Endomorfizm Frobeniusa

W algebrze przemiennej i teorii pola endomorfizm Frobeniusa ( po Ferdynandzie Georgu Frobeniusie ) jest specjalnym endomorfizmem pierścieni przemiennych o pierwszej charakterystyce $p$ , ważnej klasie obejmującej pola skończone . Endomorfizm odwzorowuje każdy element na jego $p$ -tą potęgę. W pewnych kontekstach jest to automorfizm , ale ogólnie nie jest to prawdą.

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym o pierwszej charakterystyce $p$ ( na przykład dziedzina całkowa o dodatniej charakterystyce zawsze ma pierwszą charakterystykę). Endomorfizm Frobeniusa F jest zdefiniowany przez

{\ Displaystyle F (r) = r ^ {p}}

dla wszystkich r w R . Respektuje mnożenie R :

{\ Displaystyle F (rs) = (rs) ^ {p} = r ^ {p} s ^ { p}=F(r)F(s),}

a $F (1)$ również wynosi 1. Ponadto respektuje również dodanie $R$ . Wyrażenie $(r + s) p$ można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianach . Ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą, dzieli $p!$ ale nie żadne $q!$ dla $q < p$ ; dlatego podzieli licznik , ale nie mianownik , jawnej formuły współczynniki dwumianowe

\ Displaystyle {\ Frac {p!} {k! (pk)!}}}

gdyby $1 \leq k \leq p - 1$ . Dlatego współczynniki wszystkich wyrazów z wyjątkiem $r p$ i $sp p$ są podzielne przez $,$ a zatem znikają. Zatem

{\ Displaystyle F (r + s) = (r + s) ^ {p} = r ^ {p} + s ^ {p} = F (r) + F (s).}

To pokazuje, że F jest homomorfizmem pierścienia.

Jeżeli $φ : R \to S$ jest homomorfizmem pierścieni o charakterystyce $p$ , to

{\ Displaystyle \ fi (x ^ {p}) = \ fi (x) ^ {p}.}

Jeśli $FR można$ i $FS S$ są endomorfizmami Frobeniusa dla $R$ i $, to$ to zapisać jako:

{\ Displaystyle \ phi \ circ F_ {R} = F_ {S} \ circ \ phi.}

Oznacza to, że endomorfizm Frobeniusa jest naturalną transformacją z funktora tożsamości na kategorię charakterystycznych pierścieni $p$ do samego siebie.

Jeśli pierścień $R$ jest pierścieniem bez elementów nilpotentnych , to endomorfizm Frobeniusa jest iniekcyjny: $F (r) = 0$ oznacza $r p = 0$ , co z definicji oznacza, że $r$ jest co najwyżej nilpotentne rzędu $p$ . W rzeczywistości jest to konieczne i wystarczające, ponieważ jeśli $r$ jest jakąkolwiek potęgą nilpotentną, to jedna z jej potęg będzie co najwyżej nilpotentna rzędu $p$ . W szczególności, jeśli $R$ jest polem, to endomorfizm Frobeniusa jest iniekcyjny.

Morfizm Frobeniusa niekoniecznie jest suriekcją , nawet gdy $R$ jest polem. Na przykład niech $K = F p (t)$ będzie skończonym ciałem $p$ elementów wraz z pojedynczym elementem przestępnym; równoważnie $K$ jest polem funkcji wymiernych o współczynnikach w $F p$ . Wtedy obraz $F$ nie zawiera $t$ . Gdyby tak było, wówczas istniałaby funkcja wymierna $q (t)/ r (t)$ którego $p$ -ta potęga $q (t) p / r (t) p$ równałoby się $t$ . Ale stopień tej $p$ -tej potęgi to $p deg(q) - p deg(r)$ , który jest wielokrotnością $p$ . W szczególności nie może to być 1, co jest stopniem $t$ . To jest sprzeczność; więc $t$ nie jest na obrazie $F.$

Pole $K$ nazywamy doskonałym, jeśli albo ma charakter zerowy, albo ma charakter dodatni, a jego endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem. Na przykład wszystkie ciała skończone są doskonałe.

Punkty stałe endomorfizmu Frobeniusa

Rozważ skończone pole $F p$ . Zgodnie z małym twierdzeniem Fermata każdy element $x$ z $F p$ spełnia $x p = x$ . Równoważnie jest to pierwiastek wielomianu $X p - X$ . Elementy $F p$ określają zatem $p$ pierwiastków tego równania, a ponieważ to równanie ma stopień $p$ , ma nie więcej niż $p$ pierwiastków w dowolnym rozszerzeniu . W szczególności, jeśli $K$ jest algebraicznym rozszerzeniem $F p$ (takim jak zamknięcie algebraiczne lub inne ciało skończone), to $F p$ jest stałym ciałem automorfizmu Frobeniusa $K$ .

Niech $R$ będzie pierścieniem o charakterystyce $p > 0$ . Jeśli $R$ jest domeną integralną, to zgodnie z tym samym rozumowaniem stałe punkty Frobeniusa są elementami pola pierwszego. Jeśli jednak $R$ nie jest domeną, to $X p - X$ może mieć więcej niż $p$ pierwiastków; na przykład dzieje się tak, jeśli $R = F p \times F p$ .

Podobną właściwość na polu skończonym cieszy n- ta iteracja $automorfizmu$ Frobeniusa: każdy element z ${F} _ {p ^ {n}}}$ $}}$ jest pierwiastkiem z ${\ Displaystyle X ^ {p ^ {n}} -X}$ , więc jeśli $K$ jest algebraicznym rozszerzeniem ${\ styl wyświetlania \mathbf {F} _{p^{n}}}$ i $F$ jest automorfizmem Frobeniusa z $K$ , to stałe pole z jest $fa n$ jest ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$ . Jeśli R jest dziedziną, która jest ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$ $są$ to stałe punkty n- tej iteracji Frobeniusa elementami .

Iteracja mapy Frobeniusa daje sekwencję elementów w $R$ :

{\ Displaystyle x, x ^ {p}, x ^ {p ^ {2}}, x ^ {p ^ {3}}, \ ldots.}

Ta sekwencja iteracji jest używana do definiowania domknięcia Frobeniusa i ciasnego domknięcia ideału.

Jako generator grup Galois

Grupa Galois rozszerzenia pól skończonych jest generowana przez iterację automorfizmu Frobeniusa. Najpierw rozważ przypadek, w którym pole podstawowe jest polem pierwszym $F p$ . Niech $F q$ będzie skończonym ciałem $q$ elementów, gdzie $q = p n$ . Automorfizm Frobeniusa $F$ od $F q$ ustala pole pierwsze $F p$ , więc jest elementem grupy Galois $Gal(F q / F p)$ . W rzeczywistości, ponieważ jest $cykliczny$ a - 1 z elementami $q$ , wiemy, że grupa Galois jest cykliczna, . Kolejność $F$ to $n$ , ponieważ $Fn tożsamość$ oddziałuje na element $x$ , wysyłając go do $x q , a to jest$ elementów $F q$ . Każdy automorfizm $F q$ jest potęgą $F$ , a generatory są potęgami $Fi z$ $i$ względnie pierwszą do $n$ .

Rozważmy teraz pole skończone $F q f$ jako rozszerzenie $F q$ , gdzie $q = p n$ jak wyżej. Jeśli $n > 1$ , to automorfizm Frobeniusa $F$ z $F q f$ nie ustala pola podstawowego $F q$ , ale jego $n$ th iteracja $F n$ tak. Grupa Galois $Gal(F q f / F q)$ jest cykliczny rzędu $f$ i jest generowany przez $F n$ . Jest to podgrupa $Gal(F q f / F p)$ generowana przez $F n$ . Generatorami $Gal(F q f / F q)$ są potęgi $F ni$ , gdzie $i$ jest względnie pierwsze z $f$ .

Automorfizm Frobeniusa nie jest generatorem absolutnej grupy Galois

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Gal} \ lewo ({\ overline {\ mathbf {F} _ {q}}} / \ mathbf {F} _ {q} \ prawej) ,}

ponieważ ta grupa Galois jest izomorficzna z liczbami całkowitymi profinite

{\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {Z}}} = \ varprojlim _ {n} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}}

które nie są cykliczne. Ponieważ jednak automorfizm Frobeniusa jest generatorem grupy Galois każdego skończonego rozszerzenia $F q$ , jest generatorem każdego skończonego ilorazu absolutnej grupy Galois. W konsekwencji jest to generator topologiczny w zwykłej topologii Krulla na bezwzględnej grupie Galois.

Frobeniusa do schematów

Istnieje kilka różnych sposobów definiowania morfizmu Frobeniusa dla schematu . Najbardziej fundamentalny jest absolutny morfizm Frobeniusa. Jednak bezwzględny morfizm Frobeniusa zachowuje się słabo w sytuacji względnej, ponieważ nie zwraca uwagi na schemat podstawowy. Istnieje kilka różnych sposobów dostosowania morfizmu Frobeniusa do względnej sytuacji, z których każdy jest przydatny w określonych sytuacjach.

Niech

φ : X \to S

będzie morfizmem schematów i oznaczmy bezwzględne morfizmy Frobeniusa

S

i

X

przez odpowiednio

F S

i

F X

. Zdefiniuj

X (p)

jako zmianę podstawy

X

o

F S

. Wtedy powyższy diagram jest komutowany i kwadrat jest kartezjański . Morfizm

F X / S

jest względny Frobeniusa.

Absolutny morfizm Frobeniusa

Załóżmy, że $X$ jest schematem o charakterystyce $p > 0$ . Wybierz otwarty podzbiór afiniczny $U = Spec A$ of $X$ . Pierścień $A$ jest algebrą $F p$ , więc dopuszcza endomorfizm Frobeniusa. Jeśli $V$ jest otwartym podzbiorem afinicznym $U$ , to z natury Frobeniusa morfizm Frobeniusa na $U$ , gdy jest ograniczony do $V$ , jest morfizmem Frobeniusa na $V$ . W konsekwencji morfizm Frobeniusa skleja się, dając endomorfizm $X$ . Ten endomorfizm nazywany jest morfizmem Frobeniusa $X$ , oznaczanym jako $F X$ . Z definicji jest to homeomorfizm $X$ z samym sobą. Morfizm absolutny Frobeniusa $Fp jest$ naturalną transformacją z funktora tożsamości na kategorii schematów do samego siebie.

Jeśli $X$ jest $S$ -schematem, a morfizm Frobeniusa $S$ jest tożsamością, to absolutny morfizm Frobeniusa jest morfizmem $S$ -schematów. Generalnie jednak tak nie jest. Weźmy na przykład pierścień ${\ Displaystyle A = \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$ . Niech $X$ i $S$ będą równe $Spec A$ z mapą struktury $X \to S$ będącą tożsamością. Morfizm Frobeniusa na $A$ wysyła $a$ do $p_$ . $To$ jest morfizm $pomnożenie$ przez element $b$ in zamieniłoby się z zastosowaniem Ale to nie jest prawda, ponieważ:

{\ Displaystyle b \ cdot a = ba \ neq F (b) \ cdot a = b ^ {p} a.}

Pierwsza to akcja $b$ w strukturze algebry, od której $się$ $się$ $a$ druga to akcja algebry, od $\mathbf {F} _{p^{2}}}$ wywołane przez Frobeniusa. $konsekwencji$ morfizm Frobeniusa na $A nie$ morfizmem schematów.

Absolutny morfizm Frobeniusa jest czysto nierozłącznym morfizmem stopnia $p$ . Jego różniczka wynosi zero. Zachowuje produkty, co oznacza, że dla dowolnych dwóch schematów $X$ i $Y$ $F X \times Y = F X \times F Y$ .

Ograniczenie i rozszerzenie skalarów przez Frobeniusa

Załóżmy, że $φ : X \to S$ jest morfizmem struktury dla $S$ -schematu $X$ . Podstawowy schemat $S$ ma morfizm Frobeniusa FS _. Złożenie $φ$ z FS skutkuje $S$ -schematem X _F zwanym _przez Frobeniusa restrykcją skalarów . Ograniczenie skalarów jest właściwie funktorem, ponieważ $S$ -morfizm $X \to Y$ indukuje $S$ -morfizm $X F \to Y F$ .

Rozważmy na przykład pierścień A o charakterystyce $p > 0$ i skończenie przedstawioną algebrę nad A :

{\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}

Działanie A na R jest określone wzorem:

{\ Displaystyle c \ cdot \ suma a _ {\ alfa} X ^ {\ alfa} = \ suma ca_ {\ alfa} X ^ {\ alfa},}

gdzie α jest multiindeksem. Niech $X = Specyfikacja R$ . Wtedy $X F$ jest schematem afinicznym $Spec R$ , ale jego morfizm struktury $Spec R \to Spec A$ , a więc działanie A na R , jest inne:

{\ Displaystyle c \ cdot \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} = \ suma F (c) a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} = \ suma c ^ {p} a_ {\ alfa} X^{\alfa}.}

Ponieważ ograniczenie skalarów przez Frobeniusa jest po prostu złożeniem, wiele właściwości $X$ jest dziedziczonych przez X _F przy odpowiednich hipotezach dotyczących morfizmu Frobeniusa. Na przykład, jeśli $X$ , jak i S _F są typu skończonego, to X _{F również} .

Rozszerzenie skalarów przez Frobeniusa jest zdefiniowane jako:

{\ Displaystyle X ^ {(p)} = X \ razy _ {S} S_ {F}.}

Rzutowanie na czynnik $S$ sprawia, że X $(p) jest$ schematem $S.$ Jeśli $S$ nie wynika jasno z kontekstu, to $X (p)$ jest oznaczane przez $X (p / S)$ . Podobnie jak ograniczenie skalarów, rozszerzenie skalarów jest funktorem: $S$ -morfizm $X \to Y$ określa $S$ -morfizm $X (p) \to Y (p)$ .

Tak jak poprzednio, rozważmy pierścień A i skończenie przedstawioną algebrę R nad A i ponownie niech $X = Spec R$ . Następnie:

{\ Displaystyle X ^ {(p)} = \ nazwa operatora {Spec} R \ czasami _ {A} A_ {F}.}

Globalna sekcja $X (p)$ ma postać:

{\ Displaystyle \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ { i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p }b_{i},}

gdzie α jest multiindeksem i każdy a _iα oraz b _i jest elementem A . Działanie elementu c z A na ten odcinek to:

{\ Displaystyle c \ cdot \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) \ czasami b_ {i} = \ suma _ {i} \left(\suma _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\czasami b_{i}c.}

W konsekwencji $X (p)$ jest izomorficzne z:

{\ Displaystyle \ operatorname {Spec} A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n }]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots,f_{m}^{(p)}\right),}

gdzie, jeśli:

{\ Displaystyle f_ {j} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},

Następnie:

{\ Displaystyle f_ {j} ^ {(p)} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {p} X ^ {\ beta}.}

Podobny opis obowiązuje dla dowolnych A -algebr R .

Ponieważ rozszerzenie skalarów jest zmianą bazy, zachowuje granice i koprodukty. Oznacza to w szczególności, że jeśli $X$ ma strukturę algebraiczną zdefiniowaną w terminach skończonych granic (takich jak schemat grupowy), to $X (p) również$ . Co więcej, bycie zmianą podstawową oznacza, że rozszerzenie skalarów zachowuje właściwości, takie jak bycie typu skończonego, skończona prezentacja, rozdzielność, afiniczność i tak dalej.

Rozszerzenie skalarów jest dobrze zachowane w odniesieniu do zmiany podstawy: Biorąc pod uwagę morfizm $S' \to S$ , istnieje naturalny izomorfizm:

{\ Displaystyle X ^ {(p / S)} \ razy _ {S} S '\ cong (X \ razy _ {S} S') ^ {(p / S')}.}

krewny Frobenius

Niech $X$ będzie $S$ -schematem o morfizmie struktury $φ$ . Względny morfizm Frobeniusa X to morfizm $:$

{\ Displaystyle F_ {X/S}: X \ do X ^ {(p)}}

zdefiniowane przez uniwersalną właściwość pullback X $(p) ($ patrz diagram powyżej):

{\ Displaystyle F_ {X/S} = (F_ {X}, \ varphi).}

Ponieważ bezwzględny morfizm Frobeniusa jest naturalny, względny morfizm Frobeniusa jest morfizmem $S$ -schematów.

Rozważmy na przykład algebrę A :

{\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}

Mamy:

{\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ {(p )}).}

Względny morfizm Frobeniusa to homomorfizm $R (p) \to R$ określony przez:

{\ Displaystyle \ suma _ {i} \ suma _ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ czasami a_ {i \ alfa} \ mapsto \ suma _ {i} \ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa }X^{p\alfa}.}

Względny Frobenius jest zgodny ze zmianą podstawy w tym sensie, że przy naturalnym izomorfizmie $X (p / S) \times S S'$ i $(X \times S S') (p / S')$ mamy:

{\ Displaystyle F_ {X/S} \ razy 1_ {S'} = F_ {X \ razy _ {S} S'/S'}.}

Względny Frobenius jest uniwersalnym homeomorfizmem. Jeśli $X \to S$ jest otwartym zanurzeniem, to jest tożsamością. Jeśli $X \to S jest$ $X (p zamkniętym$ zanurzeniem określonym przez idealny snop I z $OS)$ , to jest określony przez idealny snop $I p$ , a względny Frobenius jest mapą augmentacji $O S / I p \to O S / I$ .

X jest nierozgałęziony względem $S$ wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest nierozgałęziony i wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest monomorfizmem. X jest etalem nad $S$ wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest etalem i wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest izomorfizmem.

Arytmetyczny Frobenius

Arytmetyczny morfizm Frobeniusa schematu $S$ X jest $morfizmem$ :

{\ Displaystyle F_ {X/S} ^ {a}: X ^ {(p)} \ do X \ razy _ {S} S \ cong X}

określony przez:

{\ Displaystyle F_ {X/S} ^ {a} = 1_ {X} \ razy F_ {S}.}

_że jest to podstawowa zmiana FS o 1 _X .

Ponownie, jeśli:

{\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ldots ,f_{m}),}

{\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ czasami _ { A}A_{F},}

wtedy arytmetyczny Frobenius jest homomorfizmem:

{\ Displaystyle \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawo) \ czasami b_ {i} \ mapsto \ suma _ {i} \ suma _{\alfa}a_{i\alfa}b_{i}^{p}X^{\alfa}.}

Jeśli przepiszemy $R (p)$ jako:

{\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ldots,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots,f_{m}^{(p)}\right),}

wtedy ten homomorfizm to:

{\ Displaystyle \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ mapsto \ suma a_ {\ alfa} ^ {p} X ^ {\ alfa}.}

Geometryczny Frobenius

Załóżmy, że bezwzględny morfizm Frobeniusa $S$ jest odwracalny z odwrotnością . ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {-1}}$ . Niech ${\ Displaystyle S_ {F ^ {-1}}}$ oznacza $S$ -schemat ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}: S \ do S}$ . Wtedy istnieje rozszerzenie skalarów $X$ przez ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$ :

{\ Displaystyle X ^ {(1/p)} = X \ razy _ {S} S_ {F ^ {-1}}.}

Jeśli:

{\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ldots ,f_{m}),}

następnie rozszerzenie skalarów o daje: $\ Displaystyle F_ {S} ^ {- 1}}$

{\ Displaystyle R ^ {(1/p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ czasami _ {A} A_ {F^{-1}}.}

Jeśli:

{\ Displaystyle f_ {j} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},

następnie piszemy:

\ Displaystyle f_ {j} ^ {(1/p)} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ { 1/p}X^{\beta},}

a następnie istnieje izomorfizm:

{\ Displaystyle R ^ {(1/p)} \ kong A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(1/p)}, \ ldots, f_ {m }^{(1/p)}).}

Geometryczny morfizm Frobeniusa schematu $S$ X $jest$ morfizmem:

{\ Displaystyle F_ {X/S} ^ {g}: X ^ {(1/p)} \ do X \ razy _ {S }S\cong X}

określony przez:

{\ Displaystyle F_ {X/S} ^ {g} = 1_ {X} \ razy F_ {S} ^ {-1}.}

Jest to $_$ $1 X$ _

Kontynuując nasz przykład A i R powyżej, geometryczny Frobenius jest zdefiniowany jako:

{\ Displaystyle \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawo) \ czasami b_ {i} \ mapsto \ suma _ {i} \ suma _{\alfa}a_{i\alfa}b_{i}^{1/p}X^{\alfa}.}

Po przepisaniu R ^{( 1 / p )} pod względem geometrycznym Frobeniusa jest ${\ Displaystyle \ {f_ {j} ^ {(1/ p)} \}}$

{\ Displaystyle \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ mapsto \ suma a_ {\ alfa} ^ {1/p} X ^ {\ alfa}.}

Arytmetyczny i geometryczny Frobenius jako działania Galois

Załóżmy, że morfizm Frobeniusa $S$ jest izomorfizmem. Następnie generuje podgrupę grupy automorfizmu $S$ . Jeśli $S = Spec k$ jest widmem pola skończonego, to jego grupą automorfizmów jest grupa Galois pola nad polem pierwszym, a morfizm Frobeniusa i jego odwrotność są generatorami grupy automorfizmów. Ponadto $X (p)$ i $X (1/ p)$ mogą być utożsamiane z $X$ . Morfizmy arytmetyczne i geometryczne Frobeniusa są zatem endomorfizmami $X$ , a więc prowadzą do działania grupy Galois k na X .

Rozważmy zbiór K -punktów $X (K)$ . Ten zestaw ma działanie Galois: każdy taki punkt x odpowiada homomorfizmowi $O X \to K$ ze snopka struktury do K , który rozkłada się poprzez k(x) , pole reszty w x , a działanie Frobeniusa na x jest zastosowanie morfizmu Frobeniusa do pola pozostałości. To działanie Galois zgadza się z działaniem arytmetycznego Frobeniusa: Morfizm złożony

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ do k (x) {\ xrightarrow {\ overset {}{F}}} k (x) }

jest taki sam jak morfizm złożony:

{\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} {\ xrightarrow {{\ overset {}{F}} _ {X/S} ^ { a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)}

zgodnie z definicją arytmetycznego Frobeniusa. W konsekwencji arytmetyczny Frobenius wyraźnie przedstawia działanie grupy Galois na punktach jako endomorfizm X .

Frobeniusa dla lokalnych pól

Biorąc pod uwagę nierozgałęzione skończone rozszerzenie $L/K$ pól lokalnych , istnieje koncepcja endomorfizmu Frobeniusa , która indukuje endomorfizm Frobeniusa w odpowiednim rozszerzeniu pól resztowych .

Załóżmy, że $L/K$ jest nierozgałęzionym rozszerzeniem lokalnych ciał, z pierścieniem liczb całkowitych O _K z $K$ takim, że pole resztowe, liczby całkowite z $K$ modulo ich unikalny maksymalny ideał $φ$ , jest skończonym ciałem rzędu $q$ , gdzie $q$ jest potęgą liczby pierwszej. Jeśli $Φ$ jest liczbą pierwszą $L$ leżącą nad $φ$ , to $L/K$ jest nierozgałęzione oznacza z definicji, że liczby całkowite $L$ modulo $Φ$ , pole resztowe $L$ , będzie skończonym ciałem $q f$ rozszerzającym pole resztowe $K$ , gdzie $f$ jest stopniem $L / K$ . Mapę Frobeniusa dla elementów pierścienia liczb całkowitych $O L$ z $L możemy zdefiniować$ jako automorfizm $s Φ$ z $L$ taki, że

{\ Displaystyle s _ {\ Phi} (x) \ równoważnik x ^ {q} \ mod \ Phi.}

Frobenius dla pól globalnych

W algebraicznej teorii liczb $L elementy K$ Frobeniusa definiuje się dla rozszerzeń $L / K$ pól globalnych , które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych $Φ$ z $L$ , które są nierozgałęzione w / . Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, $grupa$ dekompozycji Φ jest grupą Galois rozszerzenia pól reszt. Element Frobeniusa można zatem zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych $L$ jak w sprawie miejscowej, wg

{\ Displaystyle s _ {\ Phi} (x) \ równoważnik x ^ {q} \ mod \ Phi,}

gdzie $q$ jest rzędem pola reszty $O K /(Φ \cap O K)$ .

Windy Frobeniusa są zgodne z p-pochodnymi .

Przykłady

Wielomian

x 5 - x - 1

ma dyskryminację

19 \times 151

,

i tak jest nierozgałęziony w liczbie pierwszej 3; jest to również nieredukowalny mod 3. Zatem dołączenie jego pierwiastka $ρ$ $do ciała 3$ liczb $3 -adycznych$ $Q 3$ daje nierozgałęzione rozszerzenie $Q 3 (ρ)$ Q . Możemy znaleźć obraz $ρ$ pod mapą Frobeniusa, umieszczając pierwiastek najbliżej $ρ 3$ , co możemy zrobić metodą Newtona . Otrzymujemy element pierścienia liczb całkowitych $Z 3 [ρ]$ w ten sposób; jest to wielomian stopnia czwartego w $ρ$ ze współczynnikami w $3$ -adycznych liczbach całkowitych $Z 3$ . Modulo $38$ to wielomian

{\ Displaystyle \ rho ^ {3} + 3 (460 + 183 \ rho -354 \ rho ^ {2} -979 \ rho ^{3}-575\rho ^{4})}

.

To jest algebraiczne względem $Q$ i jest poprawnym globalnym obrazem Frobeniusa pod względem osadzania $Q$ w $Q 3$ ; ponadto współczynniki są algebraiczne, a wynik można wyrazić algebraicznie. Jednakże mają stopień 120, rząd grupy Galois, co ilustruje fakt, że jawne obliczenia są znacznie łatwiejsze do wykonania, jeśli wystarczą wyniki $p -adyczne.$

Jeśli $L/K$ jest abelowym rozszerzeniem pól globalnych, to otrzymujemy znacznie silniejszą kongruencję, ponieważ zależy ona tylko od liczby pierwszej $φ$ w ciele bazowym $K$ . Jako przykład rozważmy rozszerzenie $Q (β)$ Q otrzymane przez dołączenie $spełniającego$ pierwiastka $β$

{\ Displaystyle \ beta ^ {5} + \ beta ^ {4} -4 \ beta ^ {3} -3 \ beta ^ {2} }+3\beta +1=0}

do $Q.$ _ To rozszerzenie jest cykliczne rzędu piątego, z pierwiastkami

{\ Displaystyle 2 \ sałata {\ tfrac {2 \ pi n} {11}}}

dla liczby całkowitej $n$ . Ma korzenie, które są wielomianami Czebyszewa $β$ :

β 2 - 2, β 3 - 3 β, β 5 - 5 β 3 + 5 β

podaj wynik mapy Frobeniusa dla liczb pierwszych 2, 3 i 5 itd. dla większych liczb pierwszych nierównych 11 lub postaci $22 n + 1$ (które się rozdzielają). Od razu widać, jak mapa Frobeniusa daje wynik równy mod $p$ do $p$ -tej potęgi pierwiastka $β$ .

Zobacz też

„Automorfizm Frobeniusa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
„Endomorfizm Frobeniusa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]