Liczba algebraiczna

Pierwiastek kwadratowy z 2 jest liczbą algebraiczną równą długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o bokach długości 1.

Liczba algebraiczna to liczba będąca pierwiastkiem niezerowego wielomianu w jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych (lub równoważnie wymiernych ). $x 2 Na ponieważ 1$ przykład $złoty$ podział , $-$ algebraiczną, . Oznacza to, że jest to wartość dla x, dla której wielomian ma wartość zero. Jako inny przykład, liczba zespolona $algebraiczna,$ jest pierwiastkiem z $4 + 4$ .

Wszystkie liczby całkowite i wymierne są algebraiczne, podobnie jak wszystkie pierwiastki liczb całkowitych . Liczby rzeczywiste i zespolone, które nie są algebraiczne, takie jak $π$ i $e$ , nazywane są liczbami przestępnymi .

Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalnie nieskończony i ma miarę zero w mierze Lebesgue'a jako podzbiór niezliczonych liczb zespolonych. W tym sensie prawie wszystkie liczby zespolone są przestępne .

Przykłady

Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne. Każda liczba wymierna, wyrażona jako iloraz liczby całkowitej $a$ i (niezerowej) liczby naturalnej $b$ , spełnia powyższą definicję, ponieważ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} x = a / b$ jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu, czyli $bx - a$ .
Kwadratowe liczby niewymierne , niewymierne rozwiązania kwadratowego wielomianu ax ² + bx + c ze współczynnikami całkowitymi a , b , i c , są liczbami algebraicznymi. Jeśli wielomian kwadratowy jest moniczny ( a = 1 ), pierwiastki są dalej kwalifikowane jako kwadratowe liczby całkowite .
- Liczby całkowite Gaussa , liczby zespolone $a + bi$ , dla których zarówno $a,$ jak i $b$ są liczbami całkowitymi, są również liczbami całkowitymi kwadratowymi. To dlatego, że $a + bi$ i $a - bi$ to dwa pierwiastki z kwadratu $x 2 - 2 ax + a 2 + b 2$ .
Konstruktywną liczbę można skonstruować z danej długości jednostki za pomocą liniału i kompasu. Obejmuje wszystkie kwadratowe pierwiastki niewymierne, wszystkie liczby wymierne i wszystkie liczby, które można z nich utworzyć za pomocą podstawowych operacji arytmetycznych i wyodrębniania pierwiastków kwadratowych. (Wyznaczając główne kierunki dla 1, −1, $)$ $i$ − $ja$ , liczby zespolone, takie jak .
Każde wyrażenie utworzone z liczb algebraicznych przy użyciu dowolnej kombinacji podstawowych działań arytmetycznych i wyciągnięcia $n$ -tego pierwiastka daje inną liczbę algebraiczną.
Pierwiastki wielomianowe, których nie można wyrazić za pomocą podstawowych działań arytmetycznych i wyodrębnienia $n$ -tych pierwiastków (takich jak pierwiastki z $x 5 - x + 1$ ). Dzieje się tak w przypadku wielu, ale nie wszystkich wielomianów stopnia 5 lub wyższego.
Wartości funkcji trygonometrycznych wymiernych wielokrotności $π$ (z wyjątkiem przypadków nieokreślonych): na przykład $cos π / 7$ , $cos 3 π / 7$ i $cos 5 π / 7$ spełniają $8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0$ . Ten wielomian jest nieredukowalny po liczbach wymiernych, więc trzy cosinusy są sprzężone liczby algebraiczne. Podobnie $tan 3 π / 16$ , $tan 7 π / 16$ , $tan 11 π / 16$ i $tan 15 π / 16$ spełniają nierozkładalny wielomian $x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0$ , i tak są sprzężonymi algebraicznymi liczbami całkowitymi .
Niektóre, ale nie wszystkie, liczby niewymierne są algebraiczne:
- Liczby $\ Displaystyle {\ Frac {$ $sqrt [{3}] {3}} {2}}} odpowiednio$ algebraiczne, ponieważ są pierwiastkami wielomianów $x 2 - 2$ \ i $8 x 3 - 3$ .
- Złoty podział $φ$ jest algebraiczny, ponieważ jest pierwiastkiem wielomianu $x 2 - x - 1$ .
- Liczby $π$ i e nie są liczbami algebraicznymi (patrz twierdzenie Lindemanna – Weierstrassa ).

Nieruchomości

Liczby algebraiczne na płaszczyźnie zespolonej pokolorowane według stopnia (jasny pomarańczowy / czerwony = 1, zielony = 2, niebieski = 3, żółty = 4)

Jeśli wielomian o współczynnikach wymiernych zostanie pomnożony przez najmniejszy wspólny mianownik , otrzymany wielomian o współczynnikach całkowitych ma te same pierwiastki. To pokazuje, że liczbę algebraiczną można równoważnie zdefiniować jako pierwiastek wielomianu ze współczynnikami całkowitymi lub wymiernymi.
Biorąc pod uwagę liczbę algebraiczną, istnieje unikalny wielomian moniczny z wymiernymi współczynnikami najmniejszego stopnia , którego pierwiastkiem jest liczba. Ten wielomian nazywany jest wielomianem minimalnym . Jeśli jej minimalny wielomian ma stopień $n$ , to mówi się, że liczba algebraiczna jest stopnia $n$ . Na przykład wszystkie liczby wymierne mają stopień 1, a liczba algebraiczna stopnia 2 jest niewymierną kwadratową .
Liczby algebraiczne są gęste w liczbach rzeczywistych . Wynika to z faktu, że zawierają one liczby wymierne, które są gęste w samych liczbach rzeczywistych.
Zbiór liczb algebraicznych jest policzalny (przeliczalny), dlatego jego miara Lebesgue'a jako podzbioru liczb zespolonych wynosi 0 (w zasadzie liczby algebraiczne nie zajmują miejsca w liczbach zespolonych). Oznacza to, że „prawie wszystkie” liczby rzeczywiste i zespolone są transcendentalne.
Wszystkie liczby algebraiczne są obliczalne , a zatem definiowalne i arytmetyczne .
Dla liczb rzeczywistych $a$ i $b$ liczba zespolona $a + bi$ jest algebraiczna wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są algebraiczne.

Pole

Liczby algebraiczne pokolorowane według stopnia (niebieski = 4, cyjan = 3, czerwony = 2, zielony = 1). Okrąg jednostek jest czarny.

Suma, różnica, iloczyn i iloraz (jeśli mianownik jest różny od zera) dwóch liczb algebraicznych jest ponownie algebraiczna, co można wykazać za pomocą wypadkowej , a liczby algebraiczne tworzą w ten sposób pole ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ (czasami oznaczane przez $,$ zwykle oznacza to pierścień adele ). Każdy pierwiastek równania wielomianowego, którego współczynniki są liczbami algebraicznymi, jest ponownie algebraiczny. Można to przeformułować, mówiąc, że pole liczb algebraicznych jest algebraicznie domknięty . W rzeczywistości jest to najmniejsze algebraicznie domknięte pole zawierające wymierne, dlatego nazywa się je domknięciem algebraicznym wymiernych.

Sam zbiór rzeczywistych liczb algebraicznych tworzy pole.

Powiązane pola

Liczby zdefiniowane przez rodniki

Dowolna liczba, którą można otrzymać z liczb całkowitych za pomocą skończonej liczby dodawania , odejmowania , mnożenia , dzielenia i biorąc (prawdopodobnie złożone) $n$ -te pierwiastki, gdzie $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą, jest algebraiczna. Jednak sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa: istnieją liczby algebraiczne, których nie można otrzymać w ten sposób. Liczby te są pierwiastkami wielomianów stopnia 5 lub wyższego, co jest wynikiem teorii Galois (patrz równania Quintica i twierdzenie Abla – Ruffiniego ). Na przykład równanie:

{\ Displaystyle x ^ {5} -x-1 = 0}

ma unikalny rzeczywisty pierwiastek, którego nie można wyrazić wyłącznie za pomocą pierwiastków i operacji arytmetycznych.

Numer w formie zamkniętej

Liczby algebraiczne to wszystkie liczby, które można zdefiniować jawnie lub pośrednio za pomocą wielomianów, zaczynając od liczb wymiernych. Można to uogólnić na „ liczby zamknięte ”, które można definiować na różne sposoby. Mówiąc najogólniej, wszystkie liczby, które można zdefiniować jawnie lub pośrednio za pomocą wielomianów, wykładników i logarytmów, nazywane są „ liczbami elementarnymi ” i obejmują one liczby algebraiczne oraz niektóre liczby przestępne. W najwęższym zakresie można wyraźnie rozważyć liczby zdefiniowane za pomocą wielomianów, wykładników i logarytmów – nie obejmuje to wszystkich liczb algebraicznych, ale zawiera pewne proste liczby przestępne, takie jak $e$ lub ln 2 .

Liczby całkowite algebraiczne

Liczby algebraiczne pokolorowane przez wiodący współczynnik (czerwony oznacza 1 dla algebraicznej liczby całkowitej)

Algebraiczna liczba całkowita to liczba algebraiczna będąca pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych ze współczynnikiem wiodącym 1 (wielomian moniczny ). $i$ algebraicznych $.$ ${\ textstyle {\ frac {1} {2}} (1 + i {\ sqrt {3}}).}$ 1 Dlatego algebraiczne liczby całkowite stanowią właściwy nadzbiór liczb całkowitych , ponieważ te ostatnie są pierwiastkami wielomianów monicznych $x - k$ dla wszystkich ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ . W tym sensie algebraiczne liczby całkowite mają się do liczb algebraicznych tym, czym liczby całkowite do liczb wymiernych .

Suma, różnica i iloczyn liczb całkowitych algebraicznych są znowu liczbami całkowitymi algebraicznymi, co oznacza, że liczby całkowite algebraiczne tworzą pierścień . Nazwa algebraiczna liczba całkowita pochodzi od faktu, że jedynymi liczbami wymiernymi, które są algebraicznymi liczbami całkowitymi, są liczby całkowite, oraz ponieważ algebraiczne liczby całkowite w dowolnym polu liczbowym są pod wieloma względami analogiczne do liczb całkowitych. Jeśli $K$ jest polem liczbowym, jego pierścień liczb całkowitych jest podpierścieniem algebraicznych liczb całkowitych w $K$ i jest często oznaczany jako $O K$ . Oto prototypowe przykłady domen Dedekind .

Klasy specjalne

Notatki

Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 0-13-004763-5 , MR 1129886
Hardy, GH and Wright, EM 1978, 2000 (z indeksem ogólnym) Wprowadzenie do teorii liczb: wydanie 5 , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
Irlandia, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasyczne wprowadzenie do współczesnej teorii liczb , Graduate Texts in Mathematics, tom. 84 (wydanie drugie), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN 0-387-97329-X , MR 1070716
Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
Niven, Ivan 1956. Liczby niewymierne , Monografia matematyczna Carusa nr. 11, Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne .
Ruda, Øystein 1948, 1988, teoria liczb i jej historia , Dover Publications, Inc. Nowy Jork, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)

Systemy liczbowe
Zestawy definiowalnych liczb	Liczby naturalne ( ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ) liczby całkowite ( ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ) Liczby wymierne ( ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ) Konstruowalne liczby Liczby algebraiczne ( ${\ Displaystyle \ mathbb {A}}$ ) Liczby w formie zamkniętej Okresy Liczby obliczalne Liczby arytmetyczne Liczby definiowalne w teorii zbiorów Całkowite liczby Gaussa
Algebry kompozycji	Algebry dzielenia : liczby rzeczywiste ( ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ) Liczby zespolone ( ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ) kwaterniony ( ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ ) Octony ( ${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$ )
Podział typów	przez ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}: R {\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ : Liczby rozdzielno-zespolone Czwartorzędy podzielone Split-octonions Over do ${\ displaystyle \ mathbb {$ }: Liczby dwuzespolone Biquaternions Bioktoniony
Inny hiperkompleks	Numery podwójne Podwójne kwaterniony Liczby podwójnie zespolone Kwaterniony hiperboliczne Sedenions ( ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ) Podzielone biquaternions Liczby wielozespolone Algebra geometryczna / algebra Clifforda Algebra przestrzeni fizycznej Algebra czasoprzestrzenna
Inne rodzaje	Liczby kardynalne Rozszerzone liczby naturalne Liczby niewymierne Rozmyte liczby Liczby hiperrzeczywiste Pole Levi-Civita Surrealistyczne liczby Liczby transcendentalne Liczby porządkowe liczby p -adyczne ( elektromagnesy p -adyczne ) Liczby nadprzyrodzone Liczby nadrzeczywiste Normalne liczby
Klasyfikacja Lista