Rozszerzone liczby naturalne

W matematyce rozszerzone liczby $_$ $)$ zbiór wartości _ Oznacza to, że jest wynikiem dodania elementu $liczb$ do naturalnych . Dodawanie i mnożenie działają normalnie dla wartości skończonych i są rozszerzane przez reguły ${\ Displaystyle n + \ infty = \ infty + n = \ infty}$ ( ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} \ kubek \ {\ infty \}}$ ), ${\ Displaystyle 0 \ razy \ infty = \ infty \ razy 0 = 0}$ i ${\ Displaystyle m \ razy \ infty = \ infty \ razy m = \ infty}$ dla ${\ Displaystyle m \ neq 0}$ .

Z $półpierścieniem$ $i$ jest , ale pierścieniem , nie ma addytywnej Zbiór można oznaczyć przez ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {N}}}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {\ infty}}$ lub ${\ Displaystyle \ mathbb {N} } ^{\infty}}$ . Jest to podzbiór rozszerzonej osi liczb rzeczywistych , który rozszerza liczby rzeczywiste przez dodanie $displaystyle$ + $+ \ infty}$ \

Aplikacje

W teorii grafów rozszerzone liczby naturalne są $używane$ do definiowania odległości na grafach , przy czym jest to odległość między dwoma niepołączonymi wierzchołkami Można ich użyć do pokazania rozszerzenia niektórych wyników, takich jak twierdzenie o maksymalnym przepływie i minimalnym przecięciu , na nieskończone wykresy.

W topologii topos działań właściwych na rozciągniętych liczbach naturalnych jest kategorią PRO algebr projekcji .

W matematyce konstruktywnej rozszerzone liczby naturalne $są$ jednopunktowym zagęszczeniem liczb naturalnych, dając zbiór nierosnących ciągów binarnych tj ${\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ kropki) \ w 2 ^ {\ mathbb {N}}}$ takie, że $\forall i\in \mathbb {N} :x_{i}\geq x_{i+1}$ . Sekwencja reprezentuje ${\ Displaystyle 1 ^ {n} 0 ^ {\ omega}}$ $,$ podczas gdy sekwencja reprezentuje ${\ Displaystyle 1 ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle \ infty }$ . Jest to wycofanie i twierdzenie, że $}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ puchar \ {\ infty \}$ implikuje ograniczoną zasadę wszechwiedzy .

Notatki

Folkman, Jon ; Fulkerson, DR (1970). „Przepływy w nieskończonych wykresach” . Dziennik teorii kombinatorycznej . 8 (1). doi : 10.1016/S0021-9800(70)80006-0 .
Escardo, Martín H (2013). „Zbiory nieskończone, które spełniają zasadę wszechwiedzy w dowolnej odmianie matematyki konstruktywnej” . Dziennik logiki symbolicznej . 78 (3).
Kocha, Sebastian (2020). „Rozszerzone liczby naturalne i liczniki” (PDF) . Matematyka sformalizowana . 28 (3).
Khanjanzadeh, Zeinab; Madanshekaf, Ali (2018). „Słaba idealna topologia w toposie właściwych aktów nad monoidem”. Komunikacja w algebrze . 46 (5).
Sakarovitch, Jacques (2009). Elementy teorii automatów . Przetłumaczone z francuskiego przez Reubena Thomasa. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84425-3 . Zbl 1188.68177 .

Dalsza lektura

Robert, Leonel (3 września 2013). „Półgrupa Cuntza niektórych przestrzeni o wymiarze co najwyżej dwóch”. ar Xiv : 0711.4396 .
Lightstone, AH (1972). „Nieskończenie małe”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 79 (3).
Khanjanzadeh, Zeinab; Madanshekaf, Ali (2019). „O algebrach projekcji”. Biuletyn Matematyki Azji Południowo-Wschodniej . 43 (2).

Linki zewnętrzne

Rozszerzona liczba naturalna w n Lab