Liczba całkowita algebraiczna

W algebraicznej teorii liczb algebraiczna liczba całkowita jest liczbą zespoloną , która jest całkowa po liczbach całkowitych . Oznacza to, że algebraiczna liczba całkowita jest złożonym pierwiastkiem pewnego wielomianu monicznego ( wielomianu , którego współczynnik wiodący wynosi 1), którego współczynniki są liczbami całkowitymi. Zbiór wszystkich algebraicznych liczb całkowitych $A$ jest domknięty na dodawanie, odejmowanie i mnożenie, a zatem jest przemiennym podpierścieniem liczb zespolonych.

Pierścień liczb całkowitych ciała K $,$ $oznaczony$ $przez$ O $K,$ jest przecięciem K i $A$ : można go również scharakteryzować jako maksymalny rząd ciała K . Każda algebraiczna liczba całkowita należy do pierścienia liczb całkowitych pewnego pola liczbowego. Liczba $α$ jest algebraiczną liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień jest generowany w sposób skończony jako grupa abelowa , to znaczy jako $} [\ alfa]$ $} mathbb {Z}}$ - moduł .

Definicje

Poniżej przedstawiono równoważne definicje algebraicznej liczby całkowitej. Niech $K$ będzie polem liczbowym (tj. skończonym rozszerzeniem pola liczb wymiernych $)$ , innymi słowy, $} (\ theta)}$ ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q$ dla pewnej liczby algebraicznej ${\ Displaystyle \ theta \ in \ mathbb {C}}$ przez twierdzenie o elementach pierwotnych .

$α \in K$ $)$ liczbą całkowitą $(α jeśli =$ istnieje wielomian
$α \in K$ ${Z} [x]}$ algebraiczną liczbą całkowitą, jeśli minimalny wielomian moniczny $α$ nad jest w $mathbb$ .
$α \in K$ $całkowitą$ algebraiczną liczbą $,$ jest .
$α \in K$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, jeśli istnieje niezerowa, skończenie generowana $\$ submoduł M $Displaystyle M \ podzbiór \ mathbb {C}}$ taka, że $αM \subseteq M$ .

Liczby całkowite algebraiczne to szczególny przypadek elementów całkowitych przedłużenia pierścienia. W szczególności $.$ jest integralnym elementem skończonego

Przykłady

Jedynymi algebraicznymi liczbami całkowitymi, które można znaleźć w zbiorze liczb wymiernych, są liczby całkowite. Innymi słowy, przecięcie $mathbb$ i $A$ jest dokładnie ${Z}}$ . Liczba wymierna $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} a / b$ nie jest algebraiczną liczbą całkowitą, chyba że $b$ dzieli $a$ . Zauważ, że wiodący współczynnik wielomianu $bx - a$ jest liczbą całkowitą $b$ . W innym szczególnym przypadku pierwiastek kwadratowy z nieujemnej $liczby całkowitej$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, ale jest $niewymierny$ , chyba że $n$ jest idealnym kwadratem .
Jeśli $d$ jest liczbą $to$ kwadratów , rozszerzenie kwadratowym wymiernych . $,$ algebraicznych liczb całkowitych $O K$ zawiera ponieważ jest to pierwiastek wielomianu monicznego $x 2 - re$ . Ponadto, jeśli $re \equiv 1 mod 4$ , to element jest również algebraiczny ${\ textstyle {\ Frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {d}} \,)}$ liczba całkowita. Spełnia wielomian $x 2 - x + 1 / 4 (1 - d)$ gdzie stały wyraz $1 / 4 (1 - d)$ jest liczbą całkowitą. Pełny pierścień liczb całkowitych jest generowany przez $)$ $}\,)}$ ${\ textstyle {\ Frac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {$ d odpowiednio. Zobacz liczbę całkowitą kwadratową, aby uzyskać więcej informacji.
$Pierścień$ liczb całkowitych $pola = hk 2$ α $= 3 \sqrt m pisząc$ następującą , m dla dwóch dowolne względnie pierwsze liczby całkowite $h$ i $k$ : ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} 1, \ alfa, {\ dfrac {\ alfa ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\równoważnik \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$
Jeśli $ζ n$ jest pierwotnym $n$ -tym ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ zeta _ {n}]}$ jedności , to pierścień liczb całkowitych pola cyklotomicznego $})$ dokładnie .
Jeśli $α$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, to $β = n \sqrt α$ jest kolejną algebraiczną liczbą całkowitą. Wielomian dla $β$ otrzymuje się przez podstawienie $x n$ w wielomianie dla $α$ .

Nie przykład

Jeśli $P (x)$ jest pierwotnym wielomianem , który ma współczynniki całkowite, ale nie jest moniczny, i $P$ jest nierozkładalny nad , to żaden z pierwiastków $P nie$ jest algebraicznymi liczbami całkowitymi (ale są liczbami algebraicznymi) ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}$ } . Tutaj prymityw jest używany w tym sensie, że najwyższy wspólny czynnik współczynników $P$ wynosi 1; jest to słabsze niż wymaganie, aby współczynniki były parami względnie pierwsze.

Fakty

Suma, różnica i iloczyn dwóch algebraicznych liczb całkowitych jest algebraiczną liczbą całkowitą. Ogólnie ich iloraz nie jest. Zastosowany wielomian moniczny jest na ogół wyższego stopnia niż w przypadku oryginalnych algebraicznych liczb całkowitych i można go znaleźć, biorąc wypadkowe i rozkładając na czynniki. Na przykład, jeśli $x 2 - x - 1 = 0$ , $y 3 - y - 1 = 0$ i $z = xy$ , to wyeliminowanie $x$ i $y$ z $z - xy = 0$ i wielomiany spełnione przez $x$ i $y$ przy użyciu wypadkowej daje $z 6 - 3 z 4 - 4 z 3 + z 2 + z - 1 = 0$ , które jest nierozkładalne i jest równaniem monicznym spełnianym przez iloczyn. (Aby zobaczyć, że $xy$ jest pierwiastkiem $x$ -wypadkowej $z - xy$ i $x 2 - x - 1$ , można wykorzystać fakt, że wypadkowa jest zawarta w ideale generowanym przez dwa wielomiany wejściowe).
Każda liczba, którą można skonstruować z liczb całkowitych z pierwiastkami, dodawaniem i mnożeniem, jest zatem algebraiczną liczbą całkowitą; ale nie wszystkie algebraiczne liczby całkowite są tak konstruowalne: w naiwnym sensie większość pierwiastków nieredukowalnych kwintyków nie jest. To jest twierdzenie Abela-Ruffiniego .
Każdy pierwiastek wielomianu monicznego, którego współczynniki są algebraicznymi liczbami całkowitymi, sam jest algebraiczną liczbą całkowitą. Innymi słowy, algebraiczne liczby całkowite tworzą pierścień, który jest całkowicie domknięty w dowolnym ze swoich rozszerzeń.
Pierścień algebraicznych liczb całkowitych jest dziedziną Bézouta , jako konsekwencja twierdzenia o ideale głównym .
Jeśli wielomian moniczny związany z algebraiczną liczbą całkowitą ma stały wyraz 1 lub -1, to odwrotność tej algebraicznej liczby całkowitej jest również algebraiczną liczbą całkowitą i jest jednostką , elementem grupy jednostek pierścienia algebraicznych liczb całkowitych.
Każdą liczbę algebraiczną można zapisać jako stosunek algebraicznej liczby całkowitej do niezerowej algebraicznej liczby całkowitej. W rzeczywistości mianownik zawsze można wybrać jako dodatnią liczbę całkowitą. W szczególności, jeśli $x jest liczbą algebraiczną, która$ $jest n > 0$ pierwiastkiem wielomianu $p (x)$ ze współczynnikami całkowitymi i wyrazem wiodącym $a n x n$ dla , to $a n x / a n$ jest obiecanym stosunkiem. W szczególności $y = a n x$ jest algebraiczną liczbą całkowitą, ponieważ jest pierwiastkiem z $a n - 1 n p (y / a n)$ , które jest wielomianem monicznym w $y$ ze współczynnikami całkowitymi.

Zobacz też

^ Marcus, Daniel A. (1977). Pola liczbowe (wyd. 3). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . rozdz. 2, str. 38 i ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1 .

Stein, W. Algebraiczna teoria liczb: podejście obliczeniowe (PDF) .

[1] Marcus, Daniel A. (1977). Pola liczbowe (wyd. 3). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . rozdz. 2, str. 38 i ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1 .