Pierścień funkcji symetrycznych

Ten artykuł dotyczy pierścienia funkcji symetrycznych w kombinatoryce algebraicznej. Aby zapoznać się z ogólnymi właściwościami funkcji symetrycznych, zobacz funkcję symetryczną .

W algebrze , a zwłaszcza w kombinatoryce algebraicznej , pierścień funkcji symetrycznych jest określoną granicą pierścieni wielomianów symetrycznych w n nieoznaczonych , gdy n dąży do nieskończoności. Pierścień ten pełni funkcję uniwersalnej struktury, w której relacje między wielomianami symetrycznymi można wyrazić w sposób niezależny od liczby n nieoznaczonych (jednak jego elementy nie są ani wielomianami, ani funkcjami). Pierścień ten odgrywa między innymi ważną rolę w teoria reprezentacji grupy symetrycznej .

Pierścieniu funkcji symetrycznych można nadać współprodukt i postać dwuliniową, tworząc z niego dodatnią, samosprzężoną stopniowaną algebrę Hopfa , która jest zarówno przemienna, jak i koprzemienna.

Wielomiany symetryczne

Główny artykuł: wielomian symetryczny

Badanie funkcji symetrycznych opiera się na wielomianach symetrycznych. W pierścieniu wielomianowym w pewnym skończonym zbiorze nieokreślonych wielomian nazywa się symetrycznym , jeśli pozostaje taki sam za każdym razem, gdy nieokreślone są w jakikolwiek sposób permutowane. Bardziej formalnie, istnieje działanie automorfizmów pierścienia grupy symetrycznej S n _na pierścień wielomianu w n nieokreślonych, gdzie permutacja działa na wielomian, jednocześnie zastępując każdy z nieokreślonych innym, zgodnie z zastosowaną permutacją. Niezmienniki tego działania tworzą podpierścień wielomianów symetrycznych. Jeśli nieokreślonymi są X ₁ , ..., X _n , to przykładami takich wielomianów symetrycznych są

${\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}, \,}$

${ \displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,}$

I

${\ Displaystyle X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}. \,}$

Nieco bardziej skomplikowanym przykładem jest X ₁ ³ X ₂ X ₃ + X ₁ X ₂ ³ X ₃ + X ₁ X ₂ X ₃ ³ + X ₁ ³ X ₂ X ₄ + X ₁ X ₂ ³ X ₄ + X ₁ X ₂ X ₄ ³ + ... gdzie sumowanie obejmuje wszystkie iloczyny trzeciej potęgi pewnej zmiennej i dwóch innych zmiennych. Istnieje wiele specyficznych rodzajów wielomianów symetrycznych, takich jak elementarne wielomiany symetryczne , wielomiany symetryczne sumy mocy , jednomianowe wielomiany symetryczne , kompletne jednorodne wielomiany symetryczne i wielomiany Schura .

Pierścień funkcji symetrycznych

Większość relacji między wielomianami symetrycznymi nie zależy od liczby n nieokreślonych, poza tym, że niektóre wielomiany w relacji mogą wymagać, aby n było wystarczająco duże, aby można je było zdefiniować. Na przykład, do czego prowadzi tożsamość Newtona dla trzeciego wielomianu sumy potęg p ₃

${\ Displaystyle p_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1} ,\ldots,X_{n}),}$

gdzie oznaczają $symetryczne$ wielomiany wzór ten obowiązuje dla wszystkich liczb naturalnych n i jedyną godną uwagi zależnością jest to, że e _k ( X ₁ ,..., X _n ) = 0, gdy n < k . Chciałoby się to zapisać jako tożsamość

${\ Displaystyle p_ {3} = e_ {1} ^ {3} -3e_ {2} e_ {1} + 3e_ {3}}$

to w ogóle nie zależy od n i można to zrobić w pierścieniu funkcji symetrycznych. W pierścieniu tym znajdują się niezerowe elementy e _k dla wszystkich liczb całkowitych k ≥ 1, a dowolny element pierścienia można wyrazić wielomianem w elementach e _k .

Definicje

Pierścień funkcji symetrycznych można zdefiniować nad dowolnym pierścieniem przemiennym R i będzie on oznaczony Λ _R ; podstawowym przypadkiem jest R = Z . Pierścień Λ _R jest w rzeczywistości stopniowaną R - algebrą . Istnieją dwie główne konstrukcje; pierwszy z nich podany poniżej można znaleźć w (Stanley, 1999), a drugi to w zasadzie ten podany w (Macdonald, 1979).

Jako pierścień formalnego szeregu potęgowego

Najłatwiejsza (choć nieco ciężka) konstrukcja zaczyna się od pierścienia formalnego szeregu potęgowego ${\ Displaystyle R [[X_ {1}, X_ {2}, ...]]}$ nad R w nieskończenie ( policzalnie ) wielu nieokreślonych; elementy tego pierścienia szeregu potęgowego są formalnie nieskończonymi sumami wyrazów, z których każdy składa się ze współczynnika R pomnożonego przez jednomian , gdzie każdy jednomian jest iloczynem skończonych wielu skończonych potęg nieokreślonych. Definiuje się Λ _R jako jego podpierścień składający się z tych szeregów potęgowych S , które spełniają

1. S jest niezmiennikiem w przypadku dowolnej permutacji nieokreślonych, oraz
2. stopnie jednomianów występujących w S są ograniczone.

Należy zauważyć, że ze względu na drugi warunek, szeregi potęgowe są tutaj używane tylko po to, aby umożliwić nieskończenie wiele wyrazów o ustalonym stopniu, a nie do sumowania wyrazów wszystkich możliwych stopni. Dopuszczenie tego jest konieczne, ponieważ element zawierający na przykład wyraz X ₁ powinien także zawierać wyraz X _i dla każdego i > 1, aby był symetryczny. W przeciwieństwie do całego pierścienia szeregów potęgowych, podpierścień Λ _R jest klasyfikowany według całkowitego stopnia jednomianów: zgodnie z warunkiem 2 każdy element Λ _R jest skończoną sumą jednorodnych elementów Λ _R (które same w sobie są nieskończoną sumą wyrazów o równym stopniu). Dla każdego k ≥ 0 element e _k ∈ Λ _R definiuje się jako formalną sumę wszystkich iloczynów k różnych nieoznaczonych, która jest wyraźnie jednorodna pod względem stopnia k .

Jako granica algebraiczna

innej konstrukcji Λ _R zajmuje nieco więcej czasu, ale lepiej wskazuje związek z pierścieniami R [ X ₁ ,..., X _n ] ^{S _n} wielomianów symetrycznych w n nieoznaczonych. Dla każdego n istnieje surjektywny homomorfizm pierścienia ρ _n z analogicznego pierścienia R [ X ₁ ,..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} z jeszcze jednym nieokreślonym na R [ X ₁ ,..., X _n ] ^{S _n} , zdefiniowanym przez ustawienie ostatniego nieokreślonego X _{n +1} na 0. Chociaż ρ _n ma nietrywialne jądro , niezerowe elementy tego jądra mają stopień co najmniej ${\ displaystyle n+1}$ (są wielokrotnościami X ₁ X ₂ ... X _{n +1} ). Oznacza to, że ograniczenie ρ _n do elementów o stopniu co najwyżej n jest bijektywnym odwzorowaniem liniowym , a ρ _n ( ek ( X ₁ ,..., X _{n +1} )) = e _k ( _{X 1} ,.. ., X _n ) dla wszystkich k ≤ n . Odwrotność tego ograniczenia można jednoznacznie rozszerzyć na homomorfizm pierścienia φ _n z R [ X ₁ ,..., X _n ] ^{S _n} do R [ X ₁ ,..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} , jak wynika na przykład z podstawowego twierdzenia o wielomianach symetrycznych . Ponieważ obrazy φ _n ( e _k ( X ₁ ,..., X _n )) = e _k ( X ₁ ,..., X _{n +1} ) dla k = 1,..., n są nadal algebraicznie niezależne od R , homomorfizm φ _n jest iniekcyjny i można go postrzegać jako (dość niezwykłe) włączenie pierścieni; zastosowanie φ _n do wielomianu sprowadza się do dodania wszystkich jednomianów zawierających nowe nieokreślone otrzymane na drodze symetrii z już istniejących jednomianów. Pierścień Λ _R jest wówczas „związkiem” ( bezpośrednia granica ) wszystkich tych pierścieni podlegających tym wtrąceniom. Ponieważ wszystkie φ _n są zgodne z uszeregowaniem według całkowitego stopnia zaangażowanych pierścieni, Λ _R uzyskuje strukturę stopniowanego pierścienia.

Konstrukcja ta różni się nieco od konstrukcji (Macdonald, 1979). Konstrukcja ta wykorzystuje jedynie morfizmy surjektywne ρ _n, nie wspominając o morfizmach iniekcyjnych φ _n : konstruuje jednorodne składniki Λ _R oddzielnie i wyposaża ich bezpośrednią sumę w strukturę pierścieniową za pomocą ρ _n . Zauważono również, że wynik można określić jako odwrotną granicę w kategorii stopniowanej pierścienie. Opis ten jednak w pewnym stopniu przesłania ważną właściwość charakterystyczną dla bezpośredniej morfizmów iniekcyjnych, a mianowicie, że każdy indywidualny element (funkcja symetryczna) jest już wiernie reprezentowany w jakimś obiekcie używanym w konstrukcji granicznej, tutaj pierścieniu R [ X ₁ ,... , X _d ] ^{S _re} . Wystarczy przyjąć za d stopień funkcji symetrycznej, gdyż część w stopniu d tego pierścienia jest odwzorowywana izomorficznie na pierścienie z większą liczbą nieokreślonych przez φ _n dla wszystkich n ≥ d . Oznacza to, że w badaniu relacji między poszczególnymi elementami nie ma zasadniczej różnicy między wielomianami symetrycznymi a funkcjami symetrycznymi.

Definiowanie poszczególnych funkcji symetrycznych

Nazwa „funkcja symetryczna” elementów Λ _R jest błędna : w żadnej konstrukcji elementy nie pełnią funkcji i w rzeczywistości, w przeciwieństwie do wielomianów symetrycznych, do takich elementów nie można przypisać żadnej funkcji zmiennych niezależnych (na przykład e ₁ byłoby suma wszystkich nieskończenie wielu zmiennych, która nie jest zdefiniowana, chyba że na zmienne zostaną nałożone ograniczenia). Jednak nazwa jest tradycyjna i dobrze ugruntowana; można go znaleźć zarówno w (Macdonald, 1979), który mówi (przypis na s. 12):

Elementy Λ (w przeciwieństwie do elementów Λ _n ) nie są już wielomianami: są formalnymi nieskończonymi sumami jednomianów. Dlatego powróciliśmy do starszej terminologii dotyczącej funkcji symetrycznych.

(tutaj Λ _n oznacza pierścień wielomianów symetrycznych w n nieokreślonych), a także w (Stanley, 1999).

Aby zdefiniować funkcję symetryczną, należy albo wskazać bezpośrednio szereg potęgowy, jak w pierwszej konstrukcji, albo podać wielomian symetryczny w n nieoznaczonych dla każdej liczby naturalnej n w sposób zgodny z drugą konstrukcją. Wyrażenie w nieokreślonej liczbie nieokreślonych może na przykład spełniać jedno i drugie

${\ Displaystyle e_ {2} = \ suma _ {i <j} X_ {i} X_ {j} \,}$

można przyjąć jako definicję elementarnej funkcji symetrycznej, jeśli liczba nieokreślonych jest nieskończona, lub jako definicję elementarnego wielomianu symetrycznego w dowolnej skończonej liczbie nieokreślonych. Wielomiany symetryczne dla tej samej funkcji symetrycznej powinny być zgodne z homomorfizmami ρ _n (zmniejszanie liczby nieoznaczonych uzyskuje się przez ustawienie części z nich na zero, tak aby współczynniki dowolnego jednomianu w pozostałych nieoznaczonych pozostały niezmienione), a ich stopień powinien pozostać ograniczonym. (Przykładem rodziny wielomianów symetrycznych, która nie spełnia obu warunków, jest ${\ Displaystyle \ Textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$ ; rodzina ${\ Displaystyle \ Textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} +1)}$ nie spełnia tylko drugiego warunku.) Dowolny wielomian symetryczny w n nieokreślonych można wykorzystać do skonstruowania zgodnej rodziny wielomianów symetrycznych, używając homomorfizmów ρ _i dla i < n zmniejszyć liczbę nieokreślonych, a φ _i dla i ≥ n zwiększyć liczbę nieokreślonych (co sprowadza się do dodania wszystkich jednomianów do nowych nieokreślonych otrzymanych metodą symetrii z już istniejących jednomianów).

Poniżej znajdują się podstawowe przykłady funkcji symetrycznych.

• Jednomianowe funkcje symetryczne m _α . Załóżmy, że α = (α ₁ , α ₂ ,...) jest ciągiem nieujemnych liczb całkowitych, z których tylko skończenie wiele jest niezerowych. Następnie możemy rozważyć jednomian określony przez α: X ^α = X ₁ ^{α ₁} X ₂ ^{α ₂} X ₃ ^{α ₃} .... Wtedy m _α jest funkcją symetryczną określoną przez X ^α , tj. suma wszystkich jednomianów otrzymanych z X ^α metodą symetrii. Aby uzyskać formalną definicję, zdefiniuj β ~ α w taki sposób, że ciąg β jest permutacją ciągu α i ustaw

${\ Displaystyle m _ {\ alfa} = \ suma \ nolimits _ {\ beta \ sim \ alfa} X ^ {\ beta}.}$

Ta funkcja symetryczna odpowiada jednomianowi symetrycznego wielomianu m _α ( X ₁ , ..., X _n ) dla dowolnego n wystarczająco duży, aby mieć jednomian X ^α . Różne jednomianowe funkcje symetryczne są parametryzowane przez podziały całkowite (każdy m _α ma unikalny reprezentatywny jednomian X ^λ z częściami λ _i w kolejności słabo malejącej). Ponieważ każda funkcja symetryczna zawierająca którykolwiek z jednomianów pewnego m _α musi zawierać je wszystkie z tym samym współczynnikiem, każdą funkcję symetryczną można zapisać jako R -liniowa kombinacja jednomianowych funkcji symetrycznych i dlatego odrębne jednomianowe funkcje symetryczne tworzą podstawę Λ _R jako R - modułu .

• Elementarne funkcje symetryczne e _k dla dowolnej liczby naturalnej k ; mi k = m _α gdzie ${\ displaystyle \textstyle X ^ {\ alfa} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} X_ {i}$ _} . Jako szereg potęgowy jest to suma wszystkich odrębnych iloczynów k różnych nieokreślonych. Ta funkcja symetryczna odpowiada elementarnemu wielomianowi symetrycznemu e _k ( X ₁ ,..., X _n ) dla dowolnego n ≥ k .
• Funkcje symetryczne sumy mocy p k _dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej k ; jeden ma p _k = m _{( k )} , jednomianową funkcję symetryczną dla jednomianu X ₁ ^k . Ta funkcja symetryczna odpowiada wielomianowi symetrycznemu sumy mocy p _k ( X ₁ ,..., X _n ) = X ₁ ^k + ... + X _n ^k dla dowolnego n ≥ 1.
• Kompletne jednorodne funkcje symetryczne h _k dla dowolnej liczby naturalnej k ; h _k jest sumą wszystkich jednomianowych funkcji symetrycznych m _α gdzie α jest podziałem k . Jako szereg potęgowy jest to suma wszystkich jednomianów stopnia k , co uzasadnia jego nazwę. Ta funkcja symetryczna odpowiada pełnemu jednorodnemu wielomianowi symetrycznemu h _k ( X ₁ ,..., X _n ) dla dowolnego n ≥ k .
• Funkcja Schura s λ _dla dowolnego podziału λ, co odpowiada wielomianowi Schura s _λ ( X ₁ ,..., X _n ) dla dowolnego n wystarczająco dużego, aby mieć jednomian X ^λ .

₀ Nie ma symetrycznej funkcji sumy mocy p : chociaż możliwe jest (i w niektórych kontekstach naturalne) zdefiniowanie ${\ displaystyle \textstyle p_ {0 }(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n} jako wielomian symetryczny w n$ zmiennych , wartości te wynoszą nie jest zgodny z morfizmami ρ _n . „Wyróżnik” ${\ Displaystyle \textstyle (\ prod _ {i <j} (X_ {i} -X_ {j}) ^ {2}$ } kolejny przykład wyrażenia dającego wielomian symetryczny dla wszystkich n , ale nie definiującego żadnej funkcji symetrycznej. Wyrażenia definiujące wielomiany Schura jako iloraz wielomianów przemiennych są nieco podobne do wyrażeń dla dyskryminatora, ale wielomiany s _λ ( X ₁ ,..., X _n ) okazują się zgodne dla zmiennych n i dlatego definiują funkcję symetryczną.

Zasada dotycząca wielomianów symetrycznych i funkcji symetrycznych

Dla dowolnej funkcji symetrycznej P odpowiednie wielomiany symetryczne w n nieokreślonych dla dowolnej liczby naturalnej n można oznaczyć przez P ( X ₁ ,..., X _n ). Druga definicja pierścienia funkcji symetrycznych implikuje następującą podstawową zasadę:

Jeśli P i Q są funkcjami symetrycznymi stopnia d , to tożsamość funkcji symetrycznych $ma się$ wtedy i tylko wtedy, gdy się tożsamość ( X _{1 ,} , X _d ) = Q ( X ₁ ,..., X _d ) wielomianów symetrycznych w d nieokreślonych. W tym przypadku faktycznie mamy P ( X ₁ ,..., X _n ) = Q ( X ₁ ,..., X _n ) dla dowolnej liczby n nieokreślonych.

Dzieje się tak dlatego, że zawsze można zmniejszyć liczbę zmiennych, podstawiając niektóre zmienne zero, i można zwiększyć liczbę zmiennych, stosując homomorfizmy φ _n ; definicja tych homomorfizmów zapewnia, że ​​φ _n ( P ( X ₁ ,..., X _n )) = P ( X ₁ ,..., X _{n +1} ) (i podobnie dla Q ) kiedykolwiek n ≥ d . Widzieć dowód tożsamości Newtona dla skutecznego zastosowania tej zasady.

Własności pierścienia funkcji symetrycznych

Tożsamości

Pierścień funkcji symetrycznych jest wygodnym narzędziem do zapisywania tożsamości pomiędzy wielomianami symetrycznymi, które są niezależne od liczby nieoznaczonych: w Λ _R nie ma takiej liczby, jednak zgodnie z powyższą zasadą dowolna tożsamość w Λ _R automatycznie nadaje tożsamościom pierścienie symetryczne wielomiany nad R w dowolnej liczbie nieokreślonych. Niektóre podstawowe tożsamości są

${\ displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ { k}(-1)^{i}e_{i}h_{ki}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{ki}\ quad {\mbox{dla wszystkich }}k>0,}$

który pokazuje symetrię między elementarnymi i całkowitymi jednorodnymi funkcjami symetrycznymi; relacje te są wyjaśnione w ramach całkowicie jednorodnego wielomianu symetrycznego .

${\ displaystyle ke_ {k} = \ suma _ {i = 1} ^ {k} (-1 )^{i-1}p_{i}e_{ki}\quad {\mbox{dla wszystkich }}k\geq 0,}$

tożsamości Newtona , które mają również wariant dla pełnych jednorodnych funkcji symetrycznych:

${\ displaystyle kh_ {k} = \ suma _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} h_ {ki} \ quad {\mbox{dla wszystkich }}k\geq 0.}$

Właściwości strukturalne Λ _R

Ważne właściwości Λ _R obejmują następujące.

1. Zbiór jednomianowych funkcji symetrycznych sparametryzowanych przez podziały stanowi podstawę Λ _R jako stopniowanego modułu R , przy czym funkcje sparametryzowane przez podziały d są jednorodne stopnia d ; to samo dotyczy zbioru funkcji Schura (również sparametryzowanego partycjami).
2. Λ _R jest izomorficzne jako stopniowana R -algebra do pierścienia wielomianowego R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] w nieskończenie wielu zmiennych, gdzie Y _i ma dany stopień i dla wszystkich i > 0, przy czym jeden izomorfizm jest tym, który wysyła Y _i do e _i ∈ Λ _R dla każdego i .
3. Istnieje mimowolny automorfizm ω Λ _R , który zamienia elementarne funkcje symetryczne e _i z pełną jednorodną funkcją symetryczną h _i dla wszystkich i . Wysyła także każdą symetryczną funkcję sumy potęg p _i do (−1) ^{i −1} p _i i permutuje między sobą funkcje Schura, zamieniając s _λ i s _{λ ^t} gdzie λ ^t jest transpozycją podziału λ.

Własność 2 jest istotą podstawowego twierdzenia o wielomianach symetrycznych . Natychmiast implikuje kilka innych właściwości:

• Podpierścień Λ _R generowany przez jego elementy stopnia co najwyżej n jest izomorficzny z pierścieniem wielomianów symetrycznych nad R w n zmiennych;
• ${\ displaystyle \textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-t ^ {i }}}}$ Hilberta – Poincarégo Λ _R to Λ , funkcja generująca partycje całkowite (wynika to również z właściwości 1);
• Dla każdego n > 0 moduł R utworzony przez jednorodną część Λ _R stopnia n , modulo jego przecięcie z podpierścieniem generowanym przez jego elementy o stopniu ściśle mniejszym niż n , jest wolny od rangi 1 i (obraz ) en jest generatorem tego modułu R _;
• Dla każdej rodziny funkcji symetrycznych ( f _i ) _{i >0} , w której fi jest jednorodna stopnia i i daje generator wolnego modułu R poprzedniego punktu (dla wszystkich i ), istnieje alternatywny izomorfizm _{stopniowanego} R -algebry od R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] jak wyżej do Λ _R , które wysyłają Y _i do f _i ; innymi słowy rodzina ( f _i ) _{i >0} tworzy zbiór generatorów wielomianów swobodnych Λ _R .

  of Ten ostatni punkt dotyczy w szczególności rodziny ( h _i ) _{i >0} zupełnych jednorodnych funkcji symetrycznych. Jeśli R zawiera pole $wymiernych$ , ma to zastosowanie również do rodziny ( p _ja ) _{i >0} > of power sum symmetric functions. This explains why the first n elements of each of these families define sets of symmetric polynomials in n zmienne będące generatorami wolnych wielomianów tego pierścienia wielomianów symetrycznych.

Fakt, że kompletne jednorodne funkcje symetryczne tworzą zbiór wolnych generatorów wielomianów Λ _R już pokazuje istnienie automorfizmu ω wysyłającego elementarne funkcje symetryczne do całkowicie jednorodnych, jak wspomniano we własności 3. Fakt, że ω jest inwolucją Λ _R wynika z symetrii pomiędzy elementarnymi i całkowitymi jednorodnymi funkcjami symetrycznymi, wyrażonej przez pierwszy zestaw relacji podanych powyżej.

Pierścień funkcji symetrycznych Λ _Z jest pierścieniem Exp liczb całkowitych Z . Jest to także w naturalny sposób pierścień lambda ; w rzeczywistości jest to uniwersalny pierścień lambda w jednym generatorze.

Generowanie funkcji

Pierwsza definicja Λ _R jako podpierścienia $elegancko$ pozwala wyrazić funkcje generujące W przeciwieństwie do wcześniej wspomnianych relacji, które są wewnętrzne dla Λ _R , wyrażenia te dotyczą operacji zachodzących w R [[ X ₁ , X ₂ ,...; t ]], ale poza jego podpierścieniem Λ _R [[ t ]], więc mają znaczenie tylko wtedy, gdy funkcje symetryczne są postrzegane jako formalne szeregi potęgowe w nieokreślonych X _i . Aby podkreślić tę interpretację, po funkcjach symetrycznych napiszemy „( X )”.

Funkcja generująca elementarnych funkcji symetrycznych to

${\ Displaystyle E (t) = \ suma _ {k \ geq 0} e_ {k} (X) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (1 + X_ {i} T).}$

Podobnie ma się sprawa z całkowicie jednorodnymi funkcjami symetrycznymi

${\ Displaystyle H (t) = \ suma _ {k \ geq 0} h_ {k} (X) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lewo (\ suma _ { k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}. }$

Oczywisty fakt, że ${\ displaystyle E (-t) H (t) = 1 = E (t) H (-t)}$ wyjaśnia symetrię pomiędzy elementarnymi i całkowitymi jednorodnymi funkcjami symetrycznymi. Funkcję generującą funkcje symetryczne sumy mocy można wyrazić jako

${\ Displaystyle P (t) = \ suma _ {k> 0} p_ {k} (X) t ^ {k} = \ suma _ {k> 0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t} {1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}}$

  ((Macdonald, 1979) definiuje P ( t ) jako Σ _{k > 0} p _k ( X ) t ^{k -1} i dlatego w jego wyrażeniach brakuje czynnika t w odniesieniu do podanych tutaj). Dwa ostatnie wyrażenia, obejmujące pochodne formalne funkcji generujących E ( t ) i H ( t ), implikują tożsamości Newtona i ich warianty dla całkowicie jednorodnych funkcji symetrycznych. Wyrażenia te są czasami zapisywane jako

$\ displaystyle P (t) = - t {\ Frac {d} dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),}$

co równa się temu samemu, ale wymaga, aby R zawierało liczby wymierne, tak aby logarytm szeregu potęgowego o stałym członie 1 był zdefiniowany (przez ${\ Displaystyle \ Textstyle \ log (1-tS) = - \ suma _ {i> 0} {\ Frac {1} {i}} (tS) ^ {i}})$ .

Specjalizacje

Niech $pierścieniem$ funkcji symetrycznych i $.$ przemienną z elementem jednostkowym Homomorfizm algebry nazywany jest specjalizacją . φ $\ Displaystyle \ Varphi: \ Lambda \ do R, \ quad f \ mapsto f (\ varphi)}$

Przykład:

• $\ displaystyle f$$uwagę$ liczby rzeczywiste fa , to podstawienie ${\ displaystyle x_ {1} = a_ {1}, \ kropki, x_ { k}=a_{k}}$ i ${\ displaystyle x_ {j} = 0, \ forall j> k}$ jest specjalizacją.
• Niech ${\ Displaystyle f \ in \ Lambda}$ , to ${\ displaystyle \ nazwa operatora {ps} (f): = f (1,q,q^{2},q^{3},\dots )}$ nazywa się specjalizacją główną .

Zobacz też

• Tożsamości Newtona
• Funkcja quasisymetryczna

•   Macdonald, IG Funkcje symetryczne i wielomiany Halla. Monografie matematyczne Oksfordu. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 s. ISBN 0-19-853530-9 MR 553598
•   Macdonald, IG Funkcje symetryczne i wielomiany Halla. Druga edycja. Monografie matematyczne Oksfordu. Publikacje naukowe Oksfordu. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nowy Jork, 1995. x+475 s. ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144
•     Stanley, Richard P. Kombinatoryka wyliczeniowa , tom. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (twarda oprawa) ISBN 0-521-78987-7 (miękka oprawa).