Funkcja stała

Nie mylić ze stałą funkcji .

W matematyce funkcja stała to funkcja , której wartość (wyjściowa) jest taka sama dla każdej wartości wejściowej. Na przykład funkcja y ( x ) = 4 jest funkcją stałą, ponieważ wartość y ( x ) wynosi 4 niezależnie od wartości wejściowej x (patrz ilustracja).

Podstawowe właściwości

Jako funkcja o wartościach rzeczywistych argumentu o wartościach rzeczywistych, funkcja stała ma ogólną postać y ( x ) = c lub po prostu y = c .

Przykład: Funkcja y ( x ) = 2 lub po prostu y = 2 to specyficzna stała funkcja, której wartością wyjściową jest c = 2 . Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych R . Koddomena tej funkcji to tylko {2} . Zmienna niezależna x nie pojawia się po prawej stronie wyrażenia funkcji, więc jej wartość jest „podstawiana próżniowo”. Mianowicie y (0) = 2 , y (−2,7) = 2 , y (π) = 2 i tak dalej. Bez względu na to, jaka wartość x jest wprowadzona, wyjściem jest „2”.

Przykład ze świata rzeczywistego: sklep, w którym każdy przedmiot jest sprzedawany za 1 dolara.

Wykres funkcji stałej y = c jest linią poziomą na płaszczyźnie przechodzącej przez punkt (0, c ) .

W kontekście wielomianu w jednej zmiennej x , niezerowa stała funkcja jest wielomianem stopnia 0, a jej ogólna postać to f ( x ) = c , gdzie c jest niezerowe. Ta funkcja nie ma punktu przecięcia z x , to znaczy nie ma pierwiastka (zera) . Z drugiej strony wielomian f ( x )=0 jest funkcją identycznie zerową . Jest to (trywialna) stała funkcja, a każde x jest pierwiastkiem. Jego wykresem jest x na płaszczyźnie.

Funkcja stała jest funkcją parzystą , tzn. wykres funkcji stałej jest symetryczny względem osi y .

W kontekście, w którym jest zdefiniowana, pochodna funkcji jest miarą szybkości zmian wartości funkcji względem zmiany wartości wejściowych. Ponieważ stała funkcja się nie zmienia, jej pochodna wynosi 0. Często jest to zapisywane: ${\ Displaystyle (x \ mapsto c)'=0}$ . Odwrotność jest również prawdziwa. Mianowicie, jeśli y ′( x ) = 0 dla wszystkich liczb rzeczywistych x , to y jest funkcją stałą.

Przykład: Biorąc pod uwagę stałą funkcję ${\ Displaystyle y (x) = - {\ sqrt {2}}}$ . Pochodna y jest identycznie zerową funkcją ${\ Displaystyle y' (x) = \ lewo (x \ mapsto - {\ sqrt {2}} \ prawo)' =0}$ .

Inne właściwości

W przypadku funkcji między zbiorami z góry uporządkowanymi , funkcje stałe są zarówno zachowujące porządek, jak i odwracające porządek ; odwrotnie , jeśli f jest zarówno zachowujące porządek, jak i odwracającym porządek, i jeśli dziedziną f jest sieć , to f musi być stała.

• Każda stała funkcja, której dziedzina i koddomena są tym samym zbiorem X , jest lewym zerem monoidu pełnej transformacji na X , co implikuje, że jest ona również idempotentna .
• Ma zerowe nachylenie / nachylenie .
• Każda stała funkcja między przestrzeniami topologicznymi jest ciągła .
• Stała funkcja działa przez zbiór jednopunktowy , obiekt końcowy w kategorii zbiorów . Ta obserwacja ma zasadnicze znaczenie dla F. Williama Lawvere'a , Elementarnej Teorii Kategorii Zbiorów (ETCS).
• Dla dowolnego niepustego Y każdy zestaw X jest izomorficzny ze zbiorem stałych funkcji w ${\ displaystyle Y \ do X}$ . Dla każdego Y i każdego elementu x w X istnieje unikalna funkcja ${\ Displaystyle {\ tylda {x}}: Y \ do X}$ taka, że ${\ displaystyle { \ tylda {x}} (y) = x}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle y \ w Y}$ . $Y$ funkcja spełnia dla $X$ \ wszystko ${\ Displaystyle y, y' \ w Y}$ , ${\ displaystyle f}$ jest z definicji funkcją stałą.
  • W konsekwencji zbiór jednopunktowy jest generatorem w kategorii zbiorów.
  • $}$ zestaw jest kanonicznie izomorficzny z zestawem funkcji lub hom set $\$$)$${\ Displaystyle \ operatorname {hom} (1, X) X {$ w kategorii zbiorów, gdzie 1 to zbiór jednopunktowy. Z tego powodu i sprzężenia między iloczynami kartezjańskimi a hom w kategorii zbiorów (a więc istnieje izomorfizm kanoniczny między funkcjami dwóch zmiennych i funkcjami jednej zmiennej wycenianymi w funkcjach innej (pojedynczej) zmiennej, ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {hom} (X \ razy Y, Z) \ cong \ nazwa operatora {hom} (X (\ nazwa operatora {hom} (Y ,Z))}$ ) kategoria zbiorów jest zamkniętą kategorią monoidalną z iloczynem kartezjańskim zbiorów jako iloczynem tensorowym i zbiorem jednopunktowym jako jednostką tensorową W izomorfizmach ${\ Displaystyle \ lambda: 1 \ razy X \ cong X \ cong X \ razy 1: \ rho}$ naturalne w X , lewa i prawa jednostka to projekcje ${\ displaystyle p_ {1}}$ i ${\ displaystyle p_ {2}}$ uporządkowane pary ${\ Displaystyle (*, x)}$ i ${\ Displaystyle (x, *)}$ odpowiednio do elementu , gdzie ${\ Displaystyle x}$${\ displaystyle *}$ jest unikalnym punktem w zbiorze jednopunktowym.

Funkcja na zbiorze spójnym jest lokalnie stała wtedy i tylko wtedy, gdy jest stała.

• Herrlich, Horst i Strecker, George E., teoria kategorii , Heldermann Verlag (2007).

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Funkcja stała” . MathWorld .
• „Funkcja stała” . Planeta Matematyka .