Pierścień wielomianowy

W matematyce , zwłaszcza w dziedzinie algebry , pierścień wielomianowy lub algebra wielomianowa to pierścień ( który jest również algebrą przemienną ) utworzony ze zbioru wielomianów w jednym lub więcej nieokreślonych (tradycyjnie zwanych także zmiennymi ) ze współczynnikami w innym pierścieniu , często pole .

Często termin „pierścień wielomianowy” odnosi się pośrednio do szczególnego przypadku pierścienia wielomianowego w jednym nieokreślonym polu. Znaczenie takich pierścieni wielomianowych polega na dużej liczbie właściwości, które mają one wspólne z pierścieniem liczb całkowitych .

Pierścienie wielomianowe występują i często mają fundamentalne znaczenie w wielu dziedzinach matematyki, takich jak teoria liczb , algebra przemienna i geometria algebraiczna . W teorii pierścieni wprowadzono wiele klas pierścieni, takich jak unikalne dziedziny faktoryzacji , pierścienie regularne , pierścienie grupowe , pierścienie formalnych szeregów potęgowych , wielomiany rudy , pierścienie stopniowane , w celu uogólnienia niektórych właściwości pierścieni wielomianowych.

Ściśle powiązanym pojęciem jest pojęcie pierścienia funkcji wielomianowych w przestrzeni wektorowej , a bardziej ogólnie, pierścienia funkcji regularnych w rozmaitości algebraicznej .

Definicja (przypadek jednowymiarowy)

Pierścień wielomianowy $K [X]$ w $X$ nad polem ( lub ogólniej pierścieniem przemiennym ) $K$ można zdefiniować na kilka równoważnych sposobów. Jednym z nich jest zdefiniowanie $K [X]$ jako zbioru wyrażeń, zwanych wielomianami w $X$ , o postaci

{\ Displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}

$p$ gdzie $0 p, p 1, \dots, pm m$ , współczynniki p , są elementami $K$ , $pm \neq \neq 0$ if $m > 0$ , and $X, X 2, \dots,$ are symbols, which are considered as "powers" of $X$ , and follow the usual rules of exponentiation: $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ i ${\ Displaystyle X ^ {k} \, X ^ {l} = X ^ {k + l}}$ dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych $k$ i $l$ . Symbol $X$ nazywany jest nieokreślonym lub zmiennym. (Termin „zmienna” pochodzi z terminologii funkcji wielomianowych . Jednak tutaj $X$ nie ma żadnej wartości (innej niż on sam) i nie może się zmieniać, będąc stałą w pierścieniu wielomianu).

Dwa wielomiany są równe, gdy odpowiednie współczynniki każdego $X k$ są równe.

Można myśleć o pierścieniu $K [X]$ jako powstającym z $K$ przez dodanie jednego nowego elementu $X$ , który jest zewnętrzny względem $K$ , komutuje ze wszystkimi elementami $K$ i nie ma innych specyficznych właściwości. Można to wykorzystać do równoważnej definicji pierścieni wielomianowych.

Pierścień wielomianowy w $X$ nad $K$ jest wyposażony w dodawanie, mnożenie i mnożenie przez skalar , co czyni go algebrą przemienną . Operacje te są definiowane zgodnie ze zwykłymi regułami manipulowania wyrażeniami algebraicznymi. Konkretnie, jeśli

{\ Displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m}X^{m},}

I

{\ Displaystyle q = q_ {0} + q_ {1} X + q_ {2} X ^ {2} + \ cdots + q_ {n}X^{n},}

Następnie

{\ Displaystyle p + q = r_ {0} + r_ {1} X + r_ {2} X ^ {2} + \cdots +r_{k}X^{k},}

I

{\ Displaystyle pq = s_ {0} + s_ {1} X + s_ {2} X ^ {2} + \ cdots + s_{l}X^{l},}

gdzie $k = max(m, n), l = m + n$ ,

{\ Displaystyle r_ {i} = p_ {i} + q_ {i}}

I

{\ Displaystyle s_ {i} = p_ {0} q_ {i} + p_ {1} q_ {i-1} + \ cdots + p_ {i} q_ {0}.}

W tych wzorach wielomiany $p$ i $q$ $q są$ rozszerzane przez dodanie „wyrazów fikcyjnych” o zerowych współczynnikach, tak że wszystkie $pi i$ i pojawiające się we wzorach są zdefiniowane. W szczególności, jeśli $m < n$ , to $p i = 0$ dla $m < i \leq n$ .

Mnożenie przez skalar jest szczególnym przypadkiem mnożenia, w którym $p = p 0$ jest zredukowane do jego stałego składnika (członu niezależnego od $X$ ); to jest

{\ Displaystyle p_ {0} \ lewo (q_ {0} + q_{1}X+\kropki +q_{n}X^{n}\prawo)=p_{0}q_{0}+\lewo(p_{0}q_{1}\prawo)X+\cdots +\lewo (p_{0}q_{n}\prawo)X^{n}}

Łatwo sprawdzić, czy te trzy operacje spełniają aksjomaty algebry przemiennej nad $K$ . Dlatego pierścienie wielomianowe są również nazywane algebrami wielomianowymi .

Często preferowana jest inna równoważna definicja, choć mniej intuicyjna, ponieważ łatwiejsza do uczynienia jej całkowicie rygorystyczną, która polega na zdefiniowaniu wielomianu jako nieskończonego ciągu ( $0 p, p 1, p 2, \dots)$ elementów $K$ , mającego właściwość że tylko skończona liczba elementów jest różna od zera, lub równoważnie, sekwencja, dla której istnieje trochę $m$ , tak że p _n = 0 dla $n > m$ . W tym przypadku $str 0$ i $X$ są uważane za alternatywne oznaczenia sekwencji $0 (p, 0, 0, \dots)$ i $(0, 1, 0, 0, \dots)$ odpowiednio. Proste użycie reguł operacji pokazuje, że wyrażenie

{\ Displaystyle p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^ {2} + \ cdots + p_ {m} X ^ {M}}

jest wtedy alternatywnym zapisem sekwencji

0 (p, p 1, p 2, \dots, pm m, 0, 0, \dots)

.

Terminologia

Pozwalać

{\ Displaystyle p = p_ {0} + p_ {1} X + p_ {2} X ^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},}

być niezerowym wielomianem z ${\ Displaystyle p_ {m} \ neq 0}$

Stałym wyrazem p jest ${\ displaystyle p_ {0}.}$ $_$ W przypadku wielomianu zerowego wynosi zero.

Stopień p , zapisany $deg () jest$ $p$ największym $takim$ $,$ że współczynnik $X k$ nie wynosi zero

Wiodącym współczynnikiem p jest ${\ displaystyle p_ {m}.}$ $_$

W szczególnym przypadku wielomianu zerowego, którego wszystkie współczynniki są zerowe, współczynnik wiodący jest nieokreślony, a stopień został różnie pozostawiony niezdefiniowany, zdefiniowany jako −1 $lub$ zdefiniowany jako $-\infty$ .

Stały wielomian jest albo wielomianem zerowym, albo wielomianem stopnia zerowego.

Niezerowy wielomian jest moniczny , jeśli jego wiodący współczynnik wynosi ${\ Displaystyle 1.}$

Biorąc pod uwagę dwa wielomiany $p$ i $q$ , jeden ma

{\ Displaystyle \ stopień (p + q) \ równoważnik \ max (\ stopień (p), \ stopień (q)) ,}

i nad polem , lub bardziej ogólnie w domenie integralnej ,

{\ Displaystyle \ stopień (pq) = \ stopień (p) + \ stopień (q).}

Wynika z tego natychmiast, że jeśli $K$ jest domeną integralną, to jest nią również $K [X]$ .

Wynika z tego również, że jeśli $K$ jest dziedziną całkową, wielomian jest jednostką (to znaczy ma multiplikatywną odwrotność ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest stały i jest jednostką w $K$ .

Dwa wielomiany są powiązane , jeśli jeden z nich jest iloczynem drugiego przez jednostkę.

W polu każdy niezerowy wielomian jest powiązany z unikalnym wielomianem monicznym.

$q = pod$ uwagę dwa wielomiany $p$ i $q$ , mówi się, że $p$ dzieli $q$ , $p$ jest dzielnikiem q lub $q$ jest wielokrotnością $p$ , jeśli istnieje wielomian $r$ taki, że $pr$ .

Wielomian jest nierozkładalny, jeśli nie jest iloczynem dwóch niestałych wielomianów lub równoważnie, jeśli jego dzielniki są albo stałymi wielomianami, albo mają ten sam stopień.

Ocena wielomianowa

Niech $K$ będzie ciałem lub bardziej ogólnie pierścieniem przemiennym , a $R$ pierścieniem zawierającym $K$ . Dla dowolnego wielomianu $p$ w $K [X]$ i dowolnego elementu $a$ w $R$ , podstawienie $X$ przez $a$ w $p$ definiuje element $R$ , który jest oznaczony jako $P (a)$ . Element ten uzyskuje się przez prowadzenie w $R$ po podstawieniu operacje wskazane przez wyrażenie wielomianu. To $obliczenie$ nazywa się oceną P w $a$ . Na przykład, jeśli mamy

{\ Displaystyle P = X ^ {2} -1,}

mamy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (3) i =3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\lewo(X^{2}+1\prawo)^{2}-1=X^{4} +2X^{2}\end{wyrównane}}}

(w pierwszym przykładzie $R = K$ , aw drugim $R = K [X]$ ). Podstawienie $X$ zamiast siebie skutkuje

{\ Displaystyle P = P (X)}

wyjaśniając, dlaczego zdania „Niech $P$ będzie wielomianem” i „Niech $P (X)$ będzie wielomianem” są równoważne.

$0$ Funkcja wielomianu zdefiniowana przez wielomian $P$ jest funkcją z $K$ do $K$ , która jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle x \ mapsto P (x).}$ Jeśli $K$ jest polem nieskończonym, dwa różne wielomiany definiują różne funkcje wielomianu, ale ta właściwość jest fałszywa dla pól skończonych. Na przykład, jeśli $K$ jest polem z elementami $q$ , to wielomiany i $X q - X$ oba definiują funkcję zerową.

Dla każdego $a$ w $R$ ocena w $a , to$ ${\ Displaystyle P \ mapsto P (a)}$ mapa definiuje homomorfizm algebry od $K [X]$ do $R$ , który jest unikalnym homomorfizmem od $K [X]$ do $R$ , który naprawia $K$ i odwzorowuje $X$ na $a$ . Innymi słowy $k [X]$ ma następującą uniwersalną właściwość :

Dla każdego pierścienia $R$ zawierającego $K$ i każdego elementu $a$ z $R$ istnieje unikalny homomorfizm algebry od

K [X]

do $R ,$ który ustala $K$ i odwzorowuje $X$ na $a$ .

Obraz mapy , czyli podzbiór $R$ otrzymany przez zastąpienie $X$ $P w a}$ elementach $K [X] ,$ jest oznaczony $) {\ Displaystyle P$ ( $\$ . Na przykład ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {2}}] = \ {P ({\ sqrt {2}}) \ środkowy P (x) \ w \ mathbb {Z} [X] \} = \ mathbb {Z} \ kubek ({\ sqrt {2}} \ mathbb {Z})}, gdzie 2$ Z $Displaystyle { \sqrt {2}}\mathbb {Z} =\{{\sqrt {2}}z\mid z\in \mathbb {Z} \}}$ .

Jeśli chodzi o wszystkie właściwości uniwersalne, definiuje to parę $(K [X], X)$ aż do unikalnego izomorfizmu i dlatego można ją traktować jako definicję $K [X]$ .

Jednowymiarowe wielomiany nad ciałem

Jeśli $K$ jest ciałem , wielomianowy pierścień $K [X]$ ma wiele właściwości podobnych do pierścienia liczb ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}.}$ Większość z tych podobieństw wynika z podobieństwa między długim dzieleniem liczb całkowitych a długim dzieleniem wielomianów .

Większość właściwości $K [X]$ wymienionych w tej sekcji nie pozostaje prawdziwa, jeśli $K$ nie jest ciałem lub jeśli rozważa się wielomiany w kilku nieokreślonych.

Podobnie jak w przypadku liczb całkowitych, euklidesowy podział wielomianów ma właściwość niepowtarzalności. Oznacza to, że mając dwa wielomiany $a$ i $b \neq 0$ w $K [X]$ , istnieje unikalna para $(q, r)$ wielomianów taka, że $a = bq + r$ i albo $r = 0 ,$ albo $deg(r) < deg (b)$ . To sprawia, że $K [X]$ domena euklidesowa . Jednak większość innych dziedzin euklidesowych (z wyjątkiem liczb całkowitych) nie ma żadnej właściwości unikalności podziału ani łatwego algorytmu (takiego jak dzielenie długie) do obliczania podziału euklidesowego.

Podział euklidesowy jest podstawą algorytmu euklidesowego dla wielomianów , który oblicza wielomian największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów. Tutaj „największy” oznacza „mający maksymalny stopień” lub, równoważnie, maksymalny dla preorderu określonego przez stopień. Mając największy wspólny dzielnik dwóch wielomianów, pozostałe największe wspólne dzielniki uzyskuje się przez pomnożenie przez stałą różną od zera (to znaczy wszystkie największe wspólne dzielniki $a$ i $b$ są związane). W szczególności dwa wielomiany, które nie są zerami, mają unikalny największy wspólny dzielnik, który jest moniczny (wiodący współczynnik równy 1 ).

Rozszerzony algorytm Euklidesa umożliwia obliczenie (i udowodnienie) tożsamości Bézouta . W przypadku $K [X]$ można to zapisać następująco. Mając dane dwa wielomiany $p$ i $q$ odpowiednich stopni $m$ i $n$ , jeśli ich największy wspólny dzielnik moniczny $g$ ma stopień $d$ , to istnieje niepowtarzalna para $(a, b)$ wielomianów taka, że

{\ Displaystyle ap + bq = g,}

I

{\ Displaystyle \ stopień (a) \ równoważnik nd, \ quad \ stopień (b) <md.}

(Aby uczynić to prawdą w granicznym przypadku, w którym $m = d$ lub $n = re$ , należy zdefiniować jako ujemny stopień wielomianu zerowego. Ponadto równość ${\ displaystyle \ deg ( a)=nd}$ może wystąpić tylko wtedy, gdy $p$ i $q$ są powiązane.) Właściwość unikalności jest raczej specyficzna dla $K [X]$ . W przypadku liczb całkowitych ta sama właściwość jest prawdziwa, jeśli stopnie zostaną zastąpione wartościami bezwzględnymi, ale aby mieć niepowtarzalność, trzeba wymagać $a > 0$ .

Lemat Euklidesa stosuje się do $K [X]$ . To znaczy, jeśli $a$ dzieli $bc$ i jest względnie pierwsze z $b$ , to $a$ dzieli $c$ . Tutaj względnie pierwsza oznacza, że największym wspólnym dzielnikiem monicznym jest 1 . Dowód: Na podstawie hipotezy i tożsamości Bézouta istnieją $e$ , $p$ i $q$ takie, że $ae = bc$ i $1 = ap + bq$ . Więc ${\ Displaystyle c = c (ap + bq) = cap + aeq = a (cp + eq).}$

Unikalna właściwość faktoryzacji wynika z lematu Euklidesa. W przypadku liczb całkowitych jest to podstawowe twierdzenie arytmetyki . W przypadku $K [X]$ można to zapisać następująco: każdy niestały wielomian można wyrazić w unikalny sposób jako iloczyn stałej i jednego lub kilku nierozkładalnych wielomianów monicznych; ten rozkład jest unikalny aż do rzędu czynników. Innymi słowy $K [X]$ jest unikalną dziedziną faktoryzacji . jeśli $K$ jest polem liczb zespolonych, podstawowe twierdzenie algebry głosi, że wielomian jednowymiarowy jest nieredukowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego stopień wynosi jeden. W tym przypadku unikalną właściwość faktoryzacji można przekształcić w następujący sposób: każdy niestały wielomian jednowymiarowy nad liczbami zespolonymi można wyrazić w unikalny sposób jako iloczyn stałej i jednego lub kilku wielomianów postaci $X - r$ ; ten rozkład jest unikalny aż do rzędu czynników. Dla każdego czynnika $r$ jest pierwiastkiem wielomianu, a liczba wystąpień czynnika jest krotnością odpowiedniego pierwiastka.

Pochodzenie

(Formalna) pochodna wielomianu

{\ Displaystyle a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots + a_ {n} X ^ {N}}

jest wielomianem

{\ Displaystyle a_ {1} + 2a_ {2} X + \ cdots + na_ {n} X ^ {n-1}.}

W przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych jest to pochodna standardowa . Powyższy wzór określa pochodną wielomianu nawet wtedy, gdy współczynniki należą do pierścienia, na którym nie zdefiniowano pojęcia granicy . Pochodna czyni z pierścienia wielomianu algebrę różniczkową .

Istnienie pochodnej jest jedną z głównych właściwości pierścienia wielomianowego, która nie jest wspólna z liczbami całkowitymi i ułatwia niektóre obliczenia na pierścieniu wielomianowym niż na liczbach całkowitych.

Faktoryzacja bezkwadratowa

Interpolacja Lagrange'a

Dekompozycja wielomianowa

Faktoryzacja

Z wyjątkiem rozkładu na czynniki, wszystkie poprzednie własności $K [X]$ są efektywne , ponieważ ich dowody, jak naszkicowano powyżej, są powiązane z algorytmami testowania własności i obliczania wielomianów, których istnienie jest stwierdzone. Ponadto algorytmy te są wydajne, ponieważ ich złożoność obliczeniowa jest funkcją kwadratową wielkości danych wejściowych.

Sytuacja wygląda zupełnie inaczej w przypadku faktoryzacji: dowód jednoznacznej faktoryzacji nie daje żadnej wskazówki co do metody rozkładu na czynniki. Już w przypadku liczb całkowitych nie ma znanego algorytmu działającego na klasycznym komputerze do rozkładania ich na czynniki w czasie wielomianowym . Jest to podstawa kryptosystemu RSA , szeroko stosowanego do bezpiecznej komunikacji internetowej.

W przypadku $K [X]$ czynniki i metody ich obliczania silnie zależą od $K$ . W liczbach zespolonych czynniki nieredukowalne (te, których nie można dalej rozłożyć na czynniki) są wszystkie stopnia pierwszego, podczas gdy w liczbach rzeczywistych istnieją nieredukowalne wielomiany stopnia 2, a nad liczbami wymiernymi istnieją nieredukowalne wielomiany dowolnego stopień. Na przykład wielomian jest nierozkładalny na liczbach wymiernych, jest rozłożony jako $^ {4} -2}$ ${\ Displaystyle (X - {\ sqrt [{4}] {2}}) (X + {\ sqrt [{4}] {2}}) (X^{2}+{\sqrt {2}})}$ nad liczbami rzeczywistymi i, i jako ${\ Displaystyle (X- {\ sqrt [{4}] {2}}) (X + {\ sqrt [{4}] {2}}) (Xi {\ sqrt [{4}] {2}}) ( X+i{\sqrt[{4}]{2}})}$ nad liczbami zespolonymi.

Istnienie algorytmu faktoryzacji zależy również od pola podstawowego. W przypadku liczb rzeczywistych lub zespolonych twierdzenie Abela-Ruffiniego pokazuje, że pierwiastków niektórych wielomianów, a tym samym czynników nieredukowalnych, nie można dokładnie obliczyć. Dlatego algorytm faktoryzacji może obliczać tylko przybliżenia czynników. Zaprojektowano różne algorytmy do obliczania takich przybliżeń, patrz Znajdowanie pierwiastków wielomianów .

Istnieje przykład pola $K$ takiego, że istnieją dokładne algorytmy dla operacji arytmetycznych $K$ , ale nie może istnieć żaden algorytm decydujący, czy wielomian postaci ${\ displaystyle X ^ {p} -a}$ jest nierozkładalny lub jest iloczynem wielomianów niższego stopnia.

Z drugiej strony, w przypadku liczb wymiernych i ciał skończonych sytuacja jest lepsza niż w przypadku faktoryzacji liczb całkowitych , ponieważ istnieją algorytmy faktoryzacji , które mają złożoność wielomianową . Są one implementowane w większości systemów algebry komputerowej ogólnego przeznaczenia .

Minimalny wielomian

Jeśli $θ$ jest elementem asocjacyjnej K $-$ algebry $L$ , ocena wielomianu w $θ$ jest unikalnym homomorfizmem algebry $φ$ z $K [X]$ do $L$ , który odwzorowuje $X$ na $θ$ i nie wpływa na elementy samego $K$ (jest to tożsamość mapa na $K$ ). Polega na zastąpieniu $X$ przez $θ$ w każdym wielomianie. To jest,

{\ Displaystyle \ varphi \ lewo (a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \ prawo) = a_ {m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.}

Obrazem tego homomorfizmu oceny jest podalgebra generowana przez $x$ , która z konieczności jest przemienna. Jeśli $φ$ jest iniekcyjne, podalgebra generowana przez $θ$ jest izomorficzna z $K [X]$ . W tym przypadku ta podalgebra jest często oznaczana przez $K [θ]$ . Niejednoznaczność notacji jest generalnie nieszkodliwa ze względu na izomorfizm.

Jeśli homomorfizm oceny nie jest iniekcyjny, oznacza to, że jego jądro jest niezerowym ideałem , składającym się ze wszystkich wielomianów, które stają się zerem, gdy $X$ jest podstawione przez $θ$ . Ideał ten składa się ze wszystkich wielokrotności pewnego wielomianu monicznego, zwanego wielomianem minimalnym $x$ . Termin minimalny jest motywowany faktem, że jego stopień jest minimalny wśród stopni elementów ideału.

Istnieją dwa główne przypadki, w których rozważane są minimalne wielomiany.

W teorii pola i teorii liczb element $θ$ pola rozszerzenia $L$ z $K$ jest algebraiczny nad $K$ , jeśli jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu o współczynnikach w $K.$ Minimalny wielomian nad $K$ z $θ$ jest zatem wielomianem monicznym minimalnego stopnia, którego pierwiastkiem jest $θ .$ Ponieważ $L$ jest ciałem, ten minimalny wielomian jest z konieczności nieredukowalny $K.$ _ Na przykład minimalny wielomian (na liczbach rzeczywistych i wymiernych) liczby zespolonej i $to$ X $\ Displaystyle X ^ {2} + 1}$ . Wielomiany cyklotomiczne to wielomiany minimalne pierwiastków jedności .

W algebrze liniowej kwadratowe macierze n $\times n nad$ K $tworzą$ asocjacyjną K $-$ algebrę o skończonym wymiarze (jako przestrzeń wektorowa). Dlatego homomorfizm oceny nie może być iniekcyjny, a każda macierz ma minimalny wielomian (niekoniecznie nieredukowalny). Zgodnie z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona homomorfizm oceny odwzorowuje wielomian charakterystyczny na zero macierzy. Wynika z tego, że minimalny wielomian dzieli wielomian charakterystyczny, a zatem stopień minimalnego wielomianu wynosi co najwyżej $n$ .

Pierścień ilorazowy

W przypadku $K [X]$ pierścień ilorazowy przez ideał można zbudować, podobnie jak w przypadku ogólnym, jako zbiór klas równoważności . Ponieważ jednak każda klasa równoważności zawiera dokładnie jeden wielomian minimalnego stopnia, często wygodniejsza jest inna konstrukcja.

Mając wielomian $p$ stopnia $d$ , pierścień ilorazowy K $jako [X]$ przez ideał generowany przez $p$ można utożsamiać z przestrzenią wektorową wielomianów stopni mniejszych niż $d$ , z „mnożeniem modulo $p ”$ mnożeniem, mnożenie modulo $p$ składające się z reszty z dzielenia przez $p$ (zwykłego) iloczynu wielomianów. Ten pierścień ilorazowy jest różnie oznaczany jako ${\ Displaystyle K [X] / pK [X],}$ ${\ Displaystyle K [X] / \ langle p \ rangle,}$ ${\ Displaystyle K [X] / (p)}$ lub po prostu ${\ Displaystyle K [X] / s.}$

Pierścień $_$ wtedy wtedy gdy $p$ . W rzeczywistości, jeśli $p$ jest nierozkładalne, każdy niezerowy wielomian $q$ niższego stopnia jest względnie pierwszy z $p$ , a tożsamość Bézouta pozwala obliczyć $r$ i $s$ takie, że $sp + qr = 1$ ; więc $r$ jest multiplikatywna odwrotność $q$ modulo $p$ . I odwrotnie, jeśli $p$ jest redukowalne, to istnieją wielomiany $a, b$ o stopniach mniejszych niż $deg(p)$ takie, że $ab = p$ ; więc $a, b$ są niezerowymi dzielnikami zera modulo $p$ i nie mogą być odwracalne.

Na przykład standardową definicję ciała liczb zespolonych można podsumować stwierdzeniem, że jest to pierścień ilorazowy

{\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [X] / (X ^ {2} + 1)}

$że$ obraz $X$ w jest oznaczony przez $i$ . W rzeczywistości, zgodnie $z powyższym opisem, iloraz ten$ składa się ze wszystkich wielomianów pierwszego stopnia w $i$ , które mają postać $a + bi$ , z $aib$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}.}$ Reszta z dzielenia euklidesowego potrzebna do pomnożenia dwóch elementów pierścienia ilorazu jest otrzymywana przez zastąpienie $i 2$ przez $-1$ w swoim produkcie jako wielomiany (jest to dokładnie zwykła definicja iloczynu liczb zespolonych).

Niech $θ$ będzie elementem algebraicznym w $K$ -algebrze $A$ . Przez algebraiczne rozumie się, że $θ$ ma minimalny wielomian $p$ . Twierdzenie o izomorfizmie pierwszego pierścienia głosi , $że p)}$ homomorfizm podstawienia indukuje izomorfizm na obrazie ${\ Displaystyle K [X] / ($ homomorfizmu podstawieniowego. W szczególności, jeśli $A$ jest prostym rozszerzeniem K wygenerowanym przez ${\ Displaystyle K [X] / (p).}$ $,$ pozwala to zidentyfikować $A$ i $($ Ta identyfikacja jest szeroko stosowana w algebraicznej teorii liczb .

Moduły

o strukturze dla skończenie generowanych modułów w dziedzinie głównego ideału ma zastosowanie do K [ X ], gdy K jest polem. Oznacza to, że każdy skończenie wygenerowany moduł nad K [ X ] można rozłożyć na bezpośrednią sumę wolnego modułu i skończenie wielu modułów postaci ${\ Displaystyle K [X] / \ lewo \ langle P^{k}\right\rangle }$ , gdzie P jest nieredukowalnym wielomianem nad K , a k jest dodatnią liczbą całkowitą.

Definicja (przypadek wielowymiarowy)

Biorąc pod uwagę $n$ symboli zwanych nieokreślonymi, jednomian ( zwany także iloczynem mocy) X $\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n}$ , }

{\ Displaystyle X_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} \ cdots X_ {n} ^ {\ alfa _ {n}}}

jest iloczynem formalnym tych nieokreśloności, prawdopodobnie podniesionym do nieujemnej potęgi. Jak zwykle wykładniki równe jeden i czynniki z wykładnikiem zerowym można pominąć. W szczególności ${\ Displaystyle X_ {1} ^ {0} \ cdots X_ {n} ^ {0} = 1.}$

Krotka wykładników $α = (α 1, \dots, α n)$ nazywana jest wielostopniowym lub wykładniczym wektorem jednomianu. Dla mniej kłopotliwej notacji, skrót

{\ Displaystyle X ^ {\ alfa} = X_ {1} ^ {\ alfa _ {1}} \ cdots X_ {n} ^ {\ alfa _ {n}} }

jest często używany. Stopień jednomianu $X α$ , często oznaczany jako $deg α$ lub $| α |$ , jest sumą jego wykładników:

{\ Displaystyle \ stopień \ alfa = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ alfa _ {i}.}

Wielomian w tych nieokreślonych, ze współczynnikami w polu lub bardziej ogólnie w pierścieniu , K $jest$ skończoną liniową kombinacją jednomianów

{\ Displaystyle p = \ suma _ {\ alfa} p _ {\ alfa} X ^ {\ alfa}}

ze współczynnikami w $K$ . Stopień niezerowego wielomianu to maksimum stopni jego jednomianów o niezerowych współczynnikach .

Zbiór wielomianów w ${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n},}$ oznaczony ${\ Displaystyle K [X_ {1 },\kropki ,X_{n}],}$ jest zatem przestrzenią wektorową (lub wolnym modułem , jeśli $K$ jest pierścieniem), której podstawą są jednomiany.

${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ kropki, X_ {n}]}$ jest naturalnie wyposażony (patrz poniżej) w mnożenie, które tworzy pierścień , i algebrę asocjacyjną nad $K$ , zwany pierścieniem wielomianowym w $n$ nieokreślonych nad $K$ (przedimek określony the odzwierciedla, że jest jednoznacznie zdefiniowany aż do nazwy i rzędu nieokreślonych. Jeśli pierścień $K$ jest przemienny jest $_$ _

Operacje w $K [X 1, ..., X n]$

Dodawanie i mnożenie przez skalar wielomianów to dodawanie i mnożenie wielomianów w przestrzeni wektorowej lub swobodnym module wyposażonym w określoną bazę (tutaj podstawę jednomianów). Wyraźnie niech ${\ Displaystyle p = \ suma _ {\ alfa \ w I} p _ {\ alfa} X ^ {\ alfa },\quad q=\sum _{\beta \in J}q_{\beta }X^{\beta },}$ gdzie $I$ i $J$ to skończone zbiory wektorów wykładniczych.

Mnożenie przez skalar $p$ i skalar ${\ Displaystyle c \ in K$ }

{\ Displaystyle cp = \ suma _ {\ alfa \ w I} cp_ {\ alfa} X ^ {\ alfa}.}

Dodanie $p$ i $q$ wynosi

{\ Displaystyle p + q = \ suma _ {\ alfa \ w I \ kubek J} (p _ {\ alfa} + q_ {\ alfa })X^{\alfa},}

gdzie ${\ Displaystyle p _ {\ alfa} = 0}$ jeśli ${\ Displaystyle \ alfa \ nie \ w ja,}$ i ${\ Displaystyle q_ {\ beta} = 0}$ jeśli ${\ Displaystyle \ beta \ nie \ w J.}$ Ponadto, jeśli ma się ${\ Displaystyle p _ {\ alfa} + q_ {\ alfa} = 0}$ dla pewnego ${\ displaystyle \ alpha \ in I \ cap J}$ odpowiedni składnik zerowy jest usuwany z wyniku.

Mnożenie jest

{\ Displaystyle pq = \ suma _ {\ gamma \ w I + J} \ lewo (\ suma _{\alpha ,\beta \mid \alpha +\beta =\gamma }p_{\alpha}q_{\beta}\right)X^{\gamma},}

gdzie $I$ zbiorem sum jednego wektora wykładnika w i drugiego w $zwykła$ wektorów) $.$ W szczególności iloczyn dwóch jednomianów jest jednomianem, którego wektor wykładniczy jest sumą wektorów wykładniczych czynników.

Weryfikacja aksjomatów algebry asocjacyjnej jest prosta.

Wyrażenie wielomianowe

Wyrażenie wielomianowe jest wyrażeniem zbudowanym ze skalarów (elementów $K$ ), nieokreślonych oraz operatorów dodawania, mnożenia i potęgowania do nieujemnych potęg całkowitych.

$wielomianowym$ w wielomian, ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ kropki, X_ {n}].}$ Definicja wielomianu jako liniowej kombinacji jednomianów jest szczególnym wyrażeniem wielomianowym, często nazywanym formą kanoniczną , postać normalna lub postać rozwinięta wielomianu. Mając wyrażenie wielomianowe, można obliczyć rozwiniętą postać reprezentowanego wielomianu, rozszerzając za pomocą prawa dystrybucji wszystkie iloczyny, które mają sumę wśród swoich czynników, a następnie używając przemienności (z wyjątkiem iloczynu dwóch skalarów) i asocjatywności do przekształcenia wyrazy otrzymanej sumy na iloczyny skalara i jednomianu; następnie otrzymuje się formę kanoniczną poprzez przegrupowanie podobnych terminów .

Rozróżnienie między wyrażeniem wielomianowym a wielomianem, które reprezentuje, jest stosunkowo nowe i motywowane głównie rozwojem algebry komputerowej , gdzie na przykład sprawdzenie, czy dwa wyrażenia wielomianowe reprezentują ten sam wielomian, może być obliczeniem nietrywialnym.

Charakterystyka kategoryczna

Jeśli $K$ jest pierścieniem przemiennym, to wielomianowy pierścień $K [X 1, \dots, X n]$ ma następującą uniwersalną własność : dla każdej przemiennej $K$ -algebry $A$ , i każdej $n$ - krotki $(x 1, \dots, x n)$ elementów A istnieje unikalny homomorfizm algebry z $[$ $}.}$ $K, X 1 \dots, X n]$ do $A$ , które odwzorowuje $każdy$ odpowiedni $homomorfizmem$ $homomorfizm$ jest oceny , który polega na podstawieniu w każdym wielomianie.

Jak w przypadku każdej właściwości uniwersalnej, charakteryzuje to parę ${\ Displaystyle (K [X_ {1}, \ kropki, X_{n}],(X_{1},\dots ,X_{n}))}$ aż do unikalnego izomorfizmu .

Można to również interpretować w kategoriach funktorów sprzężonych . Dokładniej, niech $SET$ i $ALG$ będą odpowiednio kategoriami zbiorów i przemiennymi $K$ -algebrami (tutaj i dalej morfizmy są trywialnie zdefiniowane). Istnieje zapominalski funktor $_$ Z drugiej strony mapa ${\ Displaystyle X \ mapsto K [X]}$ definiuje funktor ${\ Displaystyle \ operatorname {POL}: \ operatorname {SET} \ do \ operatorname {ALG} }$ w innym kierunku. (Jeśli $X$ jest nieskończony, $K [X]$ jest zbiorem wszystkich wielomianów w skończonej liczbie elementów $X$ .)

Uniwersalna własność pierścienia wielomianowego oznacza, że $F$ i $POL$ są funktorami sprzężonymi . Czyli istnieje bijekcja

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {\ operatorname {ZESTAW}} (X, \ nazwa operatora {F} (A)) \ cong \ nazwa operatora {Hom} _ {\ operatorname {ALG}} (K [X], A ).}

Można to wyrazić także stwierdzeniem, że pierścienie wielomianowe są swobodnymi algebrami przemiennymi , ponieważ są obiektami swobodnymi w kategorii algebr przemiennych. Podobnie, pierścień wielomianowy ze współczynnikami całkowitymi jest swobodnym pierścieniem przemiennym na swoim zbiorze zmiennych, ponieważ pierścienie przemienne i algebry przemienne na liczbach całkowitych to to samo.

Stopniowana struktura

Jednowymiarowe w pierścieniu a wielowymiarowe

Wielomian w $n$ wielomian $}}$ $X_$ nad pierścieniem ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n-1}]},$ przegrupowując terminy, które zawierają tę samą moc ${\ Displaystyle X_ {n},}$ to znaczy za pomocą tożsamości

{\ Displaystyle \ suma _ {(\ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}) \ w ja} c _ {\ alfa _ {1}, \ ldots, \ alfa _ {n}} X_ { 1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{i}\left(\sum _{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1})\mid (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},i)\in I}c_{\alpha _{1},\ldots , \alpha _{n-1}}X_{1}^{\alpha_{1}}\cdots X_{n-1}^{\alpha _{n-1}}\right)X_{n}^{ I},}

co wynika z rozdzielności i asocjatywności operacji na pierścieniach.

Oznacza to, że mamy izomorfizm algebry

{\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] \ cong ( K[X_{1},\ldots ,X_{n-1}])[X_{n}]}

który odwzorowuje każdy nieokreślony na siebie. (Ten izomorfizm jest często zapisywany jako równość, co jest uzasadnione faktem, że pierścienie wielomianowe są zdefiniowane aż do unikalnego izomorfizmu .)

Innymi słowy, wielowymiarowy pierścień wielomianowy można uznać za jednowymiarowy wielomian nad mniejszym pierścieniem wielomianowym. Jest to powszechnie używane do udowadniania właściwości wielowymiarowych pierścieni wielomianowych przez indukcję liczby nieokreślonych.

Główne takie właściwości wymieniono poniżej.

Właściwości, które przechodzą od $R$ do $R [X]$

W tej sekcji $R$ $jest$ pierścieniem przemiennym, $K$ jest polem, $X$ oznacza pojedynczy nieokreślony i, jak zwykle, jest pierścieniem liczb całkowitych Oto lista głównych właściwości pierścienia, które pozostają prawdziwe podczas przechodzenia z $R$ do $R [X]$ .

Jeśli R jest dziedziną całkową , to samo dotyczy R [ X ] (ponieważ wiodący współczynnik iloczynu wielomianów jest, jeśli nie zerem, iloczynem wiodących współczynników czynników).
- W szczególności ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ i ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ są integralnymi domenami.
Jeśli R jest unikalną dziedziną faktoryzacji, to samo dotyczy R [ X ] . $L$ $L[X],$ to z Gaussa unikalnej właściwości gdzie jest polem R .
- W szczególności ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ Z $\ Displaystyle \ mathbb {Z} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ to unikalne domeny faktoryzacji.
Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim , to samo dotyczy R [ X ] .
- W szczególności ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {Z } [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ to pierścienie noetherowskie; to jest twierdzenie bazowe Hilberta .
Jeśli R $_$ $\dim R[X]=1+\dim R,$ pierścieniem " oznacza $_$ $\dim$ wymiar Krulla .
- W szczególności ${\ Displaystyle \ dim K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] = n}$ i ${\ Displaystyle \ dim \ mathbb {Z } [X_{1},\ldkropki,X_{n}]=n+1.}$
Jeśli R jest regularnym pierścieniem , to samo dotyczy R [ X ] ; w tym przypadku jeden ma

${\ Displaystyle \ operatorname {gl} \, \ słabe R [X] = \ słabe R [X ]=1+\nazwa operatora {gl} \,\dim R=1+\dim R,}$
$\operatorname {gl} \,\dim R[X]=\dim R[X]=1+\operatorname {gl} \,\dim R=1+\dim R,$
gdzie „ ${\ displaystyle \ nazwa operatora {gl} \, \ dim}$ $\operatorname {gl} \,\dim$ ” oznacza wymiar globalny .
- W szczególności ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {Z } [X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ to pierścienie regularne, ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {gl} \, \ dim \ mathbb {Z} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] = n + 1,}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {gl} \, \ dim K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] = n.}$ Ta ostatnia równość to twierdzenie syzygy Hilberta .

Kilka nieokreślonych nad polem

Pierścienie wielomianowe w kilku zmiennych w polu są fundamentalne w teorii niezmienników i geometrii algebraicznej . Niektóre z ich właściwości, takie jak te opisane powyżej, można sprowadzić do przypadku pojedynczego nieokreślonego, ale nie zawsze tak jest. W szczególności, ze względu na zastosowania geometryczne, wiele interesujących właściwości musi być niezmiennych w przypadku afinicznych lub rzutowych nieokreślonych. Często oznacza to, że nie można wybrać jednego z nieokreślonych dla powtórzenia się nieokreślonych.

Twierdzenie Bézouta , hipoteza Nullstellensatza Hilberta i hipoteza Jakobiana należą do najbardziej znanych właściwości charakterystycznych dla wielomianów wielowymiarowych w polu.

Nullstellensatz Hilberta

Nullstellensatz (po niemiecku „twierdzenie o miejscu zerowym”) to twierdzenie, po raz pierwszy udowodnione przez Davida Hilberta , które rozciąga się na przypadek wielowymiarowy niektóre aspekty fundamentalnego twierdzenia algebry . Ma to fundamentalne znaczenie dla geometrii algebraicznej , ponieważ ustanawia silny związek między właściwościami algebraicznymi a właściwościami geometrycznymi ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$ odmian algebraicznych , które są (z grubsza mówiąc) zbiorem punktów zdefiniowanych przez ukryte równania wielomianowe .

Nullstellensatz ma trzy główne wersje, z których każda jest następstwem innej. Poniżej podano dwie z tych wersji. W przypadku trzeciej wersji czytelnik odsyłany jest do głównego artykułu na temat Nullstellensatz.

Pierwsza wersja uogólnia fakt, że niezerowy wielomian jednowymiarowy ma zespolone zero wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest stałą. Stwierdzenie jest następujące: zbiór wielomianów $S$ w ma wspólne zero w algebraicznie zamkniętym polu zawierającym $, X_ {n}]}$ $ldots$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $1$ nie należy do ideału generowanego przez $S$ , czyli jeśli $1$ nie jest liniową kombinacją elementów $S$ ze współczynnikami wielomianu .

Druga wersja uogólnia fakt, że nieredukowalne jednowymiarowe wielomiany nad liczbami zespolonymi są powiązane z wielomianem postaci ${\ Displaystyle X- \ alfa.}$ Stwierdzenie brzmi: Jeśli $K$ jest algebraicznie domknięte, to maksymalne ideały K ${\ Displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {$ mają postać ${\ Displaystyle \ langle X_ {1} - \ alfa _ {1}, \ ldots, X_ {n} - \ alfa _ {n} \ rangle.}$

Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta można postrzegać jako wielowymiarowe uogólnienie wersji podstawowego twierdzenia algebry , która stwierdza, że jednowymiarowy wielomian stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków zespolonych, jeśli policzymy je wraz z ich wielokrotnościami.

W przypadku wielomianów dwuwymiarowych , stwierdza się, że dwa wielomiany stopni $d$ i $e$ w dwóch zmiennych, które nie mają wspólnych czynników stopnia dodatniego, mają dokładnie $wspólne$ zera w algebraicznie zamkniętym ciele zawierającym współczynniki, jeśli zera są liczone z ich krotność i zawierać zera w nieskończoności .

Aby stwierdzić ogólny przypadek i nie uważać „zera w nieskończoności” za zera specjalne, wygodnie jest pracować z jednorodnymi wielomianami i rozważać zera w przestrzeni rzutowej . W $kontekście$ $a (rzutowe 1)$ zero jednorodnego do - krotka ${\ Displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}$ elementów $K$ , które ma inną postać $(0, \dots, 0)$ i takie, że $P(x_{0},\ldots,x_{n})=0$ . $_$ do że ${\ Displaystyle (\ lambda x_ {0}, \ ldots, \ lambda x_ {n})}$ są uważane za to samo zero dla dowolnego niezerowego ${\ displaystyle \ lambda \ in K.}$ Innymi słowy, zero to zbiór jednorodnych współrzędnych punktu w przestrzeni rzutowej o wymiarze $n$ .

Następnie twierdzenie Bézouta stwierdza: Biorąc pod uwagę n $,$ $w$ n $1 nieokreślonych$ liczbę wspólnych rzutowych zer w ${\ displaystyle d_ {1} \ cdots d_ {n}.}$ domkniętym rozszerzeniu K , suma krotności tych zer jest iloczynem $d$

przypuszczenie Jakobiana

Uogólnienia

Pierścienie wielomianów można uogólniać na wiele sposobów, w tym pierścienie wielomianów z uogólnionymi wykładnikami, pierścienie szeregów potęgowych, nieprzemienne pierścienie wielomianów , pierścienie wielomianów skośnych i zestawy wielomianów .

Nieskończenie wiele zmiennych

Jedno niewielkie uogólnienie pierścieni wielomianowych polega na dopuszczeniu nieskończenie wielu nieokreślonych. Każdy jednomian nadal obejmuje tylko skończoną liczbę nieokreślonych (tak, że jego stopień pozostaje skończony), a każdy wielomian jest nadal (skończoną) liniową kombinacją jednomianów. Zatem każdy pojedynczy wielomian obejmuje tylko skończenie wiele nieokreślonych, a każde skończone obliczenie obejmujące wielomiany pozostaje wewnątrz pewnego podzbioru wielomianów w skończenie wielu nieokreślonych. To uogólnienie ma tę samą właściwość zwykłych pierścieni wielomianowych, będąc swobodną algebrą przemienną , jedyną różnicą jest to, że jest obiektem swobodnym nad nieskończonym zbiorem.

Można również rozważyć ściśle większy pierścień, definiując jako uogólniony wielomian nieskończoną (lub skończoną) formalną sumę jednomianów o ograniczonym stopniu. Ten pierścień jest większy niż zwykły pierścień wielomianowy, ponieważ zawiera nieskończone sumy zmiennych. Jest jednak mniejszy niż pierścień szeregów potęgowych w nieskończenie wielu zmiennych . Taki pierścień służy do konstruowania pierścienia funkcji symetrycznych na zbiorze nieskończonym.

Wykładniki uogólnione

Proste uogólnienie zmienia tylko zbiór, z którego rysowane są wykładniki zmiennej. Wzory na dodawanie i mnożenie mają sens, o ile można dodawać wykładniki: X ⁱ ⋅ X ^j = X ^{i + j} . Zbiór, dla którego dodawanie ma sens (jest domknięty i asocjacyjny) nazywamy monoidem . Zbiór funkcji od monoidu N do pierścienia R , które są niezerowe tylko w skończenie wielu miejscach, można nadać strukturze pierścienia znanego jako R [ N ], monoidowy pierścień N ze współczynnikami w R . Dodawanie jest zdefiniowane składowo, więc jeśli c = a + b , to c _n = a _n + b _n dla każdego n w N . Mnożenie jest zdefiniowane jako iloczyn Cauchy'ego, więc jeśli c = a ⋅ b , to dla każdego n w N , c _n jest sumą wszystkich a _i b _j gdzie i , j rozciągają się na wszystkie pary elementów N , które sumują się do n .

Gdy N jest przemienne, wygodnie jest oznaczyć funkcję a w R [ N ] jako sumę formalną:

{\ Displaystyle \ suma _ {n \ w N} a_ {n} X ^ {n}}

a następnie wzory na dodawanie i mnożenie są znane:

{\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {n \ w N} a_{n}X^{n}\right)+\left(\suma _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\suma _{n\in N}\left( a_{n}+b_{n}\prawo)X^{n}}

I

{\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ { n\in N}a_{n}X^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n\in N}b_{n}X^{n}\right)=\sum _{n\ w N}\left(\suma _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)X^{n}}

gdzie ta ostatnia suma jest przejmowana przez wszystkie i , j w N suma ta wynosi n .

Niektórzy autorzy, tacy jak ( Lang 2002 , II, §3), posuwają się tak daleko, że przyjmują tę definicję monoidu jako punkt wyjścia, a regularne wielomiany pojedynczej zmiennej są szczególnym przypadkiem, w którym N jest monoidem nieujemnych liczb całkowitych. Wielomiany w kilku zmiennych po prostu przyjmują N jako bezpośredni iloczyn kilku kopii monoidu nieujemnych liczb całkowitych.

Kilka interesujących przykładów pierścieni i grup powstaje, przyjmując N za monoid addytywny nieujemnych liczb wymiernych ( Osbourne 2000 , §4.4) . Zobacz także serię Puiseux .

Serie mocy

Szeregi potęgowe uogólniają wybór wykładnika w innym kierunku, dopuszczając nieskończenie wiele niezerowych wyrazów. Wymaga to różnych hipotez dotyczących monoidu N użytego dla wykładników, aby upewnić się, że sumy w iloczynie Cauchy'ego są sumami skończonymi. Alternatywnie topologię można umieścić na pierścieniu, a następnie ograniczyć do zbieżnych nieskończonych sum. Dla standardowego wyboru N , nieujemnych liczb całkowitych, nie ma problemu, a pierścień formalnego szeregu potęgowego jest zdefiniowany jako zbiór funkcji od N do pierścienia R z dodawaniem składowym i mnożeniem podanym przez iloczyn Cauchy'ego. Pierścień szeregów potęgowych można również postrzegać jako uzupełnienie pierścienia pierścienia wielomianowego względem ideału generowanego przez $x$ .

Nieprzemienne pierścienie wielomianowe

W przypadku pierścieni wielomianowych więcej niż jednej zmiennej iloczyny X ⋅ Y i Y ⋅ X są po prostu zdefiniowane jako równe. Bardziej ogólne pojęcie pierścienia wielomianowego uzyskuje się, gdy zachowane jest rozróżnienie między tymi dwoma iloczynami formalnymi. Formalnie, pierścień wielomianowy w n zmiennych niekomutujących ze współczynnikami w pierścieniu R jest pierścieniem monoidalnym R [ N ], gdzie monoid N jest wolnym monoidem na n litery, znane również jako zbiór wszystkich ciągów nad alfabetem składającym się z n symboli, z mnożeniem podanym przez konkatenację. Ani współczynniki, ani zmienne nie muszą dojeżdżać między sobą, ale współczynniki i zmienne dojeżdżają do siebie.

Tak jak pierścień wielomianowy w n zmiennych ze współczynnikami w pierścieniu przemiennym R jest swobodną przemienną R -algebrą rzędu n , tak nieprzemienny pierścień wielomianowy w n zmiennych ze współczynnikami w pierścieniu przemiennym R jest wolną asocjacyjną, jednostkową R -algebrą na n generatorów, co jest nieprzemienne, gdy n > 1.

Pierścienie różniczkowe i skośno-wielomianowe

Inne uogólnienia wielomianów to pierścienie różniczkowe i wielomiany skośne.

Pierścień wielomianu różniczkowego to pierścień operatorów różniczkowych utworzony z pierścienia R i wyprowadzenia δ z R na R . To wyprowadzenie działa na R i będzie oznaczane jako X , gdy będzie traktowane jako operator. Elementy R działają również na R przez mnożenie. Skład operatorów jest oznaczony jako zwykłe mnożenie. Wynika z tego, że relacja δ ( ab ) = aδ ( b ) + δ ( a ) b można zapisać jako

{\ Displaystyle X \ cdot a = a \ cdot X + \ delta (a).}

Zależność tę można rozszerzyć, aby zdefiniować mnożenie skośne między dwoma wielomianami w X ze współczynnikami w R , co czyni je nieprzemiennym pierścieniem .

Standardowy przykład, zwany algebrą Weyla , przyjmuje, że R jest (zwykłym) pierścieniem wielomianowym k [ Y ], a δ jest standardową pochodną wielomianu ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ częściowy} {\ częściowy Y} }}$ . Biorąc a = Y w powyższej relacji, otrzymujemy kanoniczną relację komutacji , X ⋅ Y - Y ⋅ X = 1. Rozszerzenie tej relacji o asocjatywność i rozdzielność pozwala jawnie skonstruować algebrę Weyla . ( Lam 2001 , §1, ex1.9).

Pierścień wielomianu skośnego definiuje się podobnie dla pierścienia R i endomorfizmu pierścienia f z R , poprzez rozszerzenie mnożenia z relacji X ⋅ r = f ( r ) ⋅ X w celu wytworzenia mnożenia asocjacyjnego, które rozkłada się po dodaniu standardowym. Bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę homomorfizm F z monoidu N dodatnich liczb całkowitych do pierścienia endomorfizmu R , wzór X ⁿ ⋅ r = F ( n ) ( r ) ⋅ X ⁿ pozwala na skonstruowanie pierścienia wielomianu skośnego. ( Lam 2001 , §1, ex 1.11) Skośne pierścienie wielomianowe są blisko spokrewnione z algebrami produktów skrzyżowanych .

Zestawy wielomianowe

Definicję pierścienia wielomianowego można uogólnić, zmniejszając wymóg, aby struktura algebraiczna R była polem lub pierścieniem , do wymogu, aby R był tylko półciałem lub platformą ; wynikowa struktura wielomianowa/rozszerzenie R [ X ] jest platformą wielomianową . Na przykład zbiór wszystkich wielomianów wielowymiarowych o liczb naturalnych jest platformą wielomianową.

Zobacz też

Hall, FM (1969). „Sekcja 3.6”. Wprowadzenie do algebry abstrakcyjnej . Tom. 2. Cambridge University Press. ISBN 0521084849 .
Herstein, IN (1975). „Sekcja 3.9”. Tematy z algebry . Wileya. ISBN 0471010901 . pierścień wielomianowy.
Lam, Tsit-Yuen (2001), pierwszy kurs pierścieni nieprzemiennych , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0
Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
Osborne, M. Scott (2000), Podstawowa algebra homologiczna , Graduate Texts in Mathematics, tom. 196, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1278-2 , ISBN 978-0-387-98934-1 , MR 1757274

Kontrola autorytetu
Biblioteki Narodowe	Francja Dane BnF Niemcy Izrael Stany Zjednoczone
Inny	SZYBKO Identyfikator ref