Uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa

W matematyce, szczególnie w analizie funkcjonalnej i teorii porządku , uporządkowana topologiczna przestrzeń wektorowa , zwana także uporządkowaną TVS , to topologiczna przestrzeń wektorowa (TVS) X , która ma częściowy porządek ≤ czyniąc ją uporządkowaną przestrzenią wektorową , której dodatni stożek ${\ Displaystyle C: = \ lewo \ {x \ w X: x \ geq 0 \ prawo \}}$ jest zamkniętym podzbiorem X. _ Uporządkowane TVS mają ważne zastosowania w teorii spektralnej .

Normalny stożek

Główny artykuł: normalny stożek (analiza funkcjonalna)

Jeśli C jest stożkiem w TVS X , to C jest normalne , jeśli $mathcal {U}} \ prawej] _ {C}}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}}}$ jest filtrem sąsiedztwa na początku, $i$ _ ${\ Displaystyle [U] _ {C}: = \ lewo (U + C \ prawo) \ czapka \ lewo (UC \ prawo)}$ jest C - nasycony kadłub podzbioru U z X .

Jeśli C jest stożkiem w TVS X (nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi), to następujące są równoważne:

1. C to normalny stożek.
2. Dla każdego filtra w $to$ , jeśli ${\ displaystyle \ lim {\ mathcal {F}} = 0},$ lim $\ displaystyle \ lim \ left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0}$ .
3. Istnieje baza sąsiedztwa $\left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B}$ X taka , że ​​implikuje ${\ displaystyle b {\ displaystyle {\$${$$B$ .

a jeśli X jest przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi, to również:

1. Na początku układu współrzędnych istnieje baza sąsiedztwa składająca się ze zbiorów wypukłych, zrównoważonych , nasyconych C.
2. Istnieje generująca rodzina $na$ X taka , że ${\ Displaystyle p (x) \ równoważnik p (x + y ) )}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x, y \ w C}$ i ${\ Displaystyle p \ w {\ mathcal {P}}}$ .

Jeśli topologia na X jest lokalnie wypukła, to zamknięcie stożka normalnego jest stożkiem normalnym.

Nieruchomości

Jeśli C $X, to$ normalnym stożkiem w , B jest podzbiorem jest ograniczony ; $_$ szczególności każdy Jeśli X jest Hausdorffem, to każdy normalny stożek w X jest właściwym stożkiem.

Nieruchomości

• Niech X będzie uporządkowaną przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi, która jest skończenie wymiarowa. Wtedy rząd X jest archimedesowy wtedy i tylko wtedy, gdy dodatni stożek X jest zamknięty dla unikalnej topologii, w której X jest Hausdorff TVS.
• Niech X będzie uporządkowaną przestrzenią wektorową nad liczbami rzeczywistymi z dodatnim stożkiem C . Wtedy następujące są równoważne:

1. rząd X jest regularny.
2. C jest sekwencyjnie zamknięte dla niektórych lokalnie wypukłych topologii TVS Hausdorffa na X i ${\ displaystyle X ^ {+}}$ rozróżnia punkty w X
3. rząd X jest archimedesowy, a C jest normalny dla niektórych lokalnie wypukłych topologii TVS Hausdorffa na X .

Zobacz też

• Metryka uogólniona – Geometria metryczna
• Topologia porządku (analiza funkcjonalna) - Topologia uporządkowanej przestrzeni wektorowej
• Pole uporządkowane – Obiekt algebraiczny o uporządkowanej strukturze
• Grupa uporządkowana – Grupa z kompatybilnym zamówieniem częściowym Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań
• Uporządkowany pierścień - uporządkowana tabela wartości wykresu Karnough uproszczona i uporządkowana parami w celu uzyskania równych tabel prawdy Strony wyświetlające opisy danych wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Uporządkowana przestrzeń wektorowa - Przestrzeń wektorowa z częściowym porządkiem
• Przestrzeń częściowo uporządkowana - Przestrzeń topologiczna częściowo uporządkowana
• Przestrzeń Riesza - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako krata
• Topologiczna siatka wektorowa
• Krata wektorowa - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako siatka Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .