ^ {2}}}.}$

Wielomian jest nieredukowalnym $wielomianem, którego wszystkie$ rzeczywiste. Jego stopień jest potęgą dwójki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest iloczynem potęgi dwójki przez iloczyn (prawdopodobnie pusty ) różnych liczb pierwszych Fermata, a n -gon foremny można skonstruować za pomocą kompasu i liniału. W przeciwnym razie można go rozwiązać w pierwiastkach, ale jeden z nich znajduje się w casus Ireducibilis , to znaczy każde wyrażenie pierwiastków w kategoriach rodników obejmuje nierzeczywiste rodniki .

Jawne wyrażenia w niskich stopniach

• Dla n = 1 wielomian cyklotomiczny wynosi Φ ₁ ( x ) = x − 1 Dlatego jedynym pierwotnym pierwszym pierwiastkiem jedności jest 1, co jest nieprymitywnym n- tym pierwiastkiem jedności dla każdego n > 1.
• Ponieważ Φ ₂ ( x ) = x + 1 , jedynym prymitywnym drugim (kwadratowym) pierwiastkiem jedności jest −1, co jest również nieprymitywnym n- tym pierwiastkiem jedności dla każdego parzystego n > 2 . W poprzednim przypadku uzupełnia to listę rzeczywistych korzeni jedności.
• Ponieważ Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 , prymitywny trzeci ( sześcian ) pierwiastki jedności, które są pierwiastkami tego wielomianu kwadratowego , to
  $${\ Displaystyle {\ Frac {-1 + i {\ sqrt {3}}} {2}}, \ {\ Frac {-1-i {\ sqrt {3}}} {2}}.}$$
• Ponieważ Φ ₄ ( x ) = x ² + 1 , dwoma pierwotnymi czwartymi pierwiastkami jedności są i oraz − i .
• Ponieważ Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 , cztery pierwotne piąte pierwiastki jedności są pierwiastkami tego wielomianu kwartalnego , który można jawnie rozwiązać za pomocą pierwiastków, dając pierwiastki
  $${\ Displaystyle {\ Frac {\ varepsilon {\ sqrt {5}} -1} {4}} \ pm ja {\ Frac {\ sqrt {10 + 2 \varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$
  gdzie $przyjmować$ dwie wartości 1 i -1 (ta sama wartość w dwóch wystąpieniach).
• Ponieważ Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1 , istnieją dwa pierwotne pierwiastki szóste z jedności, które są ujemnymi (a także pierwiastkami kwadratowymi) dwóch pierwotnych pierwiastków sześciennych:
  $${\ Displaystyle {\ Frac {1 + i {\ sqrt {3}}} {2}}, \ {\ Frac {1-i {\ sqrt {3}}} {2}}.}$$
• Ponieważ 7 nie jest liczbą pierwszą Fermata, siódme korzenie jedności są pierwszymi, które wymagają pierwiastków sześciennych . Istnieje 6 prymitywnych siódmych pierwiastków jedności, które są złożonymi parami koniugatami . Suma pierwiastka i jego koniugatu jest dwa razy większa niż jego część rzeczywista. Te trzy sumy to trzy rzeczywiste pierwiastki wielomianu sześciennego i pierwotne siódme pierwiastki jedności ${\ Displaystyle r ^ {3} + r ^ {2} -2r-1$ Czy
  $${\ Displaystyle {\ Frac {r} {2}} \ pm ja {\ sqrt {1- {\ Frac {r ^ {2}} {4}}}}}$$
  gdzie r przebiega przez pierwiastki powyższego wielomianu. Jak w przypadku każdego wielomianu sześciennego, pierwiastki te można wyrazić pierwiastkami kwadratowymi i sześciennymi. Ponieważ jednak wszystkie te trzy pierwiastki są rzeczywiste, jest to casus irreducibilis , a każde takie wyrażenie obejmuje nierzeczywiste pierwiastki sześcienne.
• Ponieważ Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1 , cztery pierwotne ósme pierwiastki jedności są pierwiastkami kwadratowymi pierwotnych pierwiastków czwartych ± i . Są tacy
  $${\ Displaystyle \ pm {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}} \ pm ja {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}.}$$
• Zobacz Heptadecagon , aby poznać prawdziwą część 17. pierwiastka jedności.

Okresowość

Jeśli z jest prymitywnym n- tym pierwiastkiem jedności, to ciąg potęg

⁰ … , z ⁻¹ , z , z ¹ , …

jest n -okresowe (ponieważ z ^{j + n} = z ^j z ⁿ = z ^j dla wszystkich wartości j ), a n ciągów potęg

s _k : … , z ^{k ⋅(-1)} , z ^{k ⋅0} , z ^{k ⋅1} , …

dla k = 1, … , n wszystkie są n -okresowe (ponieważ z ^{k ⋅( j + n )} = z ^{k ⋅ j} ). Ponadto zbiór { s ₁ , … , s _n } tych ciągów jest podstawą liniowej przestrzeni wszystkich n -okresowych ciągów. Oznacza to, że dowolny n -okresowy ciąg liczb zespolonych

₀ … , x ₋₁ , x , x ₁ , …

można wyrazić jako liniową kombinację potęg prymitywnego n -tego pierwiastka jedności:

${\ Displaystyle x_ {j} = \ suma _ {k} X_ {k} \ cdot z ^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

dla niektórych liczb zespolonych X ₁ , … , X _n i każdej liczby całkowitej j .

Jest to forma analizy Fouriera . Jeśli j jest (dyskretną) zmienną czasową, to k jest częstotliwością , a X _k jest złożoną amplitudą .

Wybór prymitywnego n- tego pierwiastka jedności

${\ Displaystyle z = e ^ {\ Frac {2 \ pi ja} {n}} = \ sałata {\ Frac {2 \ pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

pozwala wyrazić x _{j jako liniową kombinację} cos i sin :

${\ Displaystyle x_ {j} = \ suma _ {k} A_ {k} \ cos {\ Frac {2 \ pi jk} {n}} + \ suma _ {k} B_ {k} \ sin {\ frac { 2\pi jk}{n}}.}$

Jest to dyskretna transformata Fouriera .

Podsumowanie

Niech SR( n ) będzie sumą wszystkich n -tych pierwiastków jedności, pierwotnych lub nie. Następnie

${\ Displaystyle \ operatorname {SR} (n) = {\ rozpocząć {przypadki} 1, & n = 1 \\ 0, & n> 1. \ koniec {sprawy}}}$

Jest to bezpośrednia konsekwencja formuł Vieta . W rzeczywistości, n -tym pierwiastkiem jedności jest pierwiastek wielomianu X ⁿ – 1 , ich suma jest współczynnikiem stopnia n – 1 , który wynosi 1 lub 0 w zależności od tego, czy n = 1 , czy n > 1 .

Alternatywnie, dla n = 1 nie ma czego udowadniać, a dla n > 1 istnieje pierwiastek z ≠ 1 – skoro zbiór S wszystkich n -tych pierwiastków jedności jest grupą ,   z S = S , więc suma spełnia z SR( n ) = SR( n ) , skąd SR( n ) = 0 .

Niech SP( n ) będzie sumą wszystkich pierwotnych n -tych pierwiastków jedności. Następnie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SP} (n) = \ mu (n)}$

gdzie μ ( n ) jest funkcją Möbiusa .

W części Właściwości elementarne pokazano, że jeśli R( n ) jest zbiorem wszystkich n -tych pierwiastków jedności, a P( n ) jest zbiorem pierwiastków pierwotnych, to R( n ) jest rozłączną sumą P( n) ) :

${\ Displaystyle \ operatorname {R} (n) = \ bigcup _ {d \, | \, n} \ operatorname {P} (d)}$

To implikuje

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SR} (n) = \ suma _ {d \, | \, n} \ nazwa operatora {SP} (d).}$

Zastosowanie formuły inwersji Möbiusa daje

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {SP} (n) = \ suma _ {d \, | \, n} \ mu (d) \ nazwa operatora {SR} \ lewo ({\ Frac {n} {d}} \ prawej) .}$

W tym wzorze, jeśli d < n , to SR( n / re ) = 0 , a dla d = n : SR ( n / re ) = 1 . Dlatego SP( n ) = μ ( n ) .

Jest to szczególny przypadek c _n (1) sumy Ramanujana c _n ( s ) , zdefiniowanej jako suma s -tych potęg pierwotnego n- tego pierwiastka jedności:

${\ Displaystyle c_ {n} (s) = \ suma _ {a = 1 \ na szczycie \ gcd (a, n) = 1} ^ {n} e ^ {2 \ pi ja {\ Frac {a} {n} }S}.}$

Ortogonalność

Ze wzoru sumowania wynika zależność ortogonalności : dla j = 1, … , n i j′ = 1, … , n

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {z ^ {j \ cdot k }}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

gdzie δ to delta Kroneckera , a z to dowolny prymitywny n -ty pierwiastek jedności.

Macierz n × n U , której ( j , k ) tym wpisem jest

${\ Displaystyle U_ {j, k} = n ^ {- {\ Frac {1} {2}}} \ cdot z ^ {j \ cdot k}}$

definiuje dyskretną transformatę Fouriera . Obliczenie transformacji odwrotnej za pomocą eliminacji Gaussa wymaga operacji O ( n ³ ) . Z ortogonalności wynika jednak, że U jest jednostkowe . To jest,

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 1} ^ {n} {\ overline {U_ {j, k}}} \cdot U_{k,j'}=\delta_{j,j'},}$

a zatem odwrotność U jest po prostu złożonym koniugatem. (Fakt ten został po raz pierwszy zauważony przez Gaussa podczas rozwiązywania problemu interpolacji trygonometrycznej .) Proste zastosowanie U lub jego odwrotności do danego wektora wymaga operacji O ( n ² ) . Algorytmy szybkiej transformaty Fouriera zmniejszają liczbę operacji dalej do O ( n log n ) .

Wielomiany cyklotomiczne

Główny artykuł: wielomian cyklotomiczny

Zera wielomianu _

${\ Displaystyle p (z) = z ^ {n} -1}$

są dokładnie n- tym pierwiastkiem jedności, każdy z krotnością 1. N- ty wielomian cyklotomiczny jest zdefiniowany przez fakt, że jego zera są dokładnie pierwiastkami pierwotnymi n -tymi jedności, każdy z krotnością 1.

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (z) = \ prod _ {k = 1} ^ {\ varphi (n)} ( z-z_{k})}$

gdzie z ₁ , z ₂ , z ₃ , …, z _{φ( n )} są pierwotnymi n- tymi pierwiastkami jedności, a φ( n ) jest totientową funkcją Eulera . Wielomian Φ _n ( z ) ma współczynniki całkowite i jest wielomianem nierozkładalnym nad liczbami wymiernymi (to znaczy nie można tego zapisać jako iloczyn dwóch wielomianów stopnia dodatniego o współczynnikach wymiernych). Przypadek liczby pierwszej n , który jest łatwiejszy niż ogólne twierdzenie, następuje po zastosowaniu kryterium Eisensteina do wielomianu

${\ Displaystyle {\ Frac {(z + 1) ^ {n} -1} {(z + 1) -1}}}$

i rozwijanie za pomocą twierdzenia o dwumianach .

Każdy n- ty pierwiastek jedności jest pierwotnym d- tym pierwiastkiem jedności dla dokładnie jednego dodatniego dzielnika d od n . To daje do zrozumienia ze

${\ Displaystyle z ^ {n} -1 = \ prod _ {d \,|\, n} \ Phi _ {d} (z).}$

Ten wzór przedstawia faktoryzację wielomianu z ⁿ - 1 na czynniki nieredukowalne:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} z ^ {1} -1 & = z-1 \\ z ^ {2} -1 & = (z-1) (z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1 )(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\ z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&= (z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&= (z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\koniec {wyrównany}}}$

Zastosowanie inwersji Möbiusa do wzoru daje

${\ Displaystyle \ Phi _ {n} (z) = \ prod _ {d \, | \, n} \ lewo (z ^ {\ Frac {n} d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({ \frac {n}{d}}\right)},}$

gdzie μ jest funkcją Möbiusa . Tak więc kilka pierwszych wielomianów cyklotomicznych jest

Φ ₁ ( z ) = z - 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² - 1)⋅ ( z - 1) ^-1 = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ - 1) ⋅ ( z - 1 ) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ - 1)⋅( z ² - 1) ^-1 = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ - 1)⋅ ( z - 1) ^-1 = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ - 1)⋅( z ³ - 1) ^-1 ⋅( z ² - 1) ^-1 ⋅( z - 1) = z ² - z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ - 1)⋅ ( z - 1) ^-1 = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ - 1) ⋅ ( z ⁴ - 1) ^-1 = z ⁴ + 1

Jeśli p jest liczbą pierwszą , to wszystkie pierwiastki p jedności z wyjątkiem 1 są pierwotnymi pierwiastkami p . Dlatego,

$${\ Displaystyle \ Phi _ {p} (z) = {\ Frac {z ^ {p} -1} {z-1}} = \ suma _ {k = 0} ^ {p-1} z ^ {k }.}$$

Podstawiając dowolną dodatnią liczbę całkowitą ≥ 2 dla z , ta suma staje się podstawą z repunit . Zatem koniecznym (ale niewystarczającym) warunkiem, aby repunicja była liczbą pierwszą, jest to, aby jej długość była liczbą pierwszą.

Należy zauważyć, że wbrew pozorom nie wszystkie współczynniki wszystkich wielomianów cyklotomicznych wynoszą 0, 1 lub −1. Pierwszym wyjątkiem jest Φ ₁₀₅ . Nie jest niespodzianką, że znalezienie przykładu zajmuje tak dużo czasu, ponieważ zachowanie współczynników zależy nie tyle od n , ile od tego, ile nieparzystych czynników pierwszych występuje w n . Dokładniej, można wykazać, że jeśli n ma 1 lub 2 nieparzyste czynniki pierwsze (na przykład n = 150 ), to n wielomian cyklotomiczny ma tylko współczynniki 0, 1 lub −1. Zatem pierwsze wyobrażalne n , dla którego może istnieć współczynnik inny niż 0, 1 lub -1, jest iloczynem trzech najmniejszych nieparzystych liczb pierwszych, czyli 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 . To samo w sobie nie dowodzi, że 105. wielomian ma inny współczynnik, ale pokazuje, że jest to pierwszy, który ma nawet szansę zadziałać (a następnie obliczenie współczynników pokazuje, że tak). Twierdzenie Schura mówi, że istnieją wielomiany cyklotomiczne o dowolnie dużych współczynnikach w wartości bezwzględnej . W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle n = p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {t},}$ gdzie $t$${\ Displaystyle p_ {1}< p_ {2$${\ Displaystyle p_ {1} + p_ {2}> p_ {t}}$ i t nieparzyste , to 1 - t występuje jako współczynnik w n -ty wielomian cyklotomiczny.

Znanych jest wiele ograniczeń dotyczących wartości, jakie wielomiany cyklotomiczne mogą przyjmować przy wartościach całkowitych. Na przykład, jeśli p jest liczbą pierwszą, to d ∣ Φ _p ( re ) jeśli i tylko d ≡ 1 (mod p ) .

Wielomiany cyklotomiczne można rozwiązać w rodnikach , ponieważ korzenie jedności same są rodnikami. Ponadto istnieją bardziej pouczające wyrażenia pierwiastkowe dla n -tego pierwiastka jedności z dodatkową właściwością, że każda wartość wyrażenia uzyskana przez wybranie wartości pierwiastków (na przykład znaki pierwiastków kwadratowych) jest prymitywnym n-tym pierwiastkiem jedności . Pokazał to już Gauss w 1797 roku. Istnieją wydajne algorytmy do obliczania takich wyrażeń.

Grupy cykliczne

N - te pierwiastki jedności tworzą po pomnożeniu grupę cykliczną rzędu n iw rzeczywistości grupy te obejmują wszystkie skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Generatorem grupy cyklicznej jest prymitywny n- ty pierwiastek jedności.

N - te pierwiastki jedności tworzą nieredukowalną reprezentację dowolnej cyklicznej grupy rzędu n . Relacja ortogonalności wynika również z teorii grup , jak opisano w grupie znaków .

Pierwiastki jedności pojawiają się jako wpisy wektorów własnych dowolnej krążącej macierzy ; to znaczy macierze, które są niezmienne w przypadku przesunięć cyklicznych, co wynika również z teorii reprezentacji grup jako wariantu twierdzenia Blocha . W szczególności, jeśli rozważymy krążącą macierz hermitowską (na przykład zdyskretyzowany jednowymiarowy laplacian z okresowymi granicami), właściwość ortogonalności bezpośrednio wynika ze zwykłej ortogonalności wektorów własnych macierzy hermitowskich.

Pola cyklotomiczne

Główny artykuł: Pole cyklotomiczne

Dołączając prymitywny n -ty $pierwiastek$ jedności do ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ exp (2 \ pi i/n)).}$ się n- te pole cyklotomiczne To pole zawiera wszystkie n -te pierwiastki jedności i jest polem podziału n-tego wielomianu cyklotomicznego nad ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$ Rozszerzenie pola ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ exp (2 \ pi i/n)) / \ mathbb {Q} }$ ma stopień φ( n ) i jego grupa Galois jest naturalnie izomorficzna z multiplikatywną grupą jednostek pierścienia ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}.}$

Ponieważ grupa Galois z ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ exp (2 \ pi i/n)) / \ mathbb {Q}}$ jest abelowa, to jest rozszerzeniem abelowym . Każde podpole pola cyklotomicznego jest abelowym rozszerzeniem wymiernych. Wynika z tego, że każdy n -ty pierwiastek jedności można wyrazić za pomocą k -pierwiastków, przy czym różne k nie przekraczają φ( n ). W tych przypadkach Teorię Galois można wyraźnie zapisać w kategoriach okresów Gaussa : ta teoria z Disquisitiones Arithmeticae Gaussa została opublikowana wiele lat przed Galois.

I odwrotnie, każde abelowe rozszerzenie wymiernych jest takim podciałem pola cyklotomicznego - taka jest treść twierdzenia Kroneckera , zwanego zwykle twierdzeniem Kroneckera-Webera ze względu na to, że Weber zakończył dowód.

Związek z kwadratowymi liczbami całkowitymi

Na płaszczyźnie zespolonej czerwone punkty to piąte pierwiastki jedności, a czarne punkty to sumy piątego pierwiastka jedności i jego złożonego koniugatu.

Na płaszczyźnie zespolonej rogi dwóch kwadratów są ósmymi pierwiastkami jedności

Dla n = 1, 2 oba pierwiastki jedności 1 i −1 są liczbami całkowitymi .

Dla trzech wartości n pierwiastki jedności są kwadratowymi liczbami całkowitymi :

• Dla n = 3, 6 są to liczby całkowite Eisensteina ( D = −3 ).
• Dla n = 4 są to liczby całkowite Gaussa ( D = −1 ): patrz Jednostka urojona .

Dla czterech innych wartości n pierwotne pierwiastki jedności nie są kwadratowymi liczbami całkowitymi, ale suma dowolnego pierwiastka jedności z jego zespolonym sprzężeniem (również n -tym pierwiastkiem jedności) jest kwadratową liczbą całkowitą.

Dla n = 5, 10 żaden z nierzeczywistych pierwiastków jedności (spełniających równanie kwartalne ) nie jest kwadratową liczbą całkowitą, ale suma z + z = 2 Re z każdego pierwiastka z jego zespolonym sprzężeniem (również pierwiastek piąty jedności) jest elementem pierścienia Z [ 1 + √ 5 / 2 ] ( D = 5 ). Dla dwóch par nierzeczywistych piątych pierwiastków jedności te sumy to odwrotność złotego podziału i minus złoty podział.

Dla n = 8 , dla dowolnego pierwiastka jedności z + z jest równe 0, ±2 lub ± √ 2 ( D = 2 ).

Dla n = 12 , dla dowolnego pierwiastka jedności, z + z równa się 0, ±1, ±2 lub ± √ 3 ( D = 3 ).

Zobacz też

• Układ Arganda
• Grupa kołowa , jednostka liczb zespolonych
• Pole cyklotomiczne
• Schemat grupowy korzeni jedności
• postać Dirichleta
• Suma Ramanujana
• Wektor Witta
• postaci Teichmüllera

Notatki

•     Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , Zbl 0984.00001
• Milne, James S. (1998). „Algebraiczna teoria liczb” . Notatki z kursu .
• Milne, James S. (1997). „Teoria pola klas” . Notatki z kursu .
•     Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .
•   Neukirch, Jürgen (1986). Teoria pola klas . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2 .
•   Waszyngton, Lawrence C. (1997). Wprowadzenie do pól cyklotomicznych (wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0 .
•   Derbyshire, John (2006). „Korzenie jedności”. Nieznana ilość . Waszyngton, DC: Joseph Henry Press . ISBN 0-309-09657-X .