Kategoria grup abelowych

W matematyce kategoria Ab ma grupy abelowe jako obiekty i homomorfizmy grupowe jako morfizmy . To jest prototyp kategorii abelowej : rzeczywiście, każda mała kategoria abelowa może być osadzona w Ab .

Nieruchomości

Obiektem zerowym Ab jest grupa trywialna {0}, która składa się tylko z elementu neutralnego .

Monomorfizmy w Ab to homomorfizmy grup iniekcyjnych , epimorfizmy to homomorfizmy grup suriekcyjnych , a izomorfizmy to homomorfizmy grup bijektywnych .

Ab jest pełną wszystkich grup podkategorią Grp , kategorią . Główna różnica między Ab i Grp polega na tym, że suma dwóch homomorfizmów f i g między grupami abelowymi jest ponownie homomorfizmem grupowym:

( fa + sol )( x + y ) = fa ( x + y ) + sol ( x + y ) = fa ( x ) + fa ( y ) + sol ( x ) + sol ( y )

= fa ( x ) + sol ( x ) + fa ( y ) + sol ( y ) = ( fa + sol ) ( x ) + ( fa + sol ) ( y )

Trzecia równość wymaga, aby grupa była abelowa. To dodanie morfizmu zamienia Ab w kategorię przedaddytywną , a ponieważ bezpośrednia suma skończenie wielu grup abelowych daje produkt uboczny , rzeczywiście mamy kategorię addytywną .

W Ab , pojęcie jądra w sensie teorii kategorii pokrywa się z jądrem w sensie algebraicznym , tj. jądrem kategorialnym morfizmu f : A → B jest podgrupą K z A określoną przez K = { x ∈ A : f ( x ) = 0}, razem z homomorfizmem inkluzji i : K → A . To samo dotyczy cokernels ; kokernel f jest grupą ilorazową C = B / f ( A ) wraz z rzutem naturalnym p : B → C . (Zauważ kolejną zasadniczą różnicę między Ab i Grp : w Grp może się zdarzyć, że f ( A ) nie jest normalną podgrupą B , a zatem grupa ilorazowa B / f ( A ) nie może zostać utworzona.) Z tymi konkretnymi opisami jąder i kokerneli dość łatwo sprawdzić, czy Ab jest kategorią abelową .

Iloczyn w Ab jest dany przez iloczyn grup , utworzony przez wzięcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów podstawowych i wykonanie operacji grupowej składowej . Ponieważ Ab ma jądra, można wtedy pokazać, że Ab jest zupełną kategorią . Produkt uboczny w Ab jest podany przez sumę bezpośrednią; ponieważ Ab ma cokernels, wynika z tego, że Ab jest również cocomplete .

Mamy zapominalski funktor Ab → Zbiór , który przypisuje każdej grupie abelowej podstawowy zbiór , a każdemu homomorfizmowi grupowemu podstawową funkcję . Ten funktor jest wierny , a zatem Ab jest kategorią konkretną . Funktor zapominalski ma lewe sprzężenie (które łączy z danym zbiorem wolną grupę abelową z tym zbiorem jako podstawą), ale nie ma prawego sprzężenia.

Przyjmowanie bezpośrednich granic w Ab jest dokładnym funktorem . Ponieważ grupa liczb całkowitych Z służy jako generator , kategoria Ab jest zatem kategorią Grothendiecka ; w istocie jest to prototypowy przykład kategorii Grothendiecka.

Przedmiot w Ab jest iniekcyjny wtedy i tylko wtedy, gdy jest grupą podzielną ; jest rzutowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest wolną grupą abelową . Kategoria ma generator projekcyjny ( Z ) i kogenerator iniekcyjny ( Q / Z ).

Biorąc pod uwagę dwie grupy abelowe A i B , ich iloczyn tensorowy A ⊗ B jest zdefiniowany; jest to znowu grupa abelowa. Przy takim pojęciu produktu Ab jest zamkniętą symetryczną kategorią monoidalną .

Ab nie jest toposem , bo np. ma obiekt zerowy.

Zobacz też

• Kategoria modułów
• Snop abelowy - wiele faktów dotyczących kategorii grup abelowych nadal dotyczy kategorii snopów grup abelowych

•    Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
•    Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla pracującego matematyka . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 5 (wyd. 2). Skoczek. ISBN 0-387-98403-8 . Zbl 0906.18001 .
•    Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, wyd. (2004). Podstawy kategoryczne. Specjalne tematy w porządku, topologia, algebra i teoria snopów . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 97. Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7 . Zbl 1034.18001 .