Jerzego Cantora

Georg Cantor
Georg Cantor (Porträt).jpg
Cantor, ok. 1910
Urodzić się
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

( 03.03.1845 ) 3 marca 1845
Sankt Petersburg , Imperium Rosyjskie
Zmarł 6 stycznia 1918 ( w wieku 72) ( 06.01.1918 )
Halle , prowincja Saksonia , Cesarstwo Niemieckie
Narodowość Niemiecki
Alma Mater
Znany z Teoria mnogości
Współmałżonek
Vally Guttmann
​
( m. 1874 <a i=3>) ​
Nagrody Medal Sylwestra (1904)
Kariera naukowa
Pola Matematyka
Instytucje Uniwersytet w Halle
Praca dyplomowa   De aequationibus secundi gradus indeterminatis (1867)
Doradca doktorski

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( / ˈɡeːɔʁk k ć n t ɔːr / KAN -tor , niemiecki: [ ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantɔʁ] ; 3 marca [ OS 19 lutego] 1845 - 6 stycznia 1918) był niemieckim ma tematyczny. Odegrał kluczową rolę w stworzeniu teorii mnogości , która stała się podstawową teorią matematyki. Cantor ustalił, jak ważne jest korespondencji jeden do jednego między członkami dwóch zbiorów nieskończonych i dobrze uporządkowanych zbiorów i udowodnił, że liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych . W rzeczywistości metoda dowodu Cantora tego twierdzenia implikuje istnienie nieskończoności nieskończoności . Zdefiniował liczebniki główne i porządkowe oraz ich arytmetykę. Dzieło Cantora ma wielkie znaczenie filozoficzne, o czym doskonale wiedział.

liczb pozaskończonych Cantora była uważana za sprzeczną z intuicją, a nawet szokującą. To spowodowało, że napotkał opór ze strony współczesnych matematyków, takich jak Leopold Kronecker i Henri Poincaré , a później Hermann Weyl i LEJ Brouwer , podczas gdy Ludwig Wittgenstein zgłosił zastrzeżenia filozoficzne ; zobacz Kontrowersje wokół teorii Cantora . Cantor, pobożny luterański chrześcijanin wierzył, że teorię przekazał mu Bóg. Niektórzy teologowie chrześcijańscy (zwłaszcza neoscholastycy ) postrzegali dzieło Cantora jako wyzwanie dla wyjątkowości absolutnej nieskończoności w naturze Boga - pewnego razu zrównując teorię liczb pozaskończonych z panteizmem - propozycję, którą Cantor energicznie odrzucił. Nie wszyscy teologowie byli przeciwni teorii Cantora; wybitny neoscholastyczny filozof Constantin Gutberlet był za nim, a kardynał Johann Baptist Franzelin zaakceptował ją jako słuszną teorię (po tym, jak Cantor dokonał kilku ważnych wyjaśnień).

Zastrzeżenia wobec pracy Cantora były czasami zaciekłe: publiczny sprzeciw i osobiste ataki Leopolda Kroneckera obejmowały opisanie Cantora jako „naukowego szarlatana”, „renegata” i „psucia młodzieży”. Kronecker sprzeciwił się dowodom Cantora, że ​​liczby algebraiczne są policzalne, a liczby przestępne są niepoliczalne, a wyniki są teraz włączone do standardowego programu nauczania matematyki. Pisząc dziesiątki lat po śmierci Cantora, Wittgenstein ubolewał, że matematyka jest „na wskroś przesiąknięta zgubnymi idiomami teorii mnogości”, które odrzucił jako „całkowity nonsens”, który jest „śmieszny” i „błędny”. Powtarzające się napady depresji Cantora od 1884 roku do końca jego życia były obwiniane za wrogie nastawienie wielu mu współczesnych, chociaż niektórzy wyjaśniali te epizody jako prawdopodobne przejawy zaburzenie afektywne dwubiegunowe .

Ostrej krytyce towarzyszyły późniejsze pochwały. W 1904 roku Towarzystwo Królewskie przyznało Cantorowi Medal Sylwestra , najwyższe odznaczenie, jakie może przyznać za pracę w matematyce. David Hilbert bronił go przed krytykami, oświadczając: „Nikt nie wypędzi nas z raju, który stworzył Cantor”.

Biografia

Młodość i studia

Kantora, około 1870 r

Georg Cantor, urodzony w 1845 roku w Sankt Petersburgu w Rosji , wychowywał się w tym mieście do jedenastego roku życia. Najstarszy z sześciorga dzieci, uchodził za wybitnego skrzypka. Jego dziadek Franz Böhm (1788–1846) (brat skrzypka Josepha Böhma ) był znanym muzykiem i solistą rosyjskiej orkiestry cesarskiej. Ojciec Cantora był członkiem giełdy petersburskiej ; kiedy zachorował, rodzina przeniosła się w 1856 roku do Niemiec, najpierw do Wiesbaden , potem do Frankfurtu , szukając łagodniejszych zim niż w Sankt Petersburgu. W 1860 Cantor ukończył z wyróżnieniem Realschule w Darmstadt ; zauważono jego wyjątkowe umiejętności matematyczne, w szczególności trygonometrię . W sierpniu 1862 ukończył następnie „Höhere Gewerbeschule Darmstadt”, obecnie Technische Universität Darmstadt . W 1862 roku Cantor wstąpił na Szwajcarską Politechnikę Federalną w Zurychu. Po otrzymaniu znacznego spadku po śmierci ojca w czerwcu 1863 roku, Cantor przeniósł się na Uniwersytet Berliński , uczęszczając na wykłady m.in. Leopolda Kroneckera , Karla Weierstrassa i Ernsta Kummera . Spędził lato 1866 roku na Uniwersytecie w Getyndze , wówczas i później centrum badań matematycznych. Cantor był dobrym uczniem, a stopień doktora uzyskał w 1867 roku.

Nauczyciel i badacz

Cantor złożył rozprawę z teorii liczb na Uniwersytecie Berlińskim w 1867 roku. Po krótkim nauczaniu w berlińskiej szkole dla dziewcząt objął posadę na Uniwersytecie w Halle , gdzie spędził całą swoją karierę. Uzyskał wymaganą habilitację za swoją pracę, również z teorii liczb, którą przedstawił w 1869 r. po powołaniu na uniwersytet w Halle .

W 1874 roku Cantor poślubił Vally Guttmann. Mieli sześcioro dzieci, ostatnie (Rudolph) urodziło się w 1886 r. Cantor, dzięki odziedziczeniu po ojcu, był w stanie utrzymać rodzinę pomimo skromnej pensji akademickiej. Podczas miesiąca miodowego w górach Harzu Cantor spędzał dużo czasu na matematycznych dyskusjach z Richardem Dedekindem , którego poznał dwa lata wcześniej na wakacjach w Interlaken w Szwajcarii.

Cantor został awansowany na profesora nadzwyczajnego w 1872 r., a profesora zwyczajnego w 1879 r. Osiągnięcie tego ostatniego stopnia w wieku 34 lat było znaczącym osiągnięciem, ale Cantor pragnął katedry na bardziej prestiżowym uniwersytecie, zwłaszcza w Berlinie, wówczas wiodąca niemiecka uczelnia. Jednak jego praca spotkała się ze zbyt dużym sprzeciwem, aby było to możliwe. Kronecker, który kierował matematyką w Berlinie aż do swojej śmierci w 1891 roku, czuł się coraz bardziej nieswojo z perspektywą posiadania Cantora jako kolegi, postrzegając go jako „psucia młodzieży” za nauczanie swoich idei młodszego pokolenia matematyków. Co gorsza, Kronecker, dobrze ugruntowana postać w społeczności matematycznej i były profesor Cantora, zasadniczo nie zgadzał się z kierunkiem pracy Cantora, odkąd celowo opóźnił publikację pierwszej ważnej publikacji Cantora w 1874 roku. Kronecker, obecnie postrzegany jako jeden z założyciele tzw konstruktywny punkt widzenia w matematyce , nie lubił większości teorii mnogości Cantora, ponieważ zapewniała ona istnienie zbiorów spełniających określone właściwości, bez podawania konkretnych przykładów zbiorów, których elementy rzeczywiście spełniały te właściwości. Ilekroć Cantor ubiegał się o posadę w Berlinie, odrzucano go, a proces ten zwykle obejmował Kroneckera, więc Cantor doszedł do wniosku, że postawa Kroneckera uniemożliwi mu opuszczenie Halle.

W 1881 roku zmarł kolega Cantora z Halle, Eduard Heine . Halle przyjęła sugestię Cantora, aby wolne krzesło Heinego zostało zaoferowane Dedekindowi, Heinrichowi M. Weberowi i Franzowi Mertensowi w tej kolejności, ale każdy z nich odrzucił krzesło po tym, jak mu je zaproponowano. Friedrich Wangerin ostatecznie został mianowany, ale nigdy nie był blisko Cantora.

W 1882 roku korespondencja matematyczna między Cantorem i Dedekindem dobiegła końca, najwyraźniej w wyniku odrzucenia przez Dedekinda katedry w Halle. Cantor rozpoczął także kolejną ważną korespondencję z Göstą Mittag-Lefflerem w Szwecji i wkrótce zaczął publikować w czasopiśmie Mittaga-Lefflera Acta Mathematica . Ale w 1885 roku Mittag-Leffler był zaniepokojony filozoficzną naturą i nową terminologią w artykule, który Cantor przedłożył Acta . Poprosił Cantora o wycofanie artykułu z Acta gdy był w dowodzie, pisząc, że „… o około sto lat za wcześnie”. Cantor zgodził się, ale potem ograniczył swoje stosunki i korespondencję z Mittag-Leffler, pisząc do osoby trzeciej: „Gdyby Mittag-Leffler postawił na swoim, musiałbym czekać do roku 1984, który wydawał mi się zbyt dużym żądaniem! . .. Ale oczywiście nigdy więcej nie chcę nic wiedzieć o Acta Mathematica ”.

Cantor przeżył swój pierwszy znany atak depresji w maju 1884 roku. Krytyka jego pracy ciążyła mu na sercu: każdy z pięćdziesięciu dwóch listów, które napisał do Mittaga-Lefflera w 1884 roku, wspominał o Kroneckerze. Fragment jednego z tych listów ujawnia uszkodzenie pewności siebie Cantora:

... Nie wiem, kiedy wrócę do kontynuacji pracy naukowej. W tej chwili nie mogę nic z tym zrobić i ograniczam się do najpotrzebniejszego obowiązku moich wykładów; o ile byłbym szczęśliwszy, będąc aktywnym naukowo, gdybym tylko miał niezbędną świeżość umysłową.

Ten kryzys skłonił go do aplikowania na wykłady z filozofii, a nie z matematyki. Zaczął także intensywnie studiować literaturę elżbietańską , sądząc, że mogą istnieć dowody na to, że Francis Bacon napisał sztuki przypisywane Williamowi Szekspirowi (patrz pytanie o autorstwo Szekspira ); ostatecznie zaowocowało to dwiema broszurami, opublikowanymi w 1896 i 1897 roku.

Cantor wyzdrowiał wkrótce potem, a następnie wniósł dalsze ważne wkłady, w tym swój diagonalny argument i twierdzenie . Jednak nigdy więcej nie osiągnął wysokiego poziomu swoich niezwykłych prac z lat 1874–84, nawet po śmierci Kroneckera 29 grudnia 1891 r. W końcu szukał i osiągnął pojednanie z Kroneckerem. Niemniej jednak filozoficzne nieporozumienia i trudności dzielące ich utrzymywały się.

W 1889 roku Cantor odegrał kluczową rolę w założeniu Niemieckiego Towarzystwa Matematycznego i przewodniczył jego pierwszemu spotkaniu w Halle w 1891 roku, gdzie po raz pierwszy przedstawił swój argument diagonalny; jego reputacja była wystarczająco silna, pomimo sprzeciwu Kroneckera wobec jego pracy, aby zapewnić, że został wybrany na pierwszego prezesa tego stowarzyszenia. Odkładając na bok niechęć, jaką Kronecker do niego okazywał, Cantor zaprosił go do przemówienia na spotkaniu, ale Kronecker nie był w stanie tego zrobić, ponieważ jego żona umierała w wyniku obrażeń odniesionych w tamtym czasie w wypadku na nartach. Georg Cantor również odegrał kluczową rolę w utworzeniu pierwszego Międzynarodowy Kongres Matematyków , który odbył się w Zurychu w Szwajcarii w 1897 r.

Późniejsze lata i śmierć

Po hospitalizacji Cantora w 1884 r. Nie ma wzmianki, że był ponownie w jakimkolwiek sanatorium aż do 1899 r. Wkrótce po tej drugiej hospitalizacji najmłodszy syn Cantora, Rudolph, zmarł nagle 16 grudnia (Cantor wygłaszał wykład na temat swoich poglądów na teorię Bacona i Williama Szekspira ), i ta tragedia pozbawiła Cantora większości jego pasji do matematyki. Cantor ponownie trafił do szpitala w 1903 roku. Rok później oburzył go i poruszył referat wygłoszony przez Juliusa Königa na III Międzynarodowym Kongresie Matematyków . W artykule podjęto próbę udowodnienia, że ​​podstawowe założenia teorii mnogości pozaskończonej były fałszywe. Ponieważ artykuł został odczytany przed jego córkami i współpracownikami, Cantor poczuł się publicznie upokorzony. Chociaż Ernsta Zermelo wykazał niecały dzień później, że dowód Königa zawiódł, Cantor pozostał wstrząśnięty i przez chwilę kwestionował Boga. Cantor do końca życia cierpiał na przewlekłą depresję, z powodu której był kilkakrotnie zwalniany z nauczania i wielokrotnie zamykany w różnych sanatoriach. Wydarzenia 1904 roku poprzedziły serię hospitalizacji w odstępach dwu- lub trzyletnich. Nie porzucił jednak całkowicie matematyki, wykładając paradoksy teorii mnogości ( paradoks Burali-Fortiego , paradoks Cantora , paradoks Russella ) na spotkanie Deutsche Mathematiker-Vereinigung w 1903 roku i udział w Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Heidelbergu w 1904 roku.

W 1911 roku Cantor znalazł się w gronie wybitnych uczonych zagranicznych zaproszonych na obchody 500. rocznicy założenia Uniwersytetu St. Andrews w Szkocji. Cantor był obecny, mając nadzieję na spotkanie z Bertrandem Russellem , którego nowo opublikowana Principia Mathematica wielokrotnie cytowała prace Cantora, ale do spotkania nie doszło. W następnym roku St. Andrews przyznał Cantorowi tytuł doktora honoris causa, ale choroba uniemożliwiła mu osobiste otrzymanie tego stopnia.

Cantor przeszedł na emeryturę w 1913 roku i żył w biedzie i cierpiał z powodu niedożywienia podczas I wojny światowej . Publiczne obchody jego 70. urodzin zostały odwołane z powodu wojny. W czerwcu 1917 po raz ostatni trafił do sanatorium i nieustannie pisał do żony z prośbą o pozwolenie na powrót do domu. Georg Cantor doznał śmiertelnego zawału serca 6 stycznia 1918 roku w sanatorium, w którym spędził ostatni rok swojego życia.

Praca matematyczna

Prace Cantora w latach 1874-1884 są początkiem teorii mnogości . Przed tą pracą koncepcja zbioru była raczej elementarna i była używana implicite od początków matematyki, sięgając idei Arystotelesa . Nikt nie zdawał sobie sprawy, że teoria mnogości ma jakąkolwiek nietrywialną treść. Przed Cantorem istniały tylko zbiory skończone (które są łatwe do zrozumienia) i „nieskończoność” (która była uważana za temat do dyskusji filozoficznej, a nie matematycznej). Udowadniając, że istnieje (nieskończenie) wiele możliwych rozmiarów zbiorów nieskończonych, Cantor ustalił, że teoria mnogości nie jest trywialna i należy ją zbadać. Teoria mnogości zaczęła odgrywać rolę teorii fundamentalnej we współczesnej matematyce w tym sensie, że interpretuje twierdzenia dotyczące obiektów matematycznych (na przykład liczb i funkcji) ze wszystkich tradycyjnych dziedzin matematyki (takich jak algebra , analiza i topologia ) w jednej teorii i zapewnia standardowy zestaw aksjomaty, aby je potwierdzić lub obalić. Podstawowe pojęcia teorii mnogości są obecnie używane w całej matematyce.

W jednej ze swoich najwcześniejszych prac Cantor udowodnił, że zbiór liczb rzeczywistych jest „liczniejszy” niż zbiór liczb naturalnych ; pokazało to po raz pierwszy, że istnieją nieskończone zbiory o różnych rozmiarach . Był także pierwszym, który docenił znaczenie korespondencji jeden do jednego (zwanej dalej „korespondencją 1 do 1”) w teorii mnogości. Użył tego pojęcia do zdefiniowania skończonych i nieskończonych zbiorów , dzieląc te ostatnie na przeliczalne (lub przeliczalnie nieskończone) zbiory i zbiory nieprzeliczalne (zbiory nieprzeliczalnie nieskończone).

Cantor opracował ważne koncepcje topologii i ich związku z licznością . Na przykład pokazał, że zbiór Cantora , odkryty przez Henry'ego Johna Stephena Smitha w 1875 roku, nigdzie nie jest gęsty , ale ma taką samą liczność jak zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, podczas gdy wymierne są wszędzie gęste, ale policzalne. Pokazał również, że wszystkie policzalne gęste rzędy liniowe bez punktów końcowych są izomorficzne rzędu z liczbami wymiernymi .

wprowadził podstawowe konstrukcje w teorii mnogości, takie jak potęga zbioru A , który jest zbiorem wszystkich możliwych podzbiorów A . Później udowodnił, że rozmiar zbioru potęgowego A jest ściśle większy niż rozmiar A , nawet jeśli A jest zbiorem nieskończonym; wynik ten wkrótce stał się znany jako twierdzenie Cantora . Cantor rozwinął całą teorię i arytmetykę zbiorów nieskończonych , zwanych liczebnikami głównymi i porządkowymi , co rozszerzyło arytmetykę liczb naturalnych. Jego oznaczeniem liczb głównych była litera hebrajska ) z indeksem dolnym liczby naturalnej; dla liczb porządkowych użył greckiej litery ω ( omega ). Ten zapis jest nadal w użyciu.

Hipoteza continuum , wprowadzona przez Cantora, została przedstawiona przez Davida Hilberta jako pierwszy z jego dwudziestu trzech otwartych problemów w przemówieniu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku. Dzieło Cantora spotkało się również z pozytywnym rozgłosem poza słynnym pochwałą Hilberta. Amerykański filozof Charles Sanders Peirce pochwalił teorię mnogości Cantora, a po publicznych wykładach wygłoszonych przez Cantora na pierwszym Międzynarodowym Kongresie Matematyków, który odbył się w Zurychu w 1897 r., Adolf Hurwitz i Jacques Hadamard również wyraził swój podziw. Na tym kongresie Cantor odnowił przyjaźń i korespondencję z Dedekindem. Od 1905 roku Cantor korespondował ze swoim brytyjskim wielbicielem i tłumaczem Philipem Jourdainem na temat historii teorii mnogości i idei religijnych Cantora. Zostało to później opublikowane, podobnie jak kilka jego prac wyjaśniających.

Teoria liczb, szeregi trygonometryczne i liczby porządkowe

Pierwsze dziesięć artykułów Cantora dotyczyło teorii liczb , tematu jego pracy magisterskiej. Za sugestią Eduarda Heinego , profesora w Halle, Cantor zwrócił się ku analizie . Heine zaproponował, aby Cantor rozwiązał otwarty problem , który wymykał się Peterowi Gustavowi Lejeune Dirichletowi , Rudolfowi Lipschitzowi , Bernhardowi Riemanna i samemu Heinemu: wyjątkowość reprezentacji funkcji za pomocą szeregu trygonometrycznego . Cantor rozwiązał ten problem w 1869 roku. Pracując nad tym problemem, odkrył liczby porządkowe pozaskończone, które występowały jako indeksy n w n - tym zbiorze pochodnym Sn zbioru S zer szeregu trygonometrycznego. Biorąc pod uwagę szereg trygonometryczny f(x) z S jako zerem, Cantor odkrył procedurę, która tworzy inny szereg trygonometryczny, którego zbiorem zer jest S 1 , gdzie S 1 jest zbiorem punktów granicznych S . Jeśli S k+1 jest zbiorem punktów granicznych S k , to mógłby skonstruować szereg trygonometryczny, którego zerami są S k +1 . Ponieważ zbiory S k były domknięte, zawierały swoje punkty graniczne, a przecięcie nieskończonego ciągu malejącego zbiorów S , S 1 , S 2 , S 3 ,... utworzyło zbiór graniczny, który nazwalibyśmy teraz S ω , a następnie zauważył, że S ω musiałby również mieć zbiór punktów granicznych S ω+1 , i tak dalej. Miał przykłady, które ciągnęły się w nieskończoność, więc oto naturalnie występujący nieskończony ciąg nieskończonych liczb ω , ω + 1, ω + 2, ...

W latach 1870-1872 Cantor opublikował więcej artykułów na temat szeregów trygonometrycznych, a także artykuł definiujący liczby niewymierne jako zbieżne ciągi liczb wymiernych . Dedekind, z którym Cantor zaprzyjaźnił się w 1872 roku, zacytował ten artykuł później tego samego roku, w artykule, w którym po raz pierwszy przedstawił swoją słynną definicję liczb rzeczywistych za pomocą cięć Dedekinda . Cantor, rozszerzając pojęcie liczby za pomocą rewolucyjnej koncepcji liczności nieskończonej, paradoksalnie przeciwstawiał się teoriom nieskończenie małych współczesnych mu Ottona Stolza i Paul du Bois-Reymond , opisując ich zarówno jako „obrzydliwość”, jak i „matematyczny bakcyl cholery”. Cantor opublikował również błędny „dowód” niekonsekwencji nieskończenie małych .

Teoria mnogości

Ilustracja diagonalnego argumentu Cantora za istnieniem zbiorów niepoliczalnych . Sekwencja na dole nie może wystąpić nigdzie na nieskończonej liście sekwencji powyżej.

Początek teorii mnogości jako gałęzi matematyki jest często naznaczony publikacją artykułu Cantora z 1874 r . „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” („O właściwości zbioru wszystkich rzeczywistych liczb algebraicznych”). Ten artykuł był pierwszym, który dostarczył rygorystycznego dowodu na to, że istnieje więcej niż jeden rodzaj nieskończoności. Wcześniej domyślnie zakładano, że wszystkie nieskończone kolekcje są równoliczne (to znaczy „tego samego rozmiaru” lub mające tę samą liczbę elementów). Cantor udowodnił, że zbiór liczb rzeczywistych i zbiór dodatnich liczby całkowite nie są równoliczne. Innymi słowy, liczby rzeczywiste nie są policzalne . Jego dowód różni się od argumentu diagonalnego , który podał w 1891 roku. Artykuł Cantora zawiera również nową metodę konstruowania liczb przestępnych . Liczby transcendentalne zostały po raz pierwszy skonstruowane przez Josepha Liouville'a w 1844 roku.

Cantor ustalił te wyniki za pomocą dwóch konstrukcji. Jego pierwsza konstrukcja pokazuje, jak zapisać liczby algebraiczne rzeczywiste jako ciąg a 1 , a 2 , a 3 , ... Innymi słowy, liczby algebraiczne rzeczywiste są policzalne. Cantor zaczyna swoją drugą konstrukcję od dowolnego ciągu liczb rzeczywistych. Korzystając z tej sekwencji, konstruuje zagnieżdżone interwały , których przecięcie zawiera liczbę rzeczywistą spoza ciągu. Ponieważ każdą sekwencję liczb rzeczywistych można wykorzystać do skonstruowania liczby rzeczywistej nie będącej w sekwencji, liczb rzeczywistych nie można zapisać jako sekwencji — to znaczy liczb rzeczywistych nie da się policzyć. Stosując swoją konstrukcję do ciągu rzeczywistych liczb algebraicznych, Cantor tworzy liczbę przestępną. Cantor zwraca uwagę, że jego konstrukcje dowodzą czegoś więcej, a mianowicie dostarczają nowego dowodu twierdzenia Liouville'a: Każdy przedział zawiera nieskończenie wiele liczb przestępnych. Następny artykuł Cantora zawiera konstrukcję, która dowodzi, że zbiór liczb przestępnych ma taką samą „moc” (patrz poniżej), jak zbiór liczb rzeczywistych.

W latach 1879-1884 Cantor opublikował serię sześciu artykułów w Mathematische Annalen , które razem stanowiły wprowadzenie do jego teorii mnogości. Jednocześnie narastał sprzeciw wobec idei Cantora, na czele z Leopoldem Kroneckerem, który dopuszczał pojęcia matematyczne tylko wtedy, gdy można je zbudować w skończonej liczbie kroków z liczb naturalnych, które uważał za dane intuicyjnie. Dla Kroneckera hierarchia nieskończoności Cantora była niedopuszczalna, ponieważ przyjęcie koncepcji rzeczywistej nieskończoności otworzyłoby drzwi do paradoksów, które podważyłyby ważność matematyki jako całości. W tym okresie Cantor wprowadził również zbiór Cantora .

Piąty artykuł z tej serii, „ Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre” („ Podstawy ogólnej teorii agregatów” ), opublikowany w 1883 r., Był najważniejszym z sześciu i został również opublikowany jako oddzielna monografia . Zawierał odpowiedź Cantora dla jego krytyków i pokazywał, w jaki sposób liczby pozaskończone były systematycznym rozszerzeniem liczb naturalnych. Rozpoczyna się od zdefiniowania dobrze uporządkowanych zbiorów. Liczby porządkowe są następnie wprowadzane jako typy porządkowe dobrze uporządkowanych zbiorów. Następnie Cantor definiuje dodawanie i mnożenie głównych i porządkowych. W 1885 roku Cantor rozszerzył swoją teorię typów porządkowych tak, że liczebniki porządkowe stały się po prostu szczególnym przypadkiem typów porządkowych.

W 1891 roku opublikował pracę zawierającą elegancki „argument diagonalny” na istnienie zbioru nieprzeliczalnego. Zastosował ten sam pomysł, aby udowodnić twierdzenie Cantora : liczność zbioru potęgowego zbioru A jest ściśle większa niż liczność zbioru A . To ustanowiło bogactwo hierarchii zbiorów nieskończonych oraz arytmetyki kardynalnej i porządkowej , którą zdefiniował Cantor. Jego argument ma fundamentalne znaczenie dla rozwiązania problemu Haltinga i jego dowodu Pierwsze twierdzenie Gödla o niezupełności . Cantor napisał o hipotezie Goldbacha w 1894 roku.

Fragment artykułu Georga Cantora z jego ustaloną definicją

W 1895 i 1897 Cantor opublikował dwuczęściową pracę w Mathematische Annalen pod redakcją Felixa Kleina ; były to jego ostatnie znaczące prace na temat teorii mnogości. Pierwszy artykuł zaczyna się od zdefiniowania zbioru, podzbioru itp. w sposób, który byłby obecnie w dużej mierze akceptowalny. Arytmetyka główna i porządkowa są przeglądane. Cantor chciał, aby drugi artykuł zawierał dowód hipotezy kontinuum, ale musiał zadowolić się przedstawieniem swojej teorii dobrze uporządkowanych zbiorów i liczb porządkowych. Cantor próbuje udowodnić, że jeśli A i B są zbiorami z Odpowiednik podzbioru B i B równoważny podzbiorowi A , wtedy A i B są równoważne . Ernst Schröder sformułował to twierdzenie nieco wcześniej, ale jego dowód, podobnie jak Cantora, był wadliwy. Felix Bernstein przedstawił poprawny dowód w swojej rozprawie doktorskiej z 1898 roku; stąd nazwa twierdzenie Cantora – Bernsteina – Schrödera .

Wzajemna korespondencja

Główny artykuł: Bijekcja
Funkcja bijekcyjna

Crelle'a z 1874 r. Cantora był pierwszym, który przywołał pojęcie korespondencji 1 do 1 , chociaż nie użył tego wyrażenia. Następnie zaczął szukać zgodności 1 do 1 między punktami kwadratu jednostkowego a punktami segmentu linii jednostkowej . W liście do Richarda Dedekinda z 1877 r. Cantor udowodnił znacznie mocniejszy wynik: dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n istnieje zgodność 1 do 1 między punktami na odcinku jednostkowym a wszystkimi punktami w przestrzeni n- wymiarowej . O tym odkryciu Cantor napisał do Dedekinda: „ Je le vois, mais je ne le crois pas! ” („Widzę to, ale nie wierzę!”). Wynik, który uznał za tak zdumiewający, ma implikacje dla geometrii i pojęcie wymiaru .

W 1878 roku Cantor przesłał Crelle's Journal kolejny artykuł, w którym precyzyjnie zdefiniował pojęcie korespondencji 1-do-1 i wprowadził pojęcie „ potęgi ” (termin zaczerpnięty od Jakoba Steinera ) lub „równoważności” zbiorów: dwa zestawy są równoważne (mają taką samą moc), jeśli istnieje między nimi zgodność 1 do 1. Cantor zdefiniował zbiory policzalne (lub zbiory przeliczalne) jako zbiory, które można umieścić w korespondencji 1 do 1 z liczbami naturalnymi i udowodnił, że liczby wymierne są przeliczalne. Udowodnił też, że n -wymiarowa przestrzeń euklidesowa Rn ma taką samą moc jak liczby rzeczywiste R , podobnie jak przeliczalnie nieskończony iloczyn kopii R . Chociaż swobodnie wykorzystywał policzalność jako pojęcie, nie napisał słowa „policzalny” aż do 1883 roku. Cantor omówił również swoje myślenie o wymiarze , podkreślając, że jego odwzorowanie między przedziałem jednostkowym a kwadratem jednostkowym nie było ciągłe .

Ten artykuł nie podobał się Kroneckerowi i Cantor chciał go wycofać; jednak Dedekind przekonał go, aby tego nie robił, a Karl Weierstrass poparł jego publikację. Niemniej jednak Cantor nigdy więcej nie przedłożył niczego Crelle.

Hipoteza kontinuum

Główny artykuł: hipoteza kontinuum

Cantor był pierwszym, który sformułował coś, co później stało się znane jako hipoteza continuum lub CH: nie istnieje zbiór, którego moc jest większa niż moc naturalnych i mniejsza niż liczba rzeczywista (lub równoważnie, liczność liczb rzeczywistych jest dokładnie aleph-one, a nie tylko co najmniej aleph-one). Cantor uważał hipotezę kontinuum za prawdziwą i przez wiele lat bezskutecznie próbował ją udowodnić . Jego niezdolność do udowodnienia hipotezy kontinuum wywołała u niego znaczny niepokój.

, jaką Cantor miał w udowodnieniu hipotezy kontinuum, została podkreślona przez późniejsze osiągnięcia w dziedzinie matematyki: wynik Kurta Gödela z 1940 r . Teoria mnogości Fraenkla plus aksjomat wyboru (kombinacja określana jako „ ZFC ”).

Absolutna nieskończoność, dobrze uporządkowane twierdzenie i paradoksy

W 1883 roku Cantor podzielił nieskończoność na pozaskończoną i absolutną .

To, co pozaskończone, zwiększa się pod względem wielkości, podczas gdy to, co absolutne, jest nie do zwiększenia. Na przykład liczba porządkowa α jest pozaskończona, ponieważ można ją zwiększyć do α + 1. Z drugiej strony liczby porządkowe tworzą absolutnie nieskończoną sekwencję, której nie można zwiększyć pod względem wielkości, ponieważ nie ma do niej większych liczb porządkowych. W 1883 roku Cantor wprowadził również zasadę dobrego uporządkowania „każdy zbiór może być dobrze uporządkowany” i stwierdził, że jest to „prawo myślenia”.

Cantor rozszerzył swoją pracę na absolutną nieskończoność, używając jej w dowodzie. Około 1895 roku zaczął traktować swoją zasadę dobrego porządku jako twierdzenie i próbował ją udowodnić. W 1899 roku wysłał Dedekindowi dowód równoważnego twierdzenia alef: liczność każdego nieskończonego zbioru jest alefem . Po pierwsze, zdefiniował dwa rodzaje krotności: krotności spójne (zbiory) i krotności niespójne (wielkości bezwzględnie nieskończone). Następnie założył, że liczby porządkowe tworzą zbiór, udowodnił, że prowadzi to do sprzeczności i doszedł do wniosku, że liczby porządkowe tworzą niespójną wielość. Użył tej niespójnej wielości, aby udowodnić twierdzenie aleph. W 1932 Zermelo skrytykował konstrukcję w dowodzie Cantora.

Cantor uniknął paradoksów , uznając, że istnieją dwa rodzaje wielości. W jego teorii mnogości, kiedy zakłada się, że liczby porządkowe tworzą zbiór, wynikająca z tego sprzeczność implikuje jedynie, że liczby porządkowe tworzą niespójną wielość. Z kolei Bertrand Russell traktował wszystkie kolekcje jako zbiory, co prowadzi do paradoksów. W teorii mnogości Russella liczby porządkowe tworzą zbiór, więc wynikająca z tego sprzeczność implikuje, że teoria jest niespójna . W latach 1901-1903 Russell odkrył trzy paradoksy sugerujące, że jego teoria mnogości jest niespójna: paradoks Burali-Forti (o czym właśnie wspomniano), paradoks Cantora i paradoks Russella . Russell nazwał paradoksy imionami Cesare Burali-Fortiego i Cantora, chociaż żaden z nich nie wierzył, że znaleźli paradoksy.

W 1908 Zermelo opublikował swój system aksjomatów teorii mnogości . Miał dwie motywacje do opracowania systemu aksjomatów: wyeliminowanie paradoksów i zabezpieczenie dowodu twierdzenia o dobrym porządku . Zermelo udowodnił to twierdzenie w 1904 roku, używając aksjomatu wyboru , ale jego dowód był krytykowany z różnych powodów. Jego odpowiedź na krytykę obejmowała jego system aksjomatów i nowy dowód dobrze uporządkowanego twierdzenia. Jego aksjomaty wspierają ten nowy dowód i eliminują paradoksy, ograniczając tworzenie zbiorów.

W 1923 roku John von Neumann opracował system aksjomatów, który eliminuje paradoksy, stosując podejście podobne do Cantora - mianowicie identyfikując zbiory, które nie są zbiorami, i traktując je inaczej. Von Neumann stwierdził, że klasa jest zbyt duży, aby być zbiorem, jeśli można go umieścić w korespondencji jeden do jednego z klasą wszystkich zbiorów. Zdefiniował zbiór jako klasę, która jest członkiem jakiejś klasy i sformułował aksjomat: Klasa nie jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje relacja jeden do jednego między nią a klasą wszystkich zbiorów. Ten aksjomat implikuje, że te duże klasy nie są zbiorami, co eliminuje paradoksy, ponieważ nie mogą one należeć do żadnej klasy. Von Neumann użył również swojego aksjomatu, aby udowodnić twierdzenie o dobrym porządku: podobnie jak Cantor założył, że liczby porządkowe tworzą zbiór. Wynikająca z tego sprzeczność implikuje, że klasa wszystkich liczb porządkowych nie jest zbiorem. Następnie jego aksjomat zapewnia zgodność jeden do jednego między tą klasą a klasą wszystkich zbiorów. Ta korespondencja dobrze porządkuje klasę wszystkich zbiorów, co implikuje twierdzenie o dobrym porządku. W 1930 roku Zermelo zdefiniował modele teorii mnogości spełniające aksjomat von Neumanna .

Filozofia, religia, literatura i matematyka Cantora

Koncepcja istnienia rzeczywistej nieskończoności była ważnym wspólnym problemem w dziedzinie matematyki, filozofii i religii. Zachowanie ortodoksji relacji między Bogiem a matematyką, choć nie w tej samej formie, co jego krytycy, przez długi czas było przedmiotem troski Cantora. Bezpośrednio odniósł się do tego skrzyżowania tych dyscyplin we wstępie do swojego Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre , w którym podkreślił związek między swoim poglądem na nieskończoność a poglądem filozoficznym. Dla Cantora jego poglądy matematyczne były nierozerwalnie związane z ich implikacjami filozoficznymi i teologicznymi – zidentyfikował Absolutną Nieskończoność u Boga i uważał, że jego praca nad liczbami pozaskończonymi została mu bezpośrednio przekazana przez Boga, który wybrał Cantora, aby objawił je światu. Był pobożnym luteraninem, którego wyraźne wierzenia chrześcijańskie ukształtowały jego filozofię nauki. Joseph Dauben prześledził wpływ chrześcijańskich przekonań Cantora na rozwój pozaskończonej teorii mnogości.

Debata wśród matematyków wyrosła z przeciwstawnych poglądów w filozofii matematyki na temat natury rzeczywistej nieskończoności. Niektórzy utrzymywali, że nieskończoność jest abstrakcją, która nie była matematycznie uzasadniona, i zaprzeczali jej istnieniu. Matematycy z trzech głównych szkół myślenia ( konstruktywizmu i jego dwóch odgałęzień, intuicjonizmu i finityzmu ) przeciwstawiali się w tej materii teoriom Cantora. Dla konstruktywistów, takich jak Kronecker, to odrzucenie faktycznej nieskończoności wynika z fundamentalnej niezgody z ideą, że niekonstruktywne dowody takie jak diagonalny argument Cantora są wystarczającym dowodem na to, że coś istnieje, utrzymując zamiast tego konstruktywne dowody są wymagane. Intuicjonizm odrzuca również ideę, że rzeczywista nieskończoność jest wyrazem jakiejkolwiek rzeczywistości, ale dochodzi do decyzji inną drogą niż konstruktywizm. Po pierwsze, argument Cantora opiera się na logice, aby udowodnić istnienie liczb pozaskończonych jako rzeczywisty byt matematyczny, podczas gdy intuicjoniści utrzymują, że bytów matematycznych nie można sprowadzić do twierdzeń logicznych, zamiast tego wywodzących się z intuicji umysłu. Po drugie, samo pojęcie nieskończoności jako wyrazu rzeczywistości jest niedozwolone w intuicjonizmie, ponieważ ludzki umysł nie może intuicyjnie skonstruować nieskończonego zbioru. Matematycy, tacy jak LEJ Brouwer a zwłaszcza Henri Poincaré przyjął intuicjonistyczne stanowisko przeciwko pracy Cantora. Wreszcie Wittgensteina były finitystyczne: uważał, że argument Cantora po przekątnej łączy intencję zbioru liczb głównych lub rzeczywistych z jego rozszerzeniem , łącząc w ten sposób koncepcję reguł generowania zbioru z rzeczywistym zbiorem.

Niektórzy teologowie chrześcijańscy postrzegali dzieło Cantora jako wyzwanie dla wyjątkowości absolutnej nieskończoności w naturze Boga. W szczególności neotomistyczni postrzegali istnienie rzeczywistej nieskończoności, która składała się z czegoś innego niż Bóg, jako zagrażające „wyłącznemu roszczeniu Boga do najwyższej nieskończoności”. Cantor mocno wierzył, że ten pogląd był błędną interpretacją nieskończoności i był przekonany, że teoria mnogości może pomóc naprawić ten błąd: „… gatunki pozaskończone są w takim samym stopniu do dyspozycji intencji Stwórcy i Jego absolutnej nieograniczonej woli, jak są liczbami skończonymi.”. Wybitny neoscholastyczny filozof niemiecki Constantin Gutberlet opowiadał się za taką teorią, uważając, że nie sprzeciwia się ona naturze Boga.

Cantor uważał również, że jego teoria liczb pozaskończonych jest sprzeczna zarówno z materializmem , jak i determinizmem - i był zszokowany, gdy zdał sobie sprawę, że był jedynym członkiem wydziału w Halle, który nie wyznawał deterministycznych przekonań filozoficznych.

Dla Cantora ważne było, aby jego filozofia dostarczała „organicznego wyjaśnienia” natury, aw swoim Grundlagen z 1883 r. Powiedział, że takie wyjaśnienie może nastąpić jedynie dzięki wykorzystaniu zasobów filozofii Spinozy i Leibniza. Wysuwając te twierdzenia, Cantor mógł być pod wpływem FA Trendelenburga , na którego wykłady uczęszczał w Berlinie, az kolei Cantor stworzył łaciński komentarz do Księgi 1 Spinozy Ethica . FA Trendelenburg był także egzaminatorem Habilitationsschrift Cantora .

W 1888 roku Cantor opublikował swoją korespondencję z kilkoma filozofami na temat filozoficznych implikacji jego teorii mnogości. W szeroko zakrojonych próbach przekonania innych chrześcijańskich myślicieli i autorytetów do przyjęcia jego poglądów, Cantor korespondował z chrześcijańskimi filozofami, takimi jak Tilman Pesch i Joseph Hontheim , a także teologami, takimi jak kardynał Johann Baptist Franzelin , który kiedyś odpowiedział, zrównując teorię transfinity liczby z panteizmem . Chociaż później ten kardynał zaakceptował teorię jako słuszną, z powodu pewnych wyjaśnień ze strony Cantora. Cantor wysłał nawet jeden list bezpośrednio do papieża Leona XIII i zaadresował do niego kilka broszur.

Filozofia Cantora dotycząca natury liczb doprowadziła go do potwierdzenia wiary w wolność matematyki do zakładania i udowadniania pojęć poza sferą zjawisk fizycznych, jako wyrażeń w wewnętrznej rzeczywistości. Jedynym ograniczeniem tego metafizycznego jest to, że wszystkie pojęcia matematyczne muszą być pozbawione wewnętrznej sprzeczności i że wynikają z istniejących definicji, aksjomatów i twierdzeń. Przekonanie to podsumowuje jego stwierdzenie, że „istotą matematyki jest jej wolność”. Te idee są podobne do pomysłów Edmunda Husserla , którego Cantor spotkał w Halle.

Tymczasem sam Cantor był zaciekłym przeciwnikiem nieskończenie małych , opisując je zarówno jako „ohydę”, jak i „bałeczkę cholery matematyki”.

Artykuł Cantora z 1883 r. ujawnia, że ​​doskonale zdawał sobie sprawę z opozycji , z jaką spotykały się jego idee: „... Zdaję sobie sprawę, że w tym przedsięwzięciu stawiam się w pewnej opozycji do szeroko rozpowszechnionych poglądów dotyczących matematycznej nieskończoności i często bronionych opinii na temat natury liczb”.

Dlatego dużo miejsca poświęca uzasadnieniu swojej wcześniejszej pracy, twierdząc, że pojęcia matematyczne można wprowadzać dowolnie, o ile są one wolne od sprzeczności i zdefiniowane w terminach wcześniej przyjętych pojęć. Cytuje również Arystotelesa, René Descartesa , George'a Berkeleya , Gottfrieda Leibniza i Bernarda Bolzano na temat nieskończoności. Zamiast tego zawsze stanowczo odrzucał Kanta filozofii, zarówno w dziedzinie filozofii matematyki, jak i metafizyki. Podzielał motto B. Russella „Kant or Cantor” i zdefiniował Kanta jako „tamtego sofistycznego Filistyna, który tak mało znał matematykę”.

Pochodzenie Cantora

Tytuł na tablicy pamiątkowej (po rosyjsku): „W tym budynku urodził się i mieszkał od 1845 do 1854 roku wielki matematyk i twórca teorii mnogości Georg Cantor”, Wyspa Wasilewska , Sankt-Petersburg.

Dziadkowie Cantora ze strony ojca pochodzili z Kopenhagi i uciekli do Rosji przed przerwami wojen napoleońskich . Niewiele jest bezpośrednich informacji na ich temat. Ojciec Cantora, Georg Waldemar Cantor, kształcił się na luterańskiej w Sankt Petersburgu, a jego korespondencja z synem pokazuje, że obaj byli pobożnymi luteranami. Niewiele wiadomo na pewno o pochodzeniu lub wykształceniu Georga Waldemara. Matka Cantora, Maria Anna Böhm, była Austro-Węgierką urodzoną w Sankt Petersburgu i ochrzczoną rzymskokatolicką ; nawróciła się na Protestantyzm po ślubie. Istnieje jednak list od brata Cantora, Louisa, do ich matki, w którym stwierdza:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber ...

(„Nawet gdybyśmy byli dziesięciokrotnie potomkami Żydów i chociaż w zasadzie mogę całkowicie opowiadać się za równymi prawami dla Hebrajczyków, w życiu społecznym wolę chrześcijan…”), co można by odczytać jako sugerujące, że była pochodzenia żydowskiego.

Według biografów Erica Temple Bella , Cantor był pochodzenia żydowskiego, chociaż oboje rodzice byli ochrzczeni. W artykule z 1971 r. zatytułowanym „Towards a Biography of Georg Cantor” brytyjski historyk matematyki Ivor Grattan-Guinness wspomina ( Annals of Science 27, s. 345–391, 1971), że nie był w stanie znaleźć dowodów na żydowskie pochodzenie. (Stwierdza również, że żona Cantora, Vally Guttmann, była Żydówką).

W liście napisanym do Paula Tannery'ego w 1896 r. (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paryż, 1934, s. 306) Cantor stwierdza, że ​​jego dziadkowie ze strony ojca byli członkami społeczności Żydów sefardyjskich w Kopenhadze. W szczególności Cantor stwierdza, opisując swojego ojca: „Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde…” („Urodził się w Kopenhadze z żydowskich (dosł. „Izraelitów”) rodziców z lokalna społeczność portugalsko-żydowska.”) Ponadto pradziadek Cantora ze strony matki, węgierski skrzypek Josef Böhm , został opisany jako Żyd, co może sugerować, że matka Cantora przynajmniej częściowo pochodziła z węgierskiej społeczności żydowskiej.

W liście do Bertranda Russella Cantor opisał swoje pochodzenie i samoocenę w następujący sposób:

Ani mój ojciec, ani moja matka nie byli niemieckiej krwi, pierwsza była Duńczykiem, urodzoną w Kopenhadze, moja matka austriackiego pochodzenia węgierskiego. Musisz wiedzieć, proszę pana, że ​​nie jestem zwykłym sprawiedliwym Germainem , ponieważ urodziłem się 3 marca 1845 w Saint Peterborough, stolicy Rosji, ale pojechałem z moim ojcem, matką, braćmi i siostrą, mając jedenaście lat w roku 1856 , do Niemiec.

W latach trzydziestych XX wieku istniały udokumentowane oświadczenia, które poddawały w wątpliwość to żydowskie pochodzenie:

Częściej [tj. niż pochodzenie matki] dyskutowano o tym, czy Georg Cantor był pochodzenia żydowskiego. Informuje o tym zawiadomienie Duńskiego Instytutu Genealogicznego w Kopenhadze z roku 1937 dotyczące jego ojca: „Niniejszym zeznaje, że Georg Woldemar Cantor, ur. że zupełnie bez wątpienia nie był Żydem…”

Biografie

Do lat 70. głównymi publikacjami naukowymi na temat Cantora były dwie krótkie monografie Arthura Moritza Schönfliesa (1927) - w dużej mierze korespondencja z Mittag-Leffler - i Fraenkel (1930). Obaj byli z drugiej i trzeciej ręki; żaden z nich nie miał wiele w swoim życiu osobistym. Lukę w dużej mierze wypełniła książka Men of Mathematics (1937) Erica Temple Bella , którą jeden ze współczesnych biografów Cantora opisuje jako „prawdopodobnie najczęściej czytaną współczesną książkę o historii matematyki ”; i jako „jeden z najgorszych”. Bell przedstawia relacje Cantora z ojcem jako Edypal , spory Cantora z Kroneckerem jako kłótnia między dwoma Żydami i szaleństwo Cantora jako romantyczna rozpacz z powodu niepowodzenia w zdobyciu akceptacji dla swojej matematyki. Grattan-Guinness (1971) stwierdził, że żadne z tych twierdzeń nie było prawdziwe, ale można je znaleźć w wielu książkach z tamtego okresu, ze względu na brak jakiejkolwiek innej narracji. Istnieją inne legendy, niezależne od Bella - w tym jedna, która określa ojca Cantora jako podrzutka, wysłanego do Sankt Petersburga przez nieznanych rodziców. Krytyka książki Bella zawarta jest w biografii Josepha Daubena . Pisze Dauben:

Cantor poświęcił część swojej najbardziej obelżywej korespondencji, jak również część Beiträge , atakowaniu tego, co w pewnym momencie określił jako „ nieskończenie mały bakcyl cholery matematyki”, który rozprzestrzenił się z Niemiec dzięki pracy Thomae , du Bois Reymond i Stolz , aby zarazić włoską matematykę ... Jakakolwiek akceptacja nieskończenie małych oznaczała koniecznie, że jego własna teoria liczb była niekompletna. Tak więc przyjąć prace Thomae, du Bois-Reymonda, Stolza i Veronese było zaprzeczenie doskonałości własnej twórczości Cantora. Co zrozumiałe, Cantor rozpoczął gruntowną kampanię mającą na celu zdyskredytowanie pracy Veronese na wszelkie możliwe sposoby.

Zobacz też

Notatki

Bibliografia

Starsze źródła dotyczące życia Cantora należy traktować z ostrożnością. Zobacz sekcję § Biografie powyżej.

Literatura podstawowa w języku angielskim

Literatura podstawowa w języku niemieckim

Literatura drugorzędna

  •   Aczel, Amir D. (2000). Tajemnica Aleph: matematyka, kabała i poszukiwanie nieskończoności . Nowy Jork: Four Walls Osiem Windows Publishing. . ISBN 0-7607-7778-0 . Popularne traktowanie nieskończoności, w którym często wspomina się o Cantorze.
  • Dauben, Joseph W. (czerwiec 1983). „Georg Cantor i początki teorii mnogości pozaskończonej”. Naukowy Amerykanin . 248 (6): 122–131. Bibcode : 1983SciAm.248f.122D . doi : 10.1038/scientificamerican0683-122 .
  •   Ferreiros, José (2007). Labirynt myśli: historia teorii mnogości i jej rola w myśli matematycznej . Bazylea, Szwajcaria: Birkäuser. . ISBN 3-7643-8349-6 Zawiera szczegółowe omówienie wkładu Cantora i Dedekinda w teorię mnogości.
  •   Halmos, Paweł (1998) [1960]. Naiwna teoria mnogości . Nowy Jork i Berlin: Springer. . ISBN 3-540-90092-6
  •   Hilberta, Dawida (1926). „Über das Unendliche” . Mathematische Annalen . 95 : 161–190. doi : 10.1007/BF01206605 . S2CID 121888793 .
  •   Hill, Kolorado; Rosado Plamiak, GE (2000). Husserl czy Frege? Znaczenie, obiektywizm i matematyka . Chicago: Sąd otwarty. . ISBN 0-8126-9538-0 Trzy rozdziały i 18 wpisów indeksowych dotyczących Cantora.
  • Mieszkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Życie, praca i wpływ, w języku niemieckim) . Vieweg, Brunszwik.
  • Newstead, Anne (2009). „Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind” [1] , American Catholic Philosophical Quarterly , 83 (4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444 . Uznając pionierską pracę historyczną Daubena, niniejszy artykuł omawia dogłębnie stosunek Cantora do filozofii Spinozy i Leibniza oraz jego zaangażowanie w Pantheismusstreit . Krótka wzmianka o nauce Cantora z FATrendelenburga.
  •   Penrose, Roger (2004). Droga do Rzeczywistości . Alfreda A. Knopfa. . ISBN 0-679-77631-1 Rozdział 16 ilustruje, w jaki sposób myślenie Cantora intryguje czołowego współczesnego fizyka teoretycznego .
  •   Rucker, Rudy (2005) [1982]. Nieskończoność i umysł . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. . ISBN 0-553-25531-2 Zajmuje się podobnymi tematami jak Aczel, ale bardziej szczegółowo.
  • Rodych, Wiktor (2007). „Filozofia matematyki Wittgensteina” . W Edward N. Zalta (red.). Stanford Encyklopedia filozofii . Laboratorium Badawcze Metafizyki, Uniwersytet Stanforda. .
  • Leonida Lazzari, Nieskończony kantor . Editrice Pitagora, Bolonia, 2008.

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Georg_Cantor&oldid=1138403097 ”