Częściowo zamówiony pierścionek

W algebrze abstrakcyjnej częściowo uporządkowany pierścień $to$ pierścień ( A , + , · wraz z kompatybilnym porządkiem częściowym , to znaczy porządkiem częściowym na podstawowym zbiorze A , który jest zgodny z operacjami pierścieniowymi w tym sensie, że spełnia:

$${\ Displaystyle x \ równoważnik y {\ tekst {implikuje}} x + z \ równoważnik y + z}$$

I

$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x {\ tekst {i}} 0 \ równoważnik y {\ tekst {sugeruje, że}} 0 \ równoważnik x \ cdot y}$$

dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y, z \ w A}$ . Istnieją różne rozszerzenia tej definicji, które ograniczają pierścień, porządek częściowy lub jedno i drugie. $pierścieniem$ przykład częściowo uporządkowany $uporządkowaną$ grupą Archimedesa jest częściowo uporządkowanym , gdzie jest

Uporządkowany pierścień , zwany także $uporządkowanym$ uporządkowanym pierścieniem , $jest$ częściowo pierścieniem całkowitym porządkiem

L $pierścieniem$ pierścień lub pierścień uporządkowany w sieci $uporządkowany$ częściowo uporządkowanym , gdzie w

Nieruchomości

Grupa addytywna pierścienia częściowo uporządkowanego jest zawsze grupą częściowo uporządkowaną .

$0 \ równoważnik x,}$ pierścienia (zbiór elementów, dla których $Displaystyle$ zwany także dodatnim stożkiem pierścienia) jest zamknięty przez dodanie i ${\ Displaystyle P + P \ subseteq$ , to znaczy, jeśli jest zbiorem nieujemnych elementów częściowo uporządkowanego pierścienia, to $P.$ i ${\ Displaystyle P \ cdot P \ subseteq P.}$ Ponadto ${\ Displaystyle P \ cap (-P) = \ {0 \}.}$

Odwzorowanie zgodnego porządku częściowego na pierścieniu $na$ zbiór jego nieujemnych elementów jest do jednego ; to znaczy zgodny porządek częściowy jednoznacznie określa zbiór elementów nieujemnych, a zbiór elementów jednoznacznie określa zgodny porządek częściowy, jeśli taki istnieje.

Jeśli jest podzbiorem pierścienia $\ Displaystyle$ : $S \ subseteq A}$

1. ${\ Displaystyle 0 \ w S}$
2. ${\ Displaystyle S \ czapka (-S) = \ {0 \}}$
3. ${\ Displaystyle S + S \ subseteq S}$
4. ${\ Displaystyle S \ cdot S \ subseteq S}$

wtedy relacja gdzie ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$$wtedy$ i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle yx \ w S}$ definiuje zgodny porządek częściowy na $A}$$Displaystyle$ (to znaczy częściowo uporządkowanym

W dowolnym l-ringu wartość bezwzględna ${\ Displaystyle | x |}$$elementu$ można zdefiniować jako ${\ Displaystyle x \ vee (-x)}$ gdzie $y}$${\ Displaystyle x \$ oznacza element maksymalny . dla każdego $,$ y $\ displaystyle y,$

$${\ Displaystyle | x \ cdot y |\ równoważnik | x | \ cdot | y |}$$

posiada.

pierścienie typu F

Pierścień F lub pierścień Pierce'a-Birkhoffa to pierścień uporządkowany w sieci ${\ Displaystyle (A, \ równoważnik)},$ w którym ${\ Displaystyle x \ klin y = 0}$ i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik z}$ oznacza, że ​​dla wszystkich ${\ Displaystyle zx \ klin y = xz \ klin y =$${\ displaystyle x, y, z \ in A.}$ Zostały one po raz pierwszy wprowadzone przez Garretta Birkhoffa i Richarda S. Pierce'a w 1956 r. W artykule zatytułowanym „Pierścienie uporządkowane kratą”, próbując ograniczyć klasę l-pierścieni tak, aby wyeliminować szereg przykładów patologicznych. Na przykład Birkhoff i Pierce zademonstrowali l-ring z 1, w którym 1 nie jest dodatnie, mimo że jest kwadratem. Dodatkowa hipoteza wymagana od F-ringów eliminuje tę możliwość.

Przykład

Niech $będzie$ przestrzenią Hausdorffa i $będzie$ przestrzenią wszystkich ciągłych funkcji na X _ _ _ ${\ Displaystyle X.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} (X)}$ to archimedesowy pierścień f z 1 w ramach następujących operacji punktowych:

$${\ Displaystyle [f + g] (x) = f (x) + g (x)$$

$${\ Displaystyle [fg] (x) = f (x) \ cdot g (x)}$$

$${\ Displaystyle [f \ klin g] (x) = f (x) \ klin g (x).}$$

$dość$ punktu widzenia . Na przykład lokalizacje , $pierścienie$ lub granice pierścieni postaci ogólnie nie mają Znacznie bardziej elastyczną klasą pierścieni typu f, zawierającą wszystkie pierścienie o funkcjach ciągłych i przypominającą wiele właściwości tych pierścieni, jest klasa rzeczywistych pierścieni zamkniętych .

Nieruchomości

• Bezpośrednim produktem f-ringów jest f-ring, l-podpierścień f-ringu jest f-ringiem, a l-homomorficzny obraz f-ringu jest f-ringiem.

• ${\ Displaystyle | xy|=| x||y|}$ w pierścieniu F.

• Kategoria Arf składa się z f-pierścieni Archimedesa z 1 i l-homomorfizmów, które zachowują tożsamość.

• Każdy uporządkowany pierścień jest pierścieniem F, więc każdy podrzędny związek uporządkowanych pierścieni jest również pierścieniem F. Zakładając aksjomat wyboru , twierdzenie Birkhoffa pokazuje odwrotność, i że l-pierścień jest f-pierścieniem wtedy i tylko wtedy, gdy jest l-izomorficzny z sub-prostym związkiem uporządkowanych pierścieni. Niektórzy matematycy przyjmują to za definicję pierścienia f.

Formalnie zweryfikowane wyniki dla przemiennych uporządkowanych pierścieni

IsarMathLib, biblioteka programu do sprawdzania twierdzeń Isabelle , zawiera formalne weryfikacje kilku fundamentalnych wyników dotyczących przemiennych pierścieni uporządkowanych. Wyniki są udowodnione w ring1 .

Załóżmy $uporządkowanym$${\ Displaystyle x, y, z \ w A.}$ przemiennym Następnie:

	przez
Grupa addytywna $uporządkowaną$ grupą	OrdRing_ZF_1_L4
${\ Displaystyle x \ równoważnik y {\ tekst {jeśli i tylko wtedy, gdy}} xy \ równoważnik 0}$	OrdRing_ZF_1_L7
${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$ i ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik z}$ implikować ${\ Displaystyle xz \ równoważnik yz}$ i ${\ Displaystyle zx \ równoważnik zy}$	OrdRing_ZF_1_L9
${\ Displaystyle 0 \ równoważnik 1}$	zamówienie_one_is_nonneg
${\ Displaystyle | xy | = | x || y |}$	OrdRing_ZF_2_L5
${\ Displaystyle | x + y | \ równoważnik | x | + | y ​​|}$	ord_ring_triangle_ineq
${\ displaystyle x}$ jest albo w zbiorze dodatnim, równym 0, albo minus zestaw dodatni.	OrdRing_ZF_3_L2
Zbiór dodatnich elementów $gdy$$zera$ podczas mnożenia wtedy i tylko ma dzielników	OrdRing_ZF_3_L3
Jeśli $)$ nietrywialny ( , $to$ jest	porządek_pierścień_nieskończony

Zobacz też

• Grupa uporządkowana liniowo - Grupa o niezmiennym translacyjnie porządku całkowitym; tzn. jeśli a ≤ b, to ca ≤ cb
• Pole uporządkowane – Obiekt algebraiczny o uporządkowanej strukturze
• Grupa uporządkowana – Grupa z kompatybilnym zamówieniem częściowym Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań
• Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa
• Uporządkowana przestrzeń wektorowa - Przestrzeń wektorowa z częściowym porządkiem
• Przestrzeń częściowo uporządkowana - Przestrzeń topologiczna częściowo uporządkowana
• Przestrzeń Riesza - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako krata

Dalsza lektura

• Birkhoff, G.; R. Pierce (1956). „Pierścienie uporządkowane kratą”. Anais da Academia Brasileira de Ciências . 28 : 41–69.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Pierścienie funkcji ciągłych. Przedruk wydania z 1960 roku. Graduate Texts in Mathematics, nr 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. XIII + 300 s.

Linki zewnętrzne

• „Zamówiony pierścień” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Częściowo uporządkowany pierścień w PlanetMath .