Diagram przemienny

Diagram przemienny użyty w dowodzie pięciu lematów

W matematyce , a zwłaszcza w teorii kategorii , diagram przemienny jest diagramem , w którym wszystkie skierowane ścieżki na diagramie z tym samym punktem początkowym i końcowym prowadzą do tego samego wyniku. Mówi się, że diagramy przemienne odgrywają w teorii kategorii taką rolę, jaką równania w algebrze .

Opis

Diagram przemienny często składa się z trzech części:

obiekty (znane również jako wierzchołki )
morfizmy (znane również jako strzałki lub krawędzie )
ścieżki lub kompozyty

Symbole strzałek

W tekstach algebrowych typ morfizmu można oznaczyć za pomocą różnych zastosowań strzałek:

Monomorfizm można oznaczyć za ${\ displaystyle \ hookrightarrow}$ lub za ↪ $\ displaystyle \ rightarrowtail}$
Epimorfizm można oznaczyć za $twoheadrightarrow}$ \ .
Izomorfizm można oznaczyć za $}}$ } .
Strzałka przerywana zazwyczaj reprezentuje twierdzenie, że wskazany morfizm istnieje (kiedykolwiek obowiązuje reszta diagramu); strzałka może być opcjonalnie oznaczona jako ${\ displaystyle \ istnieje}$ $\exists$ .
- Jeśli morfizm jest dodatkowo unikalny, to strzałka przerywana może być oznaczona ${\ Displaystyle!}$ Lub ${\ displaystyle \ istnieje!$ }

Znaczenie różnych strzałek nie jest całkowicie ustandaryzowane: strzałki używane do monomorfizmów, epimorfizmów i izomorfizmów są również używane do iniekcji , surjekcji i bijekcji , a także kofibracji, fibracji i słabych równoważności w kategorii modeli .

Weryfikacja przemienności

Przemienność ma sens dla wielokąta o dowolnej skończonej liczbie boków (w tym tylko 1 lub 2), a diagram jest przemienny, jeśli każdy wielokątny poddiagram jest przemienny.

Należy zauważyć, że diagram może być nieprzemienny, tj. złożenie różnych ścieżek na diagramie może nie dawać tego samego wyniku.

Przykłady

Przykład 1

Na lewym diagramie, który wyraża pierwsze twierdzenie o izomorfizmie , przemienność trójkąta oznacza, że ${\ Displaystyle f = {\ tylda {f}} \ circ \ pi}$ . Na prawym diagramie przemienność kwadratu oznacza ${\ displaystyle h \ circ f = k \ circ g}$ .

Przykład 2

Aby poniższy diagram był komutowany, muszą być spełnione trzy równości:

${\ Displaystyle r \ circ h \ circ g = H \ circ G \ circ l}$
${\ Displaystyle m \ circ g = G \ circ l}$
${\ Displaystyle r \ circ h = H \ circ m}$

Tutaj, ponieważ pierwsza równość wynika z dwóch ostatnich, wystarczy pokazać, że (2) i (3) są prawdziwe, aby diagram komutował. Jednakże, ponieważ równość (3) na ogół nie wynika z dwóch pozostałych, generalnie nie wystarczy mieć tylko równości (1) i (2), aby pokazać, że diagram komutuje.

Pogoń za diagramem

Pogoń za diagramem (zwana także wyszukiwaniem diagramowym ) to metoda dowodu matematycznego stosowana zwłaszcza w algebrze homologicznej , gdzie ustala się właściwość pewnego morfizmu, śledząc elementy diagramu przemiennego. Dowód przez pogoń za diagramem zazwyczaj obejmuje formalne wykorzystanie właściwości diagramu, takich jak iniekcyjne lub suriekcyjne lub dokładne sekwencje . Konstruuje się sylogizm , dla którego graficzne przedstawienie diagramu jest jedynie pomocą wizualną . Wynika z tego, że kończy się „gonieniem” elementów po diagramie, dopóki pożądany element lub wynik nie zostanie skonstruowany lub zweryfikowany.

Przykłady dowodów przez pogoń za diagramem obejmują te, które są zwykle podawane dla lematu pięciu , lematu węża , lematu zygzakowatego i lematu dziewięciu .

W teorii kategorii wyższych

W teorii kategorii wyższych bierze się pod uwagę nie tylko obiekty i strzały, ale także strzałki między strzałkami, strzałki między strzałkami między strzałkami i tak w nieskończoność . Na przykład kategoria małych kategorii Kot jest naturalnie kategorią 2, z funktorami jako strzałkami i naturalnymi przekształceniami jako strzałkami między funktorami. W tym ustawieniu diagramy przemienne mogą również zawierać te wyższe strzałki, które często są przedstawiane w następującym stylu: ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ . Na przykład poniższy (nieco trywialny) diagram przedstawia dwie kategorie C i D wraz z dwoma funktorami F , G : C → D i naturalną transformacją α : F ⇒ G :

Istnieją dwa rodzaje kompozycji w kategorii 2 (nazywanej kompozycją pionową i kompozycją poziomą ) i można je również przedstawić za pomocą wklejania diagramów (patrz przykłady 2-category#Definition ).

Diagramy jako funktory

Diagram przemienny w kategorii C można interpretować jako funktor z kategorii indeksu J do C; funktor nazywamy diagramem .

Bardziej formalnie, diagram przemienny jest wizualizacją diagramu indeksowanego przez kategorię poset . Taki schemat zazwyczaj obejmuje:

węzeł dla każdego obiektu w kategorii index,
strzałka dla zbioru generującego morfizmy (pomijając mapy tożsamości i morfizmy, które można wyrazić jako kompozycje),
przemienność diagramu (równość różnych kompozycji map między dwoma obiektami), odpowiadająca niepowtarzalności mapy między dwoma obiektami w kategorii poset.

I odwrotnie, biorąc pod uwagę diagram przemienny, definiuje kategorię poset, gdzie:

obiekty to węzły,
istnieje morfizm między dowolnymi dwoma obiektami wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje (skierowana) ścieżka między węzłami,
z relacją, że morfizm ten jest unikalny (dowolna kompozycja map jest zdefiniowana przez swoją dziedzinę i cel: jest to aksjomat przemienności).

Jednak nie każdy diagram komutuje (pojęcie diagramu ściśle uogólnia diagram przemienny). Jako prosty $przykład$ , schemat pojedynczego obiektu z endomorfizmem ( ) lub dwoma równoległymi strzałkami ( $punktor }$ $punktor \ rightrightarrows$ , to znaczy ${\ displaystyle f, g \ okrężnica X \ do Y}$ , czasami nazywany swobodnym kołczanem ), stosowany w definicji korektora nie musi dojeżdżać. Ponadto diagramy mogą być nieuporządkowane lub niemożliwe do narysowania, gdy liczba obiektów lub morfizmów jest duża (lub nawet nieskończona).

Zobacz też

Schemat matematyczny

^ Weisstein, Eric W. „Diagram przemienny” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2019-11-25 .
^ Barr & Wells 2002 , §1.7
^ „Matematyka - teoria kategorii - strzałka - Martin Baker” . www.euclideanspace.com . Źródło 2019-11-25 .
^ Riehl, Emily (2016-11-17). „1”. Teoria kategorii w kontekście (PDF) . Publikacje Dover. P. 11.
^ Weisstein, Eric W. „Pogoń za diagramem” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2019-11-25 .

Bibliografia

Adamek, Jiří; Horsta Herrlicha; George E. Strecker (1990), Kategorie abstrakcyjne i konkretne (PDF) , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 Teraz dostępne jako bezpłatne wydanie on-line (4,2 MB PDF).
Barr, Michał ; Wells, Charles (2002), Toposy, trójki i teorie (PDF) , ISBN 0-387-96115-1 Poprawiona i poprawiona bezpłatna wersja online Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Linki zewnętrzne

Pogoń za diagramami w MathWorld
WildCats to pakiet teorii kategorii dla Mathematica . Manipulacja i wizualizacja obiektów, morfizmy , kategorie, funktory , przekształcenia naturalne .

[1] Weisstein, Eric W. „Diagram przemienny” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2019-11-25 .

[2] Barr & Wells 2002 , §1.7

[:0-3] „Matematyka - teoria kategorii - strzałka - Martin Baker” . www.euclideanspace.com . Źródło 2019-11-25 .

[Riehl_2016-4] Riehl, Emily (2016-11-17). „1”. Teoria kategorii w kontekście (PDF) . Publikacje Dover. P. 11.

[5] Weisstein, Eric W. „Pogoń za diagramem” . mathworld.wolfram.com . Źródło 2019-11-25 .