Nierozkładalny wielomian

Ten artykuł dotyczy wielomianów nierozkładalnych na czynniki. W przypadku wielomianów, które nie są złożeniem wielomianów, zobacz Nierozkładalny wielomian .

W matematyce nieredukowalny wielomian jest, z grubsza mówiąc, wielomianem , którego nie można rozłożyć na iloczyn dwóch niestałych wielomianów . Własność nieredukowalności zależy od charakteru współczynników , które są akceptowane dla możliwych czynników, to znaczy od dziedziny, do której mają należeć współczynniki wielomianu i jego możliwych czynników. Na przykład wielomian x ² − 2 jest wielomianem z całkowite , ale ponieważ każda liczba całkowita jest również liczbą rzeczywistą , jest także wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jest nieredukowalny, jeśli jest uważany za wielomian ze współczynnikami całkowitymi, ale uwzględnia się jako ${\ Displaystyle \ lewo (x- {\ sqrt {2}} \ prawej) \ lewo (x + {\sqrt {2}}\right)},$ jeśli jest traktowany jako wielomian o rzeczywistych współczynnikach. Mówi się, że wielomian x ² − 2 jest nierozkładalny na liczbach całkowitych, ale nie na liczbach rzeczywistych.

Nieredukowalność wielomianu można rozważyć w przypadku wielomianów ze współczynnikami w domenie całkowej i istnieją dwie wspólne definicje. Najczęściej mówi się, że wielomian w domenie całkowej R jest nieredukowalny, jeśli nie jest iloczynem dwóch wielomianów, których współczynniki są w R , a nie są jednostkowe w R . Równoważnie, dla tej definicji, nieredukowalny wielomian jest nieredukowalnym elementem w pierścieniach wielomianów nad R . jeśli R jest polem, dwie definicje nieredukowalności są równoważne. W przypadku drugiej definicji wielomian jest nieredukowalny, jeśli nie można go rozłożyć na wielomiany o współczynnikach w tej samej dziedzinie, które mają stopień dodatni. Równoważnie, wielomian jest nierozkładalny, jeśli jest nierozkładalny na polu ułamków domeny całkowej. Na przykład wielomian ${\ Displaystyle 2 (x ^ {2} -2) \ w \ mathbb {Z} [x]}$ jest nieredukowalny dla drugiej definicji, a nie dla pierwszej. $Z$ drugiej strony $nieredukowalny$ w definicjach, ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [x].}$

Wielomian, który jest nierozkładalny na jakimkolwiek polu zawierającym współczynniki, jest absolutnie nierozkładalny . Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem algebry wielomian jednowymiarowy jest absolutnie nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego stopień wynosi jeden. Z drugiej strony, przy kilku nieokreślonych istnieją absolutnie nieredukowalne wielomiany dowolnego stopnia, takie jak dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {n} -1,}$ rz .

Wielomian, który nie jest nieredukowalny, jest czasami nazywany wielomianem redukowalnym .

Nieredukowalne wielomiany pojawiają się naturalnie w badaniu faktoryzacji wielomianów i algebraicznych rozszerzeń pól .

Pomocne jest porównanie nieredukowalnych wielomianów z liczbami pierwszymi : liczby pierwsze (wraz z odpowiadającymi im liczbami ujemnymi o równej wielkości) są nieredukowalnymi liczbami całkowitymi . Wykazują wiele ogólnych właściwości pojęcia „nieredukowalności”, które w równym stopniu odnoszą się do nieredukowalnych wielomianów, takich jak zasadniczo unikalny rozkład na czynniki pierwsze lub nieredukowalne. Kiedy pierścień współczynników jest polem lub inną unikalną dziedziną faktoryzacji , nieredukowalny wielomian jest również nazywany wielomianem pierwszym , ponieważ generuje ideał pierwszy .

Definicja

Jeśli F jest ciałem, niestały wielomian jest nierozkładalny po F , jeśli jego współczynniki należą do F i nie można go rozłożyć na iloczyn dwóch niestałych wielomianów o współczynnikach w F .

, że wielomian ze współczynnikami całkowitymi lub, bardziej ogólnie, ze współczynnikami w unikalnej dziedzinie faktoryzacji R , jest nieredukowalny (lub nieredukowalny nad R ), jeśli jest nieredukowalnym elementem pierścienia wielomianu , to znaczy nie jest odwracalny , nie zero i nie można go rozłożyć na iloczyn dwóch nieodwracalnych wielomianów o współczynnikach w R . Ta definicja uogólnia definicję podaną dla przypadku współczynników w polu, ponieważ w polu niestałe wielomiany są dokładnie tymi wielomianami, które są nieodwracalne i niezerowe.

mówiąca , że ​​wielomian jest nierozkładalny nad R , jeśli jest nierozkładalny nad ciałem ułamków R (ciałem liczb wymiernych , jeśli R jest liczbami całkowitymi). Ta druga definicja nie jest używana w tym artykule.

Proste przykłady

Poniższe sześć wielomianów przedstawia niektóre elementarne właściwości wielomianów redukowalnych i nieredukowalnych:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} p_ {1} (x) & = x ^ {2} + 4x + 4 \ = {(x + 2) ^ {2}} \\ p_ {2} (x) &=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\lewo(3x ^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4 }(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+ {\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}\end{wyrównane}}}$

Na liczbach całkowitych pierwsze trzy wielomiany są redukowalne (trzeci jest redukowalny, ponieważ czynnik 3 nie jest odwracalny w liczbach całkowitych); dwa ostatnie są nieredukowalne. (Czwarty oczywiście nie jest wielomianem nad liczbami całkowitymi).

W liczbach wymiernych pierwsze dwa i czwarty wielomian są redukowalne, ale pozostałe trzy wielomiany są nieredukowalne (jako wielomian nad liczbami wymiernymi 3 jest jednostką , a zatem nie liczy się jako czynnik).

Na $redukowalnych$ rzeczywistych pierwszych pięć wielomianów jest jest

W liczbach zespolonych wszystkie sześć wielomianów jest redukowalnych.

Nad liczbami zespolonymi

W złożonym ciele , a bardziej ogólnie w algebraicznie zamkniętym ciele , wielomian jednowymiarowy jest nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego stopień wynosi jeden. Fakt ten jest znany jako fundamentalne twierdzenie algebry w przypadku liczb zespolonych i ogólnie jako warunek domknięcia algebraicznego.

Wynika z tego, że każdy niestały wielomian jednowymiarowy można rozłożyć na czynniki jako

${\ Displaystyle a \ lewo (xz_ {1} \ prawo) \ cdots \ lewo (xz_ {n} \ prawo)}$

gdzie ${\ displaystyle n}$$to$ stopień, to wiodący współczynnik i to zera ${n}}$ z_ wielomian (niekoniecznie odrębny i niekoniecznie mający wyraźne wyrażenia algebraiczne ).

Istnieją nieredukowalne wielomiany wielowymiarowe każdego stopnia na liczbach zespolonych. Na przykład wielomian

${\ Displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} -1,}$

która definiuje krzywą Fermata , jest nieredukowalna dla każdego dodatniego n .

Ponad realami

W polu liczb rzeczywistych stopień nieredukowalnego wielomianu jednowymiarowego wynosi jeden lub dwa . Dokładniej, wielomiany nieredukowalne $4$${\ displaystyle b ^ {2} -4ac.}$ , ujemny wyróżnik Wynika z tego, że każdy niestały wielomian jednowymiarowy można rozłożyć na czynniki jako iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego. Na przykład czynniki liczb rzeczywistych jako ${\ Displaystyle \ lewo (x x 4 + 1} {\ Displaystyle x$$+$ i nie można tego dalej rozłożyć na czynniki, ponieważ oba czynniki mają ujemny wyróżnik: ${\ Displaystyle \ lewo (\ pm {\ sqrt {2}} \ prawej) ^ {2} -4=-2<0.}$

Unikalna właściwość faktoryzacji

Główny artykuł: Unikalna domena faktoryzacji

Każdy wielomian nad ciałem F można rozłożyć na iloczyn niezerowej stałej i skończonej liczby nierozkładalnych (nad F ) wielomianów. Ten rozkład jest unikalny aż do rzędu czynników i pomnożenia czynników przez niezerowe stałe, których iloczyn wynosi 1.

W unikalnej dziedzinie faktoryzacji to samo twierdzenie jest prawdziwe, ale jest dokładniej sformułowane przy użyciu pojęcia pierwotnego wielomianu. Prymitywny wielomian jest wielomianem w unikalnej dziedzinie faktoryzacji, tak że 1 jest największym wspólnym dzielnikiem jego współczynników.

Niech F będzie unikalną dziedziną faktoryzacji. Niestały nieredukowalny wielomian nad F jest prymitywny. Prymitywny wielomian na F jest nierozkładalny na F wtedy i tylko wtedy , gdy jest nierozkładalny na ciele ułamków F . Każdy wielomian nad F można rozłożyć na iloczyn niezerowej stałej i skończonej liczby niestałych nieredukowalnych prymitywnych wielomianów. Niezerową stałą można rozłożyć na iloczyn jednostki F i skończoną liczbę nieredukowalnych elementów F . Oba rozkłady na czynniki są unikalne aż do rzędu czynników i pomnożenia czynników przez jednostkę F .

To jest to twierdzenie, które motywuje, że definicja nieredukowalnego wielomianu w unikalnej dziedzinie faktoryzacji często zakłada, że ​​​​wielomian nie jest stały.

Wszystkie algorytmy , które są obecnie implementowane do rozkładania wielomianów na czynniki po liczbach całkowitych i po liczbach wymiernych, wykorzystują ten wynik (patrz Faktoryzacja wielomianów ).

Nad liczbami całkowitymi i polami skończonymi

$z$ wielomianu na liczbach całkowitych $nieredukowalnością$$związana$ elementów ( dla pierwsza ${\ displaystyle p}$ ). $jest$ szczególności, jeśli wielomian jednowymiarowy f nad nieredukowalny przez jakąś liczbę pierwszą, fa $\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p$$}$ który nie dzieli wiodącego współczynnika f (współczynnik najwyższej potęgi zmiennej), to f jest nieredukowalny nad (to znaczy nie jest iloczynem ${\ displaystyle \ mathbb {\ mathbb {Q}}}$ dwa niestałe wielomiany o współczynnikach całkowitych). $Kryterium$ Eisensteina jest wariantem tej właściwości, w którym nieredukowalność nad.

Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa: istnieją wielomiany o dowolnie dużym stopniu, które są nierozkładalne na liczbach całkowitych i redukowalne na każdym skończonym polu. Prostym przykładem takiego wielomianu jest ${\ Displaystyle x ^ {4} + 1.}$

Zależność między nieredukowalnością na liczbach całkowitych a nieredukowalnością modulo p jest głębsza niż poprzedni wynik: do tej pory wszystkie zaimplementowane algorytmy rozkładu na czynniki i nieredukowalności na liczbach całkowitych i liczbach wymiernych wykorzystują faktoryzację na polach skończonych jako podprogram .

Liczba nierozkładalnych wielomianów monicznych stopnia n nad polem dla $}}$ potęgi pierwszej jest dana przez fa q

${\ Displaystyle N (q, n) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {d \ mid n} \mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

gdzie μ jest funkcją Möbiusa . Dla q = 2 takie wielomiany są powszechnie używane do generowania pseudolosowych ciągów binarnych .

W pewnym sensie prawie wszystkie wielomiany o współczynnikach zero lub jeden są nierozkładalne na liczbach całkowitych. Dokładniej, jeśli przyjmie się wersję hipotezy Riemanna dla funkcji zeta Dedekinda , prawdopodobieństwo bycia nieredukowalnym na liczbach całkowitych dla wielomianu o losowych współczynnikach w {0, 1} dąży do jedności, gdy stopień wzrasta.

Algorytmy

Główny artykuł: Faktoryzacja wielomianów

Unikalna właściwość faktoryzacji wielomianów nie oznacza, że ​​faktoryzację danego wielomianu można zawsze obliczyć. Nawet nieredukowalność wielomianu nie zawsze może zostać udowodniona za pomocą obliczeń: istnieją pola, w których nie algorytm decydujący o nieredukowalności dowolnych wielomianów.

Algorytmy rozkładania wielomianów na czynniki i decydowania o nieredukowalności są znane i implementowane w systemach algebry komputerowej dla wielomianów nad liczbami całkowitymi, liczb wymiernych, ciał skończonych i skończenie generowanych rozszerzeń pól tych ciał. Wszystkie te algorytmy wykorzystują algorytmy rozkładu na czynniki wielomianów na polach skończonych .

Rozszerzenie pola

Główny artykuł: rozszerzenie algebraiczne

Pojęcia nierozkładalnego wielomianu i algebraicznego rozszerzenia pola są ze sobą silnie powiązane w następujący sposób.

Niech x będzie elementem rozszerzenia L pola K . O tym elemencie mówi się, że jest algebraiczny , jeśli jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach w K . Wśród wielomianów, których pierwiastkiem jest x , jest dokładnie jeden wielomian moniczny i minimalnego stopnia, zwany wielomianem minimalnym x . Minimalny wielomian elementu algebraicznego x z L jest nierozkładalny i jest unikalnym monicznym nierozkładalnym wielomianem, którego x jest pierwiastkiem. Minimalny wielomian x dzieli każdy wielomian, którego pierwiastkiem jest x (jest to twierdzenie Abela o nieredukowalności ).

$L = K [X]/P (X)}$ jeśli $X$ wielomianem $polem$ K , będzie ilorazem pierścienia wielomianu przez ideał generowany przez P. ${\ Displaystyle K [X]}$ . Wtedy L jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy P jest nieredukowalne nad K . W tym przypadku, jeśli x jest obrazem X w L , minimalny wielomian x jest ilorazem P przez jego wiodący współczynnik .

Przykładem powyższego jest standardowa definicja liczb zespolonych jako ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [X] \;/\ lewo (X ^ {2} + 1 \ prawo).}$

Jeśli wielomian P ma nieredukowalny czynnik Q nad K , który ma stopień większy niż jeden, można zastosować do Q poprzednią konstrukcję rozszerzenia algebraicznego, aby otrzymać rozszerzenie, w którym P ma co najmniej jeden pierwiastek więcej niż w K . Powtarzając tę ​​​​konstrukcję, ostatecznie otrzymuje się pole, w którym P rozkłada się na czynniki liniowe. To pole, unikalne aż do izomorfizmu pola , nazywane jest polem rozdzielającym P.

Nad integralną domeną

Jeśli R jest dziedziną całkową , element f z R , który nie jest ani zerem, ani jednostką, nazywamy nieredukowalnym, jeśli nie ma niejednostek g i h przy f = gh . Można pokazać, że każdy element pierwszy jest nieredukowalny; odwrotność nie jest generalnie prawdziwa, ale zachodzi w unikalnych domenach faktoryzacji . Pierścień wielomianowy F [ x ] nad ciałem F (lub dowolna domena faktoryzacji unikatowej) jest znowu unikalną domeną faktoryzacji. Indukcyjnie oznacza to, że pierścień wielomianowy w n nieokreślonych (nad pierścieniem R ) jest unikalną dziedziną faktoryzacji, jeśli to samo dotyczy R .

Zobacz też

• Lemat Gaussa (wielomian)
• Twierdzenie o pierwiastku racjonalnym , metoda znajdowania, czy wielomian ma czynnik liniowy z wymiernymi współczynnikami
• Kryterium Eisensteina
• Kryterium nieredukowalności Perrona
• Twierdzenie Hilberta o nieredukowalności
• Kryterium nieredukowalności Cohna
• Nieredukowalna składowa przestrzeni topologicznej
• Faktoryzacja wielomianów na ciałach skończonych
• Funkcja kwarcowa § Kwartyki redukowalne
• Funkcja sześcienna § Faktoryzacja
• Casus Ireducibilis , nieredukowalny sześcienny z trzema prawdziwymi pierwiastkami
• Równanie kwadratowe § Rozkład na czynniki kwadratowe

Notatki

•    Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 . Ta klasyczna książka obejmuje większość treści tego artykułu.
•   Gallian, Joseph (2012), Współczesna algebra abstrakcyjna (wyd. 8), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
•   Lidla, Rudolfa; Niederreiter, Harald (1997), Pola skończone (wyd. 2), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0 , s. 91 .
•   MacLane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (wyd. 3), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 9780821816462
•   Menezes, Alfred J .; Van Oorschot, Paul C .; Vanstone, Scott A. (1997), Podręcznik kryptografii stosowanej , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0 , s. 154 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Nieredukowalny wielomian” . MathWorld .
• Nieredukowalny wielomian w PlanetMath .
• Informacje o pierwotnych i nieredukowalnych wielomianach , (kombinatoryczny) serwer obiektów .