Funkcja o wartościach całkowitych

Funkcja podłogi na liczbach rzeczywistych. Jego nieciągłości są pokazane jako białe kontury dysków z niebieskimi kółkami.

W matematyce funkcja o wartościach całkowitych to funkcja , której wartości są liczbami całkowitymi . Innymi słowy, jest to funkcja, która przypisuje liczbę całkowitą każdemu członowi swojej dziedziny .

podłogi i sufitu są przykładami funkcji o wartościach całkowitych zmiennej rzeczywistej , ale w przypadku liczb rzeczywistych i ogólnie w (nierozłącznych) przestrzeniach topologicznych funkcje o wartościach całkowitych nie są szczególnie przydatne. Każda taka funkcja w połączonej przestrzeni albo ma nieciągłości , albo jest stała . Z drugiej strony, na dyskretnych i innych całkowicie rozłączonych przestrzeniach funkcje o wartościach całkowitych mają mniej więcej takie samo znaczenie jak funkcje o wartościach rzeczywistych mieć na przestrzeniach niedyskretnych.

Każda funkcja z naturalnymi lub nieujemnymi wartościami całkowitymi jest częściowym przypadkiem funkcji o wartościach całkowitych.

Przykłady

Funkcje o wartościach całkowitych zdefiniowane w dziedzinie wszystkich liczb rzeczywistych obejmują funkcje podłogi i sufitu, funkcję Dirichleta , funkcję znaku i funkcję kroku Heaviside'a (z wyjątkiem ewentualnie 0).

Funkcje o wartościach całkowitych zdefiniowane w dziedzinie nieujemnych liczb rzeczywistych obejmują funkcję pierwiastka kwadratowego liczb całkowitych i funkcję liczenia liczb pierwszych .

Właściwości algebraiczne

Na dowolnym zbiorze $X$ funkcje o wartościach całkowitych tworzą pierścień z punktowymi operacjami dodawania i mnożenia, a także algebra na pierścieniu $Z$ liczb całkowitych. Ponieważ ten ostatni jest pierścieniem uporządkowanym , funkcje tworzą pierścień częściowo uporządkowany :

{\ Displaystyle f \ równoważnik g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ równoważnik g (x).}

Używa

Teoria grafów i algebra

Funkcje o wartościach całkowitych są wszechobecne w teorii grafów . Mają również podobne zastosowania w geometrycznej teorii grup , gdzie funkcja długości reprezentuje pojęcie normy , a słowo metryka reprezentuje pojęcie metryki .

Wielomiany o wartościach całkowitych są ważne w teorii pierścieni .

Logika matematyczna i teoria obliczalności

W logice matematycznej pojęcia takie jak prymitywne funkcje rekurencyjne i μ-rekurencyjne reprezentują funkcje kilku zmiennych naturalnych lub innymi słowy funkcje na $N n$ . Numeracja Gödla , zdefiniowana na dobrze sformułowanych formułach jakiegoś języka formalnego , jest funkcją o wartościach naturalnych.

Teoria obliczalności opiera się zasadniczo na liczbach naturalnych i funkcjach naturalnych (lub całkowitych) na nich.

Teoria liczb

W teorii liczb wiele funkcji arytmetycznych ma wartości całkowite.

Informatyka

W programowaniu komputerów wiele funkcji zwraca wartości typu integer ze względu na prostotę implementacji.

Zobacz też

Funkcja
$x \mapsto f (x)$
Przykłady dziedzin i kodomeny
${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {B}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {B}}$ → ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {B} ^ {n} }$ → ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ → ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ → ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} }$ → ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ → ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ → ${\ Displaystyle X}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} }$ → ${\ Displaystyle X}$
Klasy/właściwości
Stały Tożsamość Liniowy Wielomian Racjonalny Algebraiczny Analityczny Gładki Ciągły Wymierny iniekcyjne Surjekcja Bijektywny
Konstrukcje
Ograniczenie Kompozycja λ Odwrotność
Uogólnienia
Częściowy Wielowartościowy Domniemany przestrzeń