Archimedesowa uporządkowana przestrzeń wektorowa

W matematyce, szczególnie w teorii porządku , relacja binarna w przestrzeni wektorowej $nad$ liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi nazywana jest $Archimedesem$ , jeśli wszystkich $\ displaystyle x \ in X,}$ ilekroć istnieje jakiś ${\ displaystyle$$displaystyle y \ in$ że dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych $nx \ równoważnik y}$ to koniecznie y ∈ X { ${\ Displaystyle x \ eq 0.}$ Archimedesowa (wcześniej) uporządkowana przestrzeń wektorowa to (wcześniej) uporządkowana przestrzeń wektorowa , której kolejność jest archimedesowa. $Uporządkowana$ z $archimedesową$ przestrzeń nazywana prawie $,$ jeśli istnieje że ${\ Displaystyle -n ^ {- 1} y \ równoważnik x \ równoważnik n ^ {- 1} y}$ dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych ${\ Displaystyle n,}$ wtedy $\ displaystyle x = 0.}$

Charakteryzacje

$\$ z góry przestrzeń wektorowa $Displaystyle (X, \ równoważnik)}$$z$ jednostką porządku jest uporządkowana w Archimedesie wtedy i tylko wtedy dla wszystkie nieujemne liczby $całkowite$ x $\ Displaystyle x \ równoważnik 0.}$

Nieruchomości

Niech będzie $uporządkowaną$ przestrzenią wektorową nad rzeczywistymi, która jest skończona. Wtedy rząd ${$$jest$ \ displaystyle $}$ Hausdorff TVS.

Zamów normę jednostkową

Załóżmy $, że$${\ Displaystyle U = [-u, u].}$$uporządkowaną przestrzenią$ liczbami rzeczywistymi z której porządek jest archimedesowy i niech ${\ Displaystyle p_ {U} (x): = \ inf \ lewo \ {r> 0: x \ w r [-u, u] \ prawej \}}) jest$ funkcjonał Minkowskiego z $($${\ Displaystyle U}$ zdefiniowany przez normą zwaną normą jednostki zamówienia . Spełnia ${\ Displaystyle p_ {U} (u) = 1} , a$$zamknięta$ kula jednostkowa określona przez [ $\ displaystyle [-u, u]}$ (to znaczy ${\ Displaystyle [-u, u] = \ {x \ w X: p_{U}(x)\równik 1\}.}$

Przykłady

Przestrzeń ograniczonych map o wartościach rzeczywistych na zbiorze z porządkiem punktowym jest uporządkowana przez Archimedesa ${\ Displaystyle l_ {\ infty} (S, \ mathbb {R}$$}$ jednostka zamówienia $.$ to znaczy funkcja, która jest identyczna $1$ { $displaystyle$ ) Norma jednostki zamówienia ${\ Displaystyle \|f \|:=\ sup _ {}|f (S)|.}$$|$ zwykłą

Przykłady

Każde zamówienie kompletnej sieci wektorowej jest uporządkowane według Archimedesa. Skończenie wymiarowa krata wektorowa o wymiarze $,$$uporządkowana według$ gdy jest izomorficzna z jej porządkiem kanonicznym. Jednak całkowicie $uporządkowany$ porządek wektorów wymiaru może być uporządkowany według Archimedesa Istnieją uporządkowane przestrzenie wektorowe, które są prawie Archimedesowe, ale nie Archimedesowe.

Przestrzeń euklidesowa nad liczbami rzeczywistymi z $,$ leksykograficznym nie jest uporządkowana Archimedesa ponieważ $\ Displaystyle r (0,1) \leq (1,1)}$ dla każdego ${\ displaystyle r> 0}$ ale ${\ Displaystyle (0,1) \ neq (0,0).}$

Zobacz też

• Własność Archimedesa – Własność matematyczna struktur algebraicznych
• Uporządkowana przestrzeń wektorowa - Przestrzeń wektorowa z częściowym porządkiem

Bibliografia

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .