Rozszerzenie pola

W matematyce $K$ zwłaszcza w algebrze , rozszerzenie pola to para pól taka , że operacje operacjami L ograniczonymi K W tym przypadku L jest polem rozszerzenia K , a K jest polem podrzędnym L. Na przykład, zgodnie ze zwykłymi pojęciami dodawania i mnożenia , liczby zespolone są rozszerzeniem liczb rzeczywistych ; liczby rzeczywiste są podpolem liczb zespolonych.

Rozszerzenia pola mają fundamentalne znaczenie w algebraicznej teorii liczb oraz w badaniu pierwiastków wielomianowych za pośrednictwem teorii Galois i są szeroko stosowane w geometrii algebraicznej .

Podpole

Podpole pola jest podzbiorem $,$ $_$ $na$ polem $operacji$ odniesieniu do polach Równoważnie podpole jest podzbiorem, który zawiera i jest $ramach$ w operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i $przyjmowania$ niezerowego elementu .

Ponieważ $1 - 1 = 0$ , ta ostatnia definicja implikuje, że $i$ $mają$ sam zerowy.

Na przykład pole liczb wymiernych jest podobszarem liczb rzeczywistych , które samo w sobie jest podobszarem liczb zespolonych. Mówiąc bardziej ogólnie, pole liczb wymiernych jest (lub jest izomorficzne ) podciałem dowolnego pola o charakterystyce ${\ displaystyle 0}$ .

Charakterystyka podpola jest taka sama jak charakterystyka większego pola .

Pole rozszerzenia

Jeśli K jest podciałem L , to L jest polem rozszerzenia lub po prostu rozszerzeniem K , a ta para pól jest rozszerzeniem pola . Takie rozszerzenie pola oznaczamy L / K (czytane jako „ L nad K ”).

Jeśli L jest przedłużeniem F , które z kolei jest przedłużeniem K , to mówi się, że F jest polem pośrednim (lub pośrednim rozszerzeniem lub podrozszerzeniem ) L / K .

Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola L / K , większe ciało L jest przestrzenią K - wektorową . Wymiar tej przestrzeni wektorowej nazywany jest stopniem rozszerzenia i jest oznaczony jako [ L : K ].

Stopień rozszerzenia wynosi 1 wtedy i tylko wtedy, gdy dwa pola są równe. W tym przypadku rozszerzenie jest trywialnym rozszerzeniem . Przedłużenia stopnia 2 i 3 nazywane są rozszerzeniami kwadratowymi i sześciennymi . Skończone rozszerzenie to rozszerzenie, które ma skończony stopień.

Mając dane dwa rozszerzenia L / K i M / L , rozszerzenie M / K jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy zarówno L / K , jak i M / L są skończone. W tym przypadku jeden ma

{\ Displaystyle [M: K] = [M: L] \ cdot [L: K].}

Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola L / K i podzbiór S z L , istnieje najmniejsze podciało L , które zawiera K i S. Jest to przecięcie wszystkich podpól L , które zawierają K i S i jest oznaczone przez K ( S ). Mówi się, że K ( S ) jest polem generowanym przez S nad K , a S jest zbiorem generującym K ( S ) nad K. S $} \}}$ jest skończony, pisze się ${ \ Displaystyle K (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ zamiast ${\ Displaystyle K (\ {x_ {1}, \ ldots, x_ { n}\}),}$ i mówi się, że K ( S ) jest skończenie generowane nad K . Jeśli S składa się z pojedynczego elementu s , rozszerzenie K ( s ) / K nazywamy rozszerzeniem prostym , a s nazywamy elementem pierwotnym rozszerzenia.

, że pole rozszerzenia postaci K ( S ) wynika z dodania S do K .

W charakterystyce 0 każde skończone rozszerzenie jest rozszerzeniem prostym. Jest to twierdzenie o elementach pierwotnych , które nie jest prawdziwe dla ciał o niezerowej charakterystyce.

Jeśli proste rozszerzenie K ( s ) / K nie jest skończone, ciało K ( s ) jest izomorficzne z ciałem ułamków wymiernych w s nad K .

Zastrzeżenia

Notacja L / K jest czysto formalna i nie implikuje tworzenia pierścienia ilorazowego lub grupy ilorazowej ani żadnego innego rodzaju podziału. Zamiast tego ukośnik wyraża słowo „nad”. stosuje się notację L : K.

Często pożądane jest mówienie o rozszerzeniach pól w sytuacjach, gdy małe pole nie jest faktycznie zawarte w większym, ale jest naturalnie osadzone. W tym celu abstrakcyjnie definiuje się rozszerzenie pola jako iniekcyjny homomorfizm pierścienia między dwoma polami. Każdy niezerowy homomorfizm pierścieniowy między ciałami jest iniekcyjny, ponieważ ciała nie posiadają nietrywialnych ideałów właściwych , więc rozszerzenia ciał są właśnie morfizmami w kategorii ciał .

Odtąd będziemy pomijać homomorfizm iniekcyjny i zakładać, że mamy do czynienia z rzeczywistymi podpolami.

Przykłady

Pole liczb zespolonych ${R}$ polem rozszerzenia pola liczb rzeczywistych i z kolei jest $\ mathbb$ $}$ pole rozszerzenia pola liczb wymiernych ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ . $że$ więc jasne, rozszerzeniem pola. Mamy ${\ Displaystyle [\ mathbb {C}: \ mathbb {R}] = 2},$ ponieważ ${\ Displaystyle \ {1, i \}}$ jest podstawą, więc rozszerzenie $_$ _ Jest to proste rozszerzenie, ponieważ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} (i).}$ ${\ Displaystyle [\ mathbb {R}: \ mathbb {Q}] = {\ mathfrak {c}} }$ ( liczność kontinuum ), więc to rozszerzenie jest nieskończone.

Pole

{\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) = \ lewo \ {a + b {\ sqrt {2}} \mid a,b\w \mathbb {Q} \right\},}

$również$ jest polem rozszerzenia wyraźnie prostym rozszerzeniem Stopień wynosi 2 $,$ podstawa

Pole

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbb {Q} \ lewo ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}} \ prawej) & = \ mathbb {Q} \ lewo ({{ \sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb { Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\ sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{wyrównane}}}

jest polem rozszerzenia zarówno stopnia 2 $\ Displaystyle \ mathbb {Q}$ jak i 4 odpowiednio ${\ sqrt {2}})}$ Jest to również proste rozszerzenie, jak można to pokazać

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) & = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3} })^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}. \end{wyrównane}}}

Skończone rozszerzenia są również nazywane $algebraicznymi$ polami liczbowymi i są ważne w liczb . Innym polem rozszerzenia liczb $ważne w teorii liczb,$ nie jest rozszerzeniem skończonym, jest pole liczb p-adycznych dla liczby pierwszej p .

Powszechne jest konstruowanie pola rozszerzenia danego pola K jako pierścienia ilorazowego pierścienia wielomianu K [ X ] w celu „utworzenia” pierwiastka dla danego wielomianu f ( X ). Załóżmy na przykład, że K nie zawiera żadnego elementu x z x ² = −1. ${\ Displaystyle L = K [X]/(X ^ {2}+1)}$ wielomian jest nieredukowalny w $K$ [ X ], w konsekwencji wielomian maksymalny i L 2 jest polem rozszerzenia K , które zawiera element, którego kwadrat wynosi -1 (mianowicie klasa pozostałości X ).

Powtarzając powyższą konstrukcję, można skonstruować pole rozdzielające dowolnego wielomianu z K [ X ]. Jest to pole rozszerzenia L z K , w którym dany wielomian dzieli się na iloczyn czynników liniowych.

Jeśli p jest dowolną liczbą pierwszą , a n jest dodatnią liczbą całkowitą, mamy ciało skończone GF( p ⁿ ) z p ⁿ elementami; jest to pole rozszerzenia pola skończonego ${\ Displaystyle \ operatorname {GF} (p) = \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ z p elementami.

Mając dane ciało K , możemy rozważyć ciało K ( X ) wszystkich funkcji wymiernych w zmiennej X o współczynnikach w K ; elementy K ( X ) są ułamkami dwóch wielomianów nad K , a K ( X ) jest polem ułamków pierścienia wielomianu K [ X ]. To pole funkcji wymiernych jest polem rozszerzenia K . To rozszerzenie jest nieskończone.

Biorąc pod uwagę powierzchnię Riemanna M , zbiór wszystkich funkcji meromorficznych zdefiniowanych na M jest polem oznaczonym przez ${\ displaystyle \ mathbb {C} (M).}$ $to$ transcendentalne pole rozszerzenia , jeśli zidentyfikujemy każdą liczbę zespoloną z odpowiednią stałą funkcją zdefiniowaną na M . Mówiąc bardziej ogólnie, biorąc pod uwagę rozmaitość algebraiczną V na pewnym ciele K , to pole funkcyjne V , składające się z funkcji wymiernych zdefiniowanych na V i oznaczonych przez K ( V ), jest ciałem rozszerzającym K .

Rozszerzenie algebraiczne

Element x rozszerzenia ciała L / K jest algebraiczny nad K , jeśli jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach w K . Na przykład $jest$ algebraiczny względem liczb wymiernych, ponieważ jest pierwiastkiem z ${\ Displaystyle x ^ {2} -2.}$ element x z L jest algebraiczne względem K , wielomian moniczny najniższego stopnia, którego pierwiastkiem jest x , nazywany jest wielomianem minimalnym x . Ten minimalny wielomian jest nieredukowalny nad K .

Element s z L jest algebraiczny nad K wtedy i tylko wtedy, gdy proste rozszerzenie K ( s ) / K jest skończonym rozszerzeniem. W tym przypadku stopień rozszerzenia jest równy stopniowi minimalnego wielomianu, a podstawa K - przestrzeni wektorowej K ( s ) składa się z ${\ Displaystyle 1, s,s^{2},\ldots,s^{d-1},}$ gdzie d jest stopniem minimalnego wielomianu.

Zbiór elementów L , które są algebraiczne nad K , tworzy podrozszerzenie, które nazywa się domknięciem algebraicznym K w L . Wynika to z poprzedniej charakterystyki: jeśli s i t są algebraiczne, to rozszerzenia K ( s ) / K i K ( s ) ( t ) / K ( s ) są skończone. Zatem K ( s , t ) / K jest również skończone, podobnie jak podrozszerzenia K ( s ± t ) / K , K ( st ) / K i K (1/ s ) / K (jeśli s ≠ 0 ). Wynika z tego, że s ± t , st i 1/ s są algebraiczne.

Rozszerzenie algebraiczne L / K jest rozszerzeniem takim, że każdy element L jest algebraiczny nad K . Równoważnie, rozszerzenie algebraiczne jest rozszerzeniem generowanym przez elementy algebraiczne. Na przykład ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$ jest algebraicznym rozszerzeniem ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ponieważ i $są$ $_$ względem

Proste rozszerzenie jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończone. Oznacza to, że rozszerzenie jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą jego skończonych podrozszerzeń i że każde skończone rozszerzenie jest algebraiczne.

Każde pole K ma domknięcie algebraiczne, które jest z dokładnością do izomorfizmu największym polem rozszerzenia K , które jest algebraiczne na K , a także najmniejszym polem rozszerzenia, takim że każdy wielomian o współczynnikach w K ma w sobie pierwiastek. Na przykład jest algebraicznym domknięciem , $ale$ $C}$ algebraicznym domknięciem , ponieważ tak nie jest do {\ displaystyle \ $mathbb$ algebraiczne względem $)$ na przykład $π$ nie jest algebraiczne względem ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ .

Transcendentalne rozszerzenie

Zobacz stopień transcendencji , aby zapoznać się z przykładami i obszerniejszą dyskusją na temat rozszerzeń transcendentalnych.

Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola L / K , podzbiór S z L jest nazywany algebraicznie niezależnym od K , jeśli między elementami S nie istnieje nietrywialny związek wielomianowy ze współczynnikami w K . Największa liczność zbioru algebraicznie niezależnego nazywana jest stopniem transcendencji L / K . Zawsze można znaleźć zbiór S , algebraicznie niezależny od K , taki że L / K ( S ) jest algebraiczny. Taki zbiór S nazywamy bazą transcendencji L / K . Wszystkie podstawy transcendencji mają tę samą liczność, równą stopniowi transcendencji rozciągłości. rozszerzenie L / K jest czysto transcendentalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podstawa transcendencji S z L / K taka, że L = K ( S ). Takie rozszerzenie ma tę właściwość, że wszystkie elementy L z wyjątkiem elementów K są transcendentalne względem K , ale istnieją rozszerzenia z tą właściwością, które nie są czysto transcendentalne - klasa takich rozszerzeń przyjmuje postać L / K , gdzie oba L i K są algebraicznie domknięte. Ponadto, jeśli L / K jest czysto transcendentalne, a S jest podstawą transcendencji rozszerzenia, niekoniecznie wynika z tego, że L = K ( S ).

$_$ przykład względem _ _ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$ Zbiór $x$ algebraicznie niezależny, jest . $_$ rozszerzenie _ ${\ displaystyle \ {x \}}$ jest podstawą transcendencji. Nie generuje całego rozszerzenia, ponieważ nie ma $.$ $wielomianowego$ Ale łatwo zauważyć, że $\sqrt {x}}),}$ transcendencji, która generuje $)$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (x$ więc to rozszerzenie jest rzeczywiście czysto transcendentalne.

Rozszerzenia normalne, rozdzielne i Galois

Rozszerzenie algebraiczne L / K nazywamy normalnym , jeśli każdy nierozkładalny wielomian w K [ X ] , który ma pierwiastek w L , całkowicie rozkłada się na czynniki liniowe po L. Każde rozszerzenie algebraiczne F / K dopuszcza domknięcie normalne L , które jest polem rozszerzenia F takim, że L / K jest normalne i które jest minimalne przy tej własności.

Rozszerzenie algebraiczne L / K nazywamy rozdzielnym , jeśli minimalny wielomian każdego elementu L nad K jest rozdzielny , tj. nie ma powtarzających się pierwiastków w domknięciu algebraicznym nad K . Rozszerzenie Galois to rozszerzenie pola, które jest zarówno normalne, jak i rozdzielne.

Konsekwencją twierdzenia o elemencie pierwotnym jest to, że każde skończone rozłączne rozszerzenie ma element pierwotny (tzn. jest proste).

Mając dowolne rozszerzenie ciała L / K , możemy rozważyć jego grupę automorfizmów Aut( L / K ), składającą się ze wszystkich automorfizmów ciała α : L → L gdzie α ( x ) = x dla wszystkich x w K . Gdy rozszerzeniem jest Galois, ta grupa automorfizmów nazywana jest grupą Galois rozszerzenia. Rozszerzenia, których grupa Galois jest abelowa , nazywane są rozszerzeniami abelowymi .

Dla danego rozszerzenia pola L / K często interesują nas ciała pośrednie F (podciała L zawierające K ). Znaczenie rozszerzeń Galois i grup Galois polega na tym, że pozwalają one na pełny opis pól pośrednich: istnieje bijekcja między polami pośrednimi a podgrupami grupy Galois, opisana przez fundamentalne twierdzenie teorii Galois .

Uogólnienia

Rozszerzenia pola można uogólnić na rozszerzenia pierścieni , które składają się z pierścienia i jednego z jego podpierścieni . Bliższym nieprzemiennym analogiem są centralne algebry proste (CSA) - rozszerzenia pierścieni na ciele, które są prostą algebrą (bez nietrywialnych dwustronnych ideałów, tak jak dla ciała) i gdzie środek pierścienia jest dokładnie pole. Na przykład jedynym skończonym rozszerzeniem pola liczb rzeczywistych są liczby zespolone, podczas gdy kwaterniony są centralną prostą algebrą liczb rzeczywistych, a wszystkie CSA nad liczbami rzeczywistymi są odpowiednikami Brauera liczb rzeczywistych lub kwaternionów. CSA można dalej uogólnić na algebry Azumayi , gdzie pole podstawowe jest zastąpione przemiennym pierścieniem lokalnym .

Rozszerzenie skalarów

Biorąc pod uwagę rozszerzenie pola, można „ rozszerzyć skalary ” na powiązane obiekty algebraiczne. Na przykład, biorąc pod uwagę rzeczywistą przestrzeń wektorową, można stworzyć złożoną przestrzeń wektorową poprzez złożoność . Oprócz przestrzeni wektorowych można wykonać rozszerzenie skalarów dla algebr asocjacyjnych zdefiniowanych w polu, takich jak wielomiany lub algebry grupowe i związane z nimi reprezentacje grupowe . Rozszerzenie skalarów wielomianów jest często używane w sposób dorozumiany, po prostu uznając współczynniki za elementy większego pola, ale można je również rozpatrywać bardziej formalnie. Rozszerzenie skalarów ma wiele zastosowań, co omówiono w rozszerzeniu skalarów: zastosowania .

Zobacz też

Notatki

^ Fraleigh (1976 , s. 293)
^ Herstein (1964 , s. 167)
^ McCoy (1968 , s. 116)
^ Fraleigh (1976 , s. 298)
^ Herstein (1964 , s. 193)
^ Fraleigh (1976 , s. 363)
^ Fraleigh (1976 , s. 319)
^ Herstein (1964 , s. 169)

Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (wyd. 2), Czytanie: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
Herstein, IN (1964), Tematy z algebry , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Lang, Serge (2004), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (Poprawiony druk czwarty, poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
McCoy, Neal H. (1968), Wprowadzenie do współczesnej algebry , wydanie poprawione , Boston: Allyn and Bacon , LCCN 68015225

Linki zewnętrzne

„Rozszerzenie pola” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976 , s. 293)

[2] Herstein (1964 , s. 167)

[3] McCoy (1968 , s. 116)

[4] Fraleigh (1976 , s. 298)

[5] Herstein (1964 , s. 193)

[6] Fraleigh (1976 , s. 363)

[7] Fraleigh (1976 , s. 319)

[8] Herstein (1964 , s. 169)