Twierdzenie Cantora-Bernsteina

Twierdzenie, że iniekcje z A do B i z B do A implikują bijekcję między A i B, patrz twierdzenie Schrödera-Bernsteina .

W teorii mnogości i teorii rzędów twierdzenie Cantora -Bernsteina stwierdza, że ​​liczność drugiej klasy typów, klasy policzalnych typów rzędów , jest równa liczności kontinuum . Był używany przez Felixa Hausdorffa i nazwany przez niego na cześć Georga Cantora i Felixa Bernsteina . Cantor skonstruował rodzinę policzalnych typów rzędów o liczności kontinuum, aw swojej rozprawie inauguracyjnej z 1901 r. Bernstein udowodnił, że taka rodzina nie może mieć większej liczności.

$_{1}\leq 2^{\aleph _{0}}}$ klasa typów zawiera policzalne liczby porządkowe , które mają liczność , wynik ten dowodzi (poprzez włączenie naturalnie zdefiniowanych zbiorów), że $}$${\ displaystyle \ aleph _$ , relacja między tymi dwiema liczbami alef , która (bez założenia aksjomatu wyboru ) nie była wcześniej znana.