Lokalnie wypukła siatka wektorowa

W matematyce, szczególnie w teorii rzędów i analizie funkcjonalnej , lokalnie wypukła siatka wektorowa (LCVL) jest topologiczną siatką wektorową , która jest również lokalnie wypukłą przestrzenią. LCVL są ważne w teorii topologicznych sieci wektorowych .

Półnormy kratowe

Funkcjonał Minkowskiego zbioru wypukłego, absorbującego i bryłowego nazywamy półnormą kratową . Równoważnie jest to $że$ -norma taka, ${\ Displaystyle | y | \ równoważnik | x |}$ implikuje ${\ Displaystyle p (y) \ równoważnik p (x).}$ Topologia sieci wektorowej lokalnie wypukłej jest generowana przez rodzinę wszystkich półnorm sieci ciągłej.

Nieruchomości

Każda lokalnie wypukła sieć wektorowa ma na początku podstawę sąsiedztwa składającą się z wypukłych zrównoważonych zbiorów pochłaniających bryły .

Silna liczba podwójna lokalnie wypukłej sieci wektorowej $displaystyle$ rzędem kompletnej sieci wektorowej lokalnie wypukłej (pod jej porządkiem kanonicznym) i jest stałą podprzestrzenią rzędu dualnego $X}$ ; ponadto, jeśli jest przestrzenią beczkową , to ciągła przestrzeń podwójna z jest pasmem rzędu podwójnego ${\ displaystyle X}$ i silnego podwójnego $\ displaystyle$$}$${\ displaystyle X}$ jest kompletnym lokalnie wypukłym TVS.

Jeśli lokalnie wypukła krata wektorowa jest beczkowata , to jej silna przestrzeń dualna jest kompletna (niekoniecznie jest to prawdą, jeśli przestrzeń jest jedynie lokalnie wypukłą przestrzenią beczkowatą, ale nie lokalnie wypukłą siatką wektorową).

Jeśli lokalnie wypukła krata wektorowa $jest$ półodruchowa , to $\ Displaystyle X$ to porządek kompletny i to znaczy $b$ ) to kompletny TVS; ponadto, jeśli dodatkowo każda dodatnia funkcja liniowa na $X$ ciągła , to $}$ ${\ Displaystyle X}$ jest typu minimalnego , topologia porządku na $Displaystyle X}$ jest równa ${\ Displaystyle \ tau \ lewo (X, X ^ {\ pierwsza} \ prawej)}$ Mackeya ${\ Displaystyle \ tau _ {\ nazwa operatora {O}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (X, \ tau _ {\ operatorname {O}} \ prawej) }$ jest zwrotny . Każda refleksyjna lokalnie wypukła wektorowa krata jest rzędem kompletnym i kompletnym lokalnie wypukłym TVS, którego silny podwójny to beczkowaty zwrotny lokalnie wypukły TVS, który można zidentyfikować na kanonicznej mapie oceny z silnym bidualem (to znaczy silnym dualem silnego duala) .

Jeśli lokalnie wypukła sieć wektorowa jest TVS w podczerwieni $,$ to można ją zidentyfikować na mapie oceny za pomocą topologicznej podsieci wektorowej jej silnego bidualnego, która jest rzędem kompletnej lokalnie wypukłej sieci wektorowej w jej porządku kanonicznym

Jeśli jest rozdzielną metryzowalną lokalnie wypukłą uporządkowaną topologiczną przestrzenią wektorową , której dodatni stożek jest kompletnym i całkowitym podzbiorem ${\ displaystyle X},$$}$$X$ zbiór quasi-wnętrznych punktów X , { \ ${\ Displaystyle C.}$${\ displaystyle C}$ gęsty w

Twierdzenie - Załóżmy, że jest porządkiem kompletnym $lokalnie$$}$$wektorowej$ z topologią $obdarzonym$ bidual Displaystyle $displaystyle X}$ z jego naturalną topologią (to znaczy topologią jednolitej zbieżności na równociągłych podzbiorach ${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza}}$ ) i porządek kanoniczny (w ramach którego staje się porządkiem kompletnej lokalnie wypukłej sieci wektorowej). Następujące są równoważne:

1. Mapa $porządku$${\ Displaystyle X ^ {\ pierwsza \ pierwsza}.}$ izomorfizm $′$ _
2. $_$ każdego $majoryzacją$ z $ukierunkowaniem$ sekcji $się$ _ _ w którym to przypadku koniecznie zbiega się ${\ displaystyle \ sup S}$ ).
3. Każdy filtr zbieżny rzędu $w$$zbieżny$ w (w którym to przypadku granicy kolejności

Wniosek - Niech będzie $uporządkowaną$ kompletną siatką wektorową o regularnym porządku Następujące są równoważne:

1. $minimalnego$ typu . _
2. Dla każdego podzbioru majorized i direct z $\ displaystyle$$}$${\ displaystyle X}$ filtr sekcji się w ${\ displaystyle$$X}$ , gdy jest wyposażony w uporządkować topologię .
3. Każdy filtr zbieżny porządku w zbiega się w ${\ displaystyle$$X},$ X $\ displaystyle X}$ jest wyposażony w topologię porządku .

Co więcej, jeśli $dla$${$ \ displaystyle $,$ której każdy filtr zbieżny rzędu jest zbieżny.

Jeśli $\ lewo ( X _ {\ alfa} \ prawej) _ {\ alfa \ w A}}$$wypukłą$ siatką wektorową, która jest bornologiczna i sekwencyjnie kompletna istnieje rodzina przestrzeni zwartych $-indeksowanych$ rodzina osadzeń sieci wektorowej ${\ Displaystyle f _ {\ alfa}: C _ {\ mathbb {R}} \ lewo (K _ {\ alfa} \ prawej) \ do X} tak, że jest najlepszą lokalnie wypukłą topologią na τ {\$ Displaystyle \ $}$$displaystyle X}$$każdy$ czyniąc .

Przykłady

Każda sieć Banacha , sieć unormowana i sieć Frécheta jest lokalnie wypukłą siatką wektorową.

Zobacz też

• Krata Banacha - przestrzeń Banacha z kompatybilną strukturą kraty Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• krata Frécheta
• Znormalizowana krata
• Krata wektorowa - Częściowo uporządkowana przestrzeń wektorowa, uporządkowana jako siatka Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania

Bibliografia

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. Drugie). Boca Raton, Floryda: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . Tom. 8 (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Impressum Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .