Obiekt projekcyjny

W teorii kategorii pojęcie obiektu rzutowego uogólnia pojęcie modułu rzutowego . Obiekty rzutowe w kategoriach abelowych są używane w algebrze homologicznej . Podwójne pojęcie przedmiotu projekcyjnego to pojęcie przedmiotu iniekcyjnego .

Definicja

Obiekt w kategorii jest rzutowy $X}$ jeśli dla dowolnego : $mi$ ↠ $X$${\ Displaystyle f: P \ do X}$ i morfizm , istnieje morfizm ${\ Displaystyle {\ overline {f}}: P \ do mi}$ taki, że ${\ Displaystyle e \ circ {\ overline {f}} = f}$ , tj. następujący diagram komutuje :

$uwzględniany$ to $że$ przez epimorfizm .

Jeśli C jest lokalnie małe , tj . w szczególności $dla$ dowolnego obiektu X w C pod warunkiem, że funktor hom (znany również jako funktor corepresentable )

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ okrężnica {\ mathcal {C}} \ do \ mathbf {zestaw}}$

zachowuje epimorfizmy .

Obiekty rzutowe w kategoriach abelowych

Jeśli kategoria C jest kategorią abelową, taką jak na przykład kategoria grup abelowych , to P jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ okrężnica {\ mathcal {C}} \ do \ mathbf {Ab}}$

jest dokładnym funktorem , gdzie Ab jest kategorią grup abelowych .

${\ mathcal {A}}}$ kategoria abelowa $istnieje$ wystarczającą liczbę rzutów , jeśli dla każdego obiektu rzut ${\$ displaystyle obiekt i epimorfizm od P $lub$ A równoważnie krótka sekwencja dokładna P. { \ $}$ P

${\ Displaystyle 0 \ do K \ do P \ longrightarrow A \ longrightarrow 0.}$

Celem tej definicji jest zapewnienie, że dowolny obiekt A dopuszcza rozdzielczość rzutową , tj. (długi) dokładny ciąg

${\ Displaystyle \ kropki P_ {2} \ do P_ {1} \ do P_ {0} \ do A \ do 0}$

$_$ obiekty _

Rzutywność w odniesieniu do klas ograniczonych

Semadeni (1963) omawia pojęcie obiektów rzutowych (i podwójnie iniekcyjnych) w stosunku do tak zwanej bikategorii, która składa się z pary podkategorii „iniekcji” i „surjekcji” w danej kategorii C . Te podkategorie podlegają pewnym właściwościom formalnym, w tym wymogowi, aby każda surjekcja była epimorfizmem. Obiekt rzutowy (względem ustalonej klasy surjekcji) jest wtedy przedmiotem P , tak że Hom ( P , −) zamienia stałą klasę surjekcji (w przeciwieństwie do wszystkich epimorfizmów) w surjekcję zbiorów (w zwykłym sensie).

Nieruchomości

• Koprodukt dwóch obiektów rzutowych jest rzutowy .
• Wycofanie obiektu rzutowego jest rzutowe .

Przykłady

Stwierdzenie, że wszystkie zbiory są rzutowe, jest równoznaczne z aksjomatem wyboru .

Obiektami rzutowymi w kategorii grup abelowych są wolne grupy abelowe .

Niech $będzie$ z tożsamością . $-modułów$ kategorię ( $)$ - Mod lewych . Obiekty rzutowe w $Mod$ Mod to dokładnie rzutowe lewe R-moduły . W konsekwencji $sam$$obiektem$ rzutowym - Mod . Podwójnie, obiekty iniekcyjne w - $są$ dokładnie iniekcyjnymi lewymi modułami R.

Kategoria lewych (prawych) $.$ ma również wystarczającą liczbę rzutów Jest to prawdą, ponieważ dla każdego lewego (prawego) $możemy$ przyjąć , $jest$$R$ (a zatem rzutowy) $\ displaystyle R}$ -moduł generowany przez zespół generujący dla (na przykład możemy przyjąć, że $X$$X$$}$ ${\ displaystyle M}$ ). Wtedy wymaganym surjekcją jest projekcja kanoniczna ${\ displaystyle \ pi \ okrężnica F \ do M}$ .

Obiekty rzutowe w kategorii zwartych przestrzeni Hausdorffa to właśnie przestrzenie skrajnie rozłączne . Wynik ten zawdzięczamy Gleasonowi (1958) , z uproszczonym dowodem podanym przez Rainwatera (1959) .

W kategorii przestrzeni i kontrakcji Banacha (tj. funkcjonałów, których norma wynosi co najwyżej 1), epimorfizmami są właśnie mapy z gęstym obrazem . Wiweger (1969) pokazuje, że przestrzeń zerowa jest jedynym obiektem rzutowym w tej kategorii. Istnieją jednak przestrzenie nietrywialne, które są rzutowe względem klasy kontrakcji surjektywnych. W kategorii znormalizowanych przestrzeni wektorowych $( i mapami surjektywnymi jako „$ ”) obiekty rzutowe są dokładnie .

${\ Displaystyle l ^ {1} (S) = \ {(x_ {s}) _ {s \ w S} \ suma _ {s \ w S} || x_ {s} || <\ infty \} .}$

•    Awodey, Steve (2010), teoria kategorii (wyd. 2), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180 , OCLC 740446073
•   Gleason, Andrew M. (1958), „Rzutowe przestrzenie topologiczne”, Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10,1215/ijm/1255454110 , MR 0121775
•    Mac Lane, Saunders (1978), Kategorie dla pracującego matematyka (wyd. Drugie), New York, NY: Springer New York, s. 114, ISBN 1441931236 , OCLC 851741862
•    Mitchell, Barry (1965). Teoria kategorii . Matematyka czysta i stosowana. Tom. 17. Prasa akademicka. ISBN 978-0-124-99250-4 . MR 0202787 .
•   Pothoven, Kenneth (1969), „Obiekty rzutowe i iniekcyjne w kategorii przestrzeni Banacha”, Proceedings of the American Mathematical Society , 22 (2): 437–438, doi : 10,2307/2037073 , JSTOR 2037073
•   Rainwater, John (1959), „A Note on Projective Resolutions”, Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR 2033466
•   Semadeni, Z. (1963), "Rzutowość, iniekcja i dwoistość" , Rozprawy Mat. , 35 , MR 0154832

Linki zewnętrzne

' "obiekt projekcyjny w nLab" . ncatlab.org . Źródło 2017-10-17 .